高中数学第一章导数及其应用1.3.2函数的极值与导数学案含解析.docx

13.2函数的极值与导数函数的极值已知yf(x)的图象(如下图)问题1：函数yf(x)在b，c，d，e点的函数值与这些点附近的函数值有什么关系？提示：在b，d点的函数值是这两个点附近的函数值中最大的，而在c，e点的函数值是这两个点附近的函数值中最小的问题2：yf(x)在b，c，d，e点的导数值是多少？提示：f(b)f(c)f(d)f(e)0.问题3：在b，c，d，e点附近，yf(x)的导数的符号有什么规律？提示：在b，d点附近的导数的符号是左正右负，而在c，e点附近的导数的符号是左负右正极值点与极值(1)极小值点与极小值：若函数yf(x)在点xa的函数值f(a)比它在点xa附近其他点的函数值都小，f(a)0，而且在点xa附近的左侧f(x)0，就把点a叫做函数yf(x)的极小值点，f(a)叫做函数yf(x)的极小值(2)极大值点与极大值：若函数yf(x)在点xb的函数值f(b)比它在点xb附近其他点的函数值都大，f(b)0，而且在点xb附近的左侧f(x)0，右侧f(x)0，右侧f(x)0，那么f(x0)是极大值(2)如果在x0附近的左侧f(x)0，那么f(x0)是极小值导数与极值的关系(1)根据极值的定义可知，对于一个可导函数，如果函数yf(x)在x0处取得极值，则它在该极值点x0处的导数值等于0，但导数值为0的点不一定是函数的极值点例如，函数f(x)x3可导，且在x0处满足f(0)0，但由于当x0和x0时均有f(x)0，所以x0不是函数f(x)x3的极值点(2)函数yf(x)在点x0取得极值的充要条件是f(x0)0，且f(x)在x0左、右两侧的符号不同求函数的极值求下列函数的极值：(1)f(x)x312x；(2)y.(1)函数的定义域为R，f(x)3x2123(x2)(x2)，令f(x)0，得x2或x2.当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：x(，2)2(2,2)2(2，)f(x)00f(x)1616从表中可以看出，当x2时，函数有极大值，且f(2)16.当x2时，函数有极小值，且f(2)16.(2)函数的定义域为(，1)(1，)，且y.令y0，得x11，x22，当x变化时，y，y的变化情况如下表：x(，1)1(1,1)(1,2)2(2，)y00y3故当x1时，y有极大值.求可导函数f(x)的极值的步骤(1)确定函数的定义区间，求导数f(x)；(2)求f(x)的拐点，即求方程f(x)0的根；(3)利用f(x)与f(x)随x的变化情况表，根据极值点左、右两侧单调性的变化情况求极值求下列函数的极值：(1)f(x)x33x29x5；(2)f(x).解：(1)函数f(x)x33x29x5的定义域为R，且f(x)3x26x9.令f(x)0，得x11，x23.当x变化时，f(x)与f(x)的变化情况如下表：x(，1)1(1,3)3(3，)f(x)00f(x)1022由表可知，x1是函数f(x)的极大值点，极大值为f(1)10；x3是函数f(x)的极小值点，极小值为f(3)22.(2)函数y的定义域为(0，)，y.令y0，即0，得xe.当x变化时，y，y的变化情况如下表：x(0，e)e(e，)y0y由表可知，当xe时，函数的极大值是.已知函数的极值求参数已知f(x)ax3bx2cx(a0)在x1处取得极值，且f(1)1.(1)试求常数a，b，c的值；(2)试判断x1是函数的极大值点还是极小值点，并说明理由f(x)3ax22bxc.(1)法一：x1是函数的极值点，x1是方程3ax22bxc0的两根由根与系数的关系知又f(1)1，abc1.由解得a，b0，c.法二：由f(1)f(1)0，得3a2bc0，3a2bc0.又f(1)1，abc1.由解得a，b0，c.(2)f(x)x3x，f(x)x2(x1)(x1)当x1或x1时，f(x)0；当1x1时，f(x)0.函数f(x)在(，1)和(1，)上是增函数，在(1,1)上是减函数因此当x1时函数取得极大值，x1为极大值点；当x1时函数取得极小值，x1为极小值点由函数的极值确定参数的方法及注意事项(1)已知一个函数，可以用单调性研究它的极值反过来，已知函数的极值，可以确定函数解析式中的参数，解这类问题，通常是利用函数的导数在极值点处的取值等于零来建立关于参数的方程，从而求出参数的值(2)需注意的是，可导函数在某点处的导数值等于零只是函数在该点处取得极值的必要条件，所以必须对求出的参数值进行检验，看是否符合函数取得极值的条件已知函数f(x)x3bx22cx的导函数的图象关于直线x2对称(1)求b的值；(2)若函数f(x)无极值，求c的取值范围解：(1)f(x)3x22bx2c，因为函数f(x)的图象关于直线x2对称，所以2，即b6.