数学建模 关于人口模型的倍周期现象.doc

关于Logistic模型的倍周期收敛现象许 立 炜（南京邮电学院应用数理系 南京210003）摘要：本文运用实验和归纳的方法，讨论了如何利用Mathmatic数学软件观察Logistic模型的倍周期收敛现象以及对初值的依赖性，并从理论上解释了倍周期收敛现象。关键词：数学模型，数学实验，差分方程一 引 言我们知道描述人口（或其它生物）在有限资源环境下增长的Logistic模型（I）（见文1）其中表示时刻的人口数，表示自然资源与环境条件所能容纳的最大人口数。人口较少时的增长率可以看成常数，称为固有增长率，记作，本文中.为了方便用计算机对问题求解，本文考虑Logistic的离散模型，将（I）中的微分用差分形式表示，得模型（II） 取步长（单位时间：年），则由（1.1）式整理得令（显然），得离散的Logistic的模型这是一个一阶非线性差分方程，无法直接求出其一般解. 但对给定的初值，我们可以利用计算机很便捷地递推算出（1.3）、（1.4）式的数值解.二实 验 过 程1 在时，分别取初值，编程迭代30次，观察数据的收敛性。下面是在Mathmatic数学软件中的程序程序1所得数据如下：迭 代次 数时时时10.10.100010.10000120.180.1800160.18000230.29520.295220.29520240.4161140.4161310.416116290.50.50.5300.50.50.5改变程序1中的取值，并且比较不同初值对应的迭代序列，可发现：时，（1） 产生的迭代序列收敛于一点，且随的增大而增大；（2） 初值产生的误差并不改变迭代序列的收敛及其极限值。2 将程序1中改为，迭代60次所得数据如下：迭 代次 数时时时10.10.100010.10000120.2880.2880260.28800330.6561790.6562140.65618340.7219460.7219110.721942560.7994550.7994550.799455570.5130450.5130450.513045580.7994550.7994550.799455590.5130450.5130450.513045600.7994550.7994550.799455观察表中数据可发现：附近，（1） 迭代序列有两个收敛点；（2） 初值产生的误差并不改变迭代序列的收敛及其极限值。3 将程序1中改为，迭代60次所得数据如下迭 代次 数时时时10.10.100010.10000120.3150.3150280.31500330.7552130.7552490.755216530.8269410.8269410.826941540.5008840.5008840.500884550.8749970.8749970.874997560.382820.382820.38282570.8269410.8269410.826941580.5008840.5008840.500884590.8749970.8749970.874997600.382820.382820.38282观察表中数据可发现：附近，（1） 迭代序列有四个收敛点；（2） 初值产生的误差并不改变迭代序列的收敛及其极限值。4 将程序1中改为，迭代60次所得数据如下迭 代次 数时时时10.10.100010.10000120.360.3600320.36000330.92160.9216360.921604550.6738080.2253120.00345026560.8791630.6981860.0137534570.424940.8428890.054257580.9774640.529710.205253590.08811210.9964690.652497600.3213930.01407290.906979观察表中数据可发现：附近，（1） 迭代序列不收敛；（2） 当迭代次数较高时，初值产生的误差对迭代结果产生很大的影响。5 取，步长为0.01，初值，作Feigenbaum图，观察倍周期收敛现象。程序2所得图形如下观察图形可见：（1） 当时，图中可见一条曲线，即迭代序列有一个收敛点；（2） 大约当时，图中可见两条曲线，即迭代序列有两个收敛点；（3） 大约当时，图中可见四条曲线，即迭代序列有四个收敛点；（4） 大约当时，已无法看清图中的曲线分支。三理 论 证 明下面从理论上解释并证明上述倍周期收敛现象。定理1当时，差分方程（1.3）的平衡点稳定；当时，差分方程（1.3）的平衡点不稳定。证由式（1.3）对应的代数方程解得平衡点，令，由，知：为不稳定平衡点（无实际意义）；当时，为不稳定平衡点；当时，为稳定平衡点。定理1表明：当时，对式（1.3）、（1.4）产生的迭代序列，无论初值如何取，都有时，.记差分方程（1.3）式为一般形式，则定理2时，差分方程（1.5）式有两个稳定的平衡点.证为了求差分方程（1.5）式的平衡点，可利用Mathmatic软件解对应的一元四次代数方程（程序略）得其四个解， 即为差分方程（1.5）式的四个平衡点。而由定理1的证明知：，满足代数方程，所以有，即为差分方程（1.5）式的不稳定平衡点。类似地可证：当时，为差分方程（1.5）式的不稳定平衡点。又可利用Mathmatic软件验证点，满足，程序如下：因此有而要使，只需将代入上述不等式，解得. 所以时，差分方程（1.5）式有两个稳定的平衡点，.定理2表明：当时，对差分方程（1.3）、（1.4）式产生的迭代序列，无论初值如何取，都存在，使得时，.进一步考察差分方程用类似的方法可得定理3时，差分方程（1.6）式有四个稳定的平衡点（只与有关）。由上述三个定理，我们知道：Logistic的离散模型，其中增长率为常数，无论初值如何取（1） 当时，迭代序列有一个收敛点，使得，此现象常称为单周期收敛；（2） 当时，迭代序列有两个收敛点，使得（或），（或）. 可见从一次迭代的角度来看，数量增长是不稳定的，即没有极限；从两次迭代的角度来看，增长却是不稳定的，此现象常称为2倍周期收敛；（3） 当时，迭代序列有四个收敛点，称为4倍周期收敛。参 考 文 献1 姜启源.数学模型. 北京：高等教育出版社,1998. About Multiple Periodic Convergence in the Logistic ModelXu Liwei( Department of Applied Mathematics, Nanjing Institute of Postsand Telecommunications, Nanjing, 210003)Abstract In this paper, Experimentation and inductive method are used to study Multiple Periodic C