高数(下)96几何中的应用.ppt

第六节 复习 目录 上页 下页 返回 结束 一、空间曲线的切线与法平面 二、曲面的切平面与法线 多元函数微分学的几何应用 第九章 一、空间曲线的切线与法平面 过点 M 与切线垂直的平面称为曲线在该点的法 机动 目录 上页 下页 返回 结束 位置. 空间光滑曲线在点 M 处的切线为此点处割线的极限 平面. 点击图中任意点动画开始或暂停 1. 曲线方程为参数方程的情况 切线方程 机动 目录 上页 下页 返回 结束 称为曲线的切向量 . 切线的方向向量: 如个别为0, 则理解为分子为 0 . 不全为0, 此处要求 也是法平面的法向量, 机动 目录 上页 下页 返回 结束 因此得法平面方程 说明: 若引进向量函数 , 则 为 r (t) 的矢端曲线, 处的导向量 就是该点的切向量. 解 所以在该该点处处的切向量 为为 所求切线线方程 为为 法平面方程为为 即 例1. 例2. 求圆柱螺旋线 对应点处的切线方程和法平面方程. 切线方程 法平面方程 即 即 解: 由于 对应的切向量为 在 机动 目录 上页 下页 返回 结束 , 故 2. 曲线为一般式的情况 光滑曲线 当 曲线上一点 , 且有 时, 可表示为 处的切向量为 机动 目录 上页 下页 返回 结束 则在点 切线方程 法平面方程 有 或 机动 目录 上页 下页 返回 结束 也可表为 法平面方程 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例3. 求曲线在点 M ( 1,2, 1) 处的切线方程与法平面方程. 切线方程 解法1 令则 即 切向量 机动 目录 上页 下页 返回 结束 法平面方程 即 机动 目录 上页 下页 返回 结束 解法2. 方程组两边对 x 求导, 得 曲线在点 M(1,2, 1) 处有: 切向量 解得 切线方程 即 法平面方程 即 点 M (1,2, 1) 处的切向量 机动 目录 上页 下页 返回 结束 曲面方程 : F(x, y, z) = 0 M(x0, y0, z0) 是曲面上一点 二、曲面的切平面与法线 M T 取一条通过点M的曲线: x = f (t) y = y (t) z = w (t) : 设 t = t0 对应点 M 则 在点 M 的切向量为 T = (f (t0), y (t0), w (t0) 下面证明: 此平面称为 在该点的切平面. 上过点 M 的任何曲线在该点的切线都 在同一平面上. 证 曲线 在曲面上 Ff (t), y (t), w (t) 0 两边在 t = t0 处求导, 得 Fx (x0, y0, z0)f (t0) + Fy (x0, y0, z0)y (t0) + Fz (x0, y0, z0)w (t0) = 0 令 T = (f (t0), y (t0), w (t0) n = (Fx (x0, y0, z0), Fy (x0, y0, z0), Fz (x0, y0, z0) T n T n M 由于曲线 的任意性, 表明这些切线都在以 n 为法向的平面上. n = (Fx (x0, y0, z0), Fy (x0, y0, z0), Fz (x0, y0, z0) T n M 法线方程 切平面方程 Fx (x0, y0, z0)(x x0) + Fy (x0, y0, z0)(y y0) + Fz (x0, y0, z0)(z z0) = 0 Fx (x0, y0, z0)Fy (x0, y0, z0)Fz (x0, y0, z0) x x0y y0z z0 = 切平面方程 法线方程 令 F(x, y, z) = f (x, y) z 特别, 曲面方程为显式 z = f (x, y) Fx = fx, Fy = fy, Fz = 1法向量 n = ( fx, fy, 1) fx (x0, y0)(x x0) + fy (x0, y0)(y y0) (z z0) = 0 fx (x0, y0) x x0 = fy (x0, y0) y y0 1 z z0 切平面上点 的竖坐标的 增量 曲面 z = f (x, y) 在 M 处的切平面方程为 全微分的几何意义 z z0 = fx (x0, y0)(x x0) + fy (x0, y0)(y y0) z = f (x, y) 在 (x0, y0) 的全微分 法向量 用 将 表示法向量的方向角, 并假定法向量方向 分别记为 则 向上, 复习 目录 上页 下页 返回 结束 法向量的方向余弦： 例4. 求球面在点(1 , 2 , 3) 处的切 平面及法线方程. 解: 所以球面在点 (1 , 2 , 3) 处有: 切平面方程 即 法线方程 法向量 令 机动 目录 上页 下页 返回 结束 解 所求切平面方程为为 (x 1) 2(y + 2) + 3(z 3) = 0 即 x 2y + 3z 14 = 0 所求法线方程为为 求球面 x2 + y2 + z2 = 14 在点 M0(1, 2, 3) 处的 切平面和法线方程. 令 F(x, y, z) = x2 + y2 + z2 14 则 n = ( Fx, Fy, Fz ) = (2x, 2y, 2z) n = (2, 4, 6) M0 (1, 2, 3) x 1 1 = y + 2 2 z 3 3 例5. 解设 (x0, y0, z0) 为曲面上的切点 由于切平面平行于已知平面, 得 求曲面 x2 + 2y2 + 3z2 = 21 平行于平面 x + 4y + 6z = 0 切平面方程. 法向量 n = (2x0, 4y0, 6z0) 2x0 = y0 = z0 又因为切点 (x0, y0, z0) 满足曲面的方程 求得 x0 = 1 切点为 (1, 2, 2) 例6. 故 法向量 n = (1, 4, 6) 切点为 (1, 2, 2) 切平面方程: 化简, 得 1(x 1) + 4(y 2) + 6(z 2) = 0 1(x + 1) + 4(y + 2) + 6(z + 2) = 0 x + 4y + 6z = 21 1. 空间曲线的切线与法平面 切线方程 法平面方程 1) 参数式情况.空间光滑曲线 切向量 内容小结 机动 目录 上页 下页 返回 结束 切线方程 法平面方程 空间光滑曲线 切向量 2) 一般式情况. 机动 目录 上页 下页 返回 结束 空间光滑曲面 曲面 在点 法线方程 1) 隐式情况 . 的法向量 切平面方程 2. 曲面的切平面与法线 机动 目录 上页 下页 返回 结束 空间光滑曲面 切平面方程 法线方程 2) 显式情况. 法线的方向余弦 法向量 机动 目录 上页 下页 返回 结束 思考与练习 1. 如果平面与椭球面 相切, 提示: 设切点为 则 机动 目录 上页 下页 返回 结束