(2)由(1)知，f(x)x36x22cx，f(x)3x212x2c3(x2)22c12，所以当c6时，f(x)0，此时函数f(x)无极值，即c的取值范围为已知a为实数，函数f(x)x33xa.(1)求函数f(x)的极值，并画出其图象(草图)；(2)当a为何值时，方程f(x)0恰好有两个实数根？(1)由f(x)x33xa，得f(x)3x23.令f(x)0，得x1或x1.当x(，1)时，f(x)0；当x(1，)时，f(x)0.(1)当m1时，求曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线的斜率；(2)求函数f(x)的单调区间与极值解：(1)当m1时，f(x)x3x2，f(x)x22x，故f(1)1，所以曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线的斜率为1.(2)f(x)x22xm21，令f(x)0，解得x1m或x1m.因为m0，所以1m1m.当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：x(，1m)1m(1m，1m)1m(1m，)f(x)00f(x)f(1m)f(1m)所以函数f(x)的单调递减区间为(，1m)，(1m，)，递增区间为(1m,1m)函数f(x)在x1m处取得极小值f(1m)，且f(1m)m3m2.函数f(x)在x1m处取得极大值f(1m)，且f(1m)m3m2. 1已知函数yx(x2)2，则()Ay有极小值但无极大值By有极小值0，但无极大值Cy有极小值0，极大值Dy有极大值，但无极小值解析：选Cy(x2)2x2(x2)(x2)(3x2)，当x2时，y2或x0.所以当x时，y有极大值；当x2时，y有极小值0.故选C.2函数f(x)的定义域为R，导函数f(x)的图象如下图所示，则函数f(x)()A无极大值点，有四个极小值点B有三个极大值点，两个极小值点C有两个极大值点，两个极小值点D有四个极大值点，无极小值点解析：选C由导数与函数极值的关系知，当f(x0)0时，在x0的左侧f(x)0，右侧f(x)0，则f(x)在xx0处取得极大值；若在x0的左侧f(x)0，右侧f(x)0，则f(x)在xx0处取得极小值设yf(x)的图象与x轴的交点从左到右横坐标依次为x1，x2，x3，x4，则f(x)在xx1，xx3处取得极大值，在xx2，xx4处取得极小值3函数y3x39x5的极大值为_解析：y9x29.令y0，得x1.当x变化时，y，y的变化情况如下表：x(，1)1(1,1)1(1，)y00y极大值极小值从上表可以看出，当x1时，函数y有极大值3(1)39(1)511.答案：114若函数f(x)x33xa有三个不同的零点，则实数a的取值范围是_解析：f(x)3(x21)，所以x1和x1是函数的两个极值点，由题意知，极大值为f(1)2a，极小值为f(1)2a，所以要使函数f(x)有三个不同的零点，则有2a0且2a0，解得2a2，即实数a的取值范围是(2,2)答案：(2,2)5(重庆高考)已知函数f(x)ax3x2(aR)在x处取得极值(1)确定a的值；(2)若g(x)f(x)ex，讨论g(x)的单调性解：(1)对f(x)求导得f(x)3ax22x，因为f(x)在x处取得极值，所以f0，即3a20，解得a.(2)由(1)得g(x)ex，故g(x)exexexx(x1)(x4)ex.令g(x)0，解得x0或x1或x4.当x4时，g(x)0，故g(x)为减函数；当4x0，故g(x)为增函数；当1x0时，g(x)0时，g(x)0，故g(x)为增函数综上知，g(x)在(，4)，(1,0)上为减函数，在(4，1)，(0，)上为增函数一、选择题1(陕西高考)设函数f(x)ln x，则()Ax为f(x)的极大值点Bx为f(x)的极小值点Cx2为f(x)的极大值点Dx2为f(x)的极小值点解析：选D函数f(x)的定义域为(0，)，f(x)，当x2时，f(x)0；当x2时，f(x)0，函数f(x)为增函数；当0x2时，f(x)0；当x时，f(x)0，r0)(1)求f(x)的定义域，并讨论f(x)的单调性；(2)若400，求f(x)在(0，)内的极值解：(1)由题意知xr，所求的定义域为(，r)(r，)f(x)，f(x)，所以当xr时，f(x)0；当rx0.因此，f(x)的单调递减区间为(，r)，(r，)；f(x)的单调递增区间为(r，r)(2)由(1)的解答可知 f(r)0，f(x)在(0，r)上单调递增，在(r，)上单调递减因此，xr是f(x)的极大值点，所以f(x)在(0，)内的极大值为f(r)100.无极小值10已知函数f(x)x33ax1，a0.(1)求f(x)的单调区间；(2)若f(x)在x1处取得极值，直线ym与yf(x)的图象有三个不同的交点，求m的取值范围解：(1)f(x)3x23a3(x2a)当a0，当a0时，由f(x)0解得