2018版高中数学第二章椭圆的简单几何性质第1课时椭圆的简单几何性质学案新人教A版.docx

2.1.2第1课时椭圆的简单几何性质1.掌握椭圆的简单几何性质，能用椭圆的简单几何性质求椭圆方程.(重点)2.掌握椭圆离心率的求法及a，b，c的几何意义.(难点)3.理解长轴长、短轴长、焦距与长半轴长、短半轴长、半焦距的概念.(易混点)基础初探教材整理椭圆的简单几何性质阅读教材P37观察P40例4以上部分，完成下列问题.1.椭圆的简单几何性质焦点的位置焦点在x轴上焦点在y轴上图形标准方程1(ab0)1(ab0)范围axa，bybbxb，aya顶点A1(a,0)，A2(a,0) B1(0，b)，B2(0，b)A1(0，a)，A2(0，a) B1(b,0)，B2(b,0)轴长短轴长2b，长轴长2a焦点F1(c,0)，F2(c,0)F1(0，c)，F2(0，c)焦距|F1F2|2c对称性对称轴为坐标轴，对称中心为(0,0)离心率e2.离心率性质离心率e的范围是(0,1).e越接近于1，椭圆越扁；e越接近于0，椭圆就越接近于圆.判断(正确的打“”，错误的打“”)(1)椭圆1(ab0)的长轴长等于a.()(2)椭圆1与1有相同的离心率.()(3)椭圆的离心率e越接近于0，椭圆越接近于圆.()【答案】(1)(2)(3)小组合作型椭圆的简单几何性质(1)椭圆以两条坐标轴为对称轴，一个顶点是(0,13)，另一个顶点是(10,0)，则焦点坐标为()A.(13,0)B.(0，10)C.(0，13)D.(0，)(2)如果一个椭圆的长轴长是短轴长的两倍，那么这个椭圆的离心率为()A.B.C.D.【自主解答】(1)由题意知椭圆焦点在y轴上，且a13，b10，则c，故焦点坐标为(0，).(2)设长轴长为2a，短轴长为2b，由题意可知a2b，则cb，所以离心率为e.【答案】(1)D(2)B已知椭圆的方程讨论其几何性质时，应先将方程化为标准形式，不确定焦点位置的要分类讨论，找准a和b，才能正确地写出焦点坐标、顶点坐标等，同时，要注意其中某些概念的区别，如长轴长是2a，短轴长是2b.再练一题1.(1)椭圆6x2y26的长轴的顶点坐标是()A.(1,0)，(1,0)B.(6,0)，(6,0)C.(，0)，(，0)D.(0，)，(0, )【解析】椭圆的标准方程为x21，焦点在y轴上，其长轴的端点坐标为(0，).【答案】D(2)已知椭圆1的一个顶点为(0,5)，试求椭圆的长轴长，短轴长，焦点坐标，离心率及其余的顶点.【解】(0,5)是椭圆1的顶点，m25.椭圆方程为1，a225，b29.c2a2b216.长轴长2a10，短轴长2b6，焦点为(0，4)，(0,4)，离心率为e，其余顶点为(3,0)，(3,0)，(0，5).利用椭圆几何性质求其标准方程写出满足下列条件的椭圆的标准方程：(1)焦点在x轴上，a4，e；(2)焦点在y轴上，c6，e；(3)短轴的一个端点到一个焦点的距离为5，焦点到椭圆中心的距离为3；(4)离心率为，经过点(2,0). 【导学号：97792016】【精彩点拨】本题考查椭圆方程的求法.根据题中所给条件，结合椭圆的几何性质定位(即确定焦点位置)、定量(即确定长轴和短轴的长)，若没有指明焦点位置，要分焦点在x轴上、y轴上进行讨论.【自主解答】(1)由a4，e知，c2，b216412.又焦点在x轴上，所以椭圆的标准方程为1.(2)由c6，e知，a9，b2813645.又焦点在y轴上，所以椭圆的标准方程为1.(3)由题意知，a5，c3，b225916，焦点所在坐标轴可为x轴，也可为y轴，故椭圆的标准方程为1或1.(4)由e，设a2k，ck，k0，则bk.又椭圆经过点(2,0)，当它为短轴顶点时，则b2，a4，椭圆的标准方程为1.当点(2,0)为长轴顶点时，a2k2，即k1.所以椭圆标准方程为y21.利用椭圆的性质求椭圆的标准方程应注意：(1)讨论：若题目中没有明确焦点的位置，要根据题中条件适当分类，设出对应方程；(2)减参：设椭圆方程时，根据题中所给条件建立关于a，b的关系式，尽量减少待确定的参数的个数.再练一题2.求适合下列条件的椭圆的标准方程：(1)长轴长是10，离心率是；(2)在x轴上的一个焦点与短轴两个端点的连线互相垂直，且焦距为6.【解】(1)设椭圆的方程为1(ab0)或1(ab0).由已知得2a10，a5.又e，c4.b2a2c225169.椭圆方程为1或1.(2)依题意可设椭圆方程为1(ab0).如图所示，A1FA2为一等腰直角三角形，OF为斜边A1A2的中线(高)，且|OF|c，|A1A2|2b，则cb3，a2b2c218，故所求椭圆的方程为1.探究共研型椭圆的离心率探究1椭圆的离心率是怎样定义的？如何用a，b表示离心率？【提示】(1)把椭圆的焦距与长轴长的比e称为椭圆的离心率.(2)由e得e2，e.e.探究2下列两个椭圆的形状，哪一个更圆，哪一个更扁？为什么？4x29y236与1.【提示】将椭圆方程4x29y236化为标准方程1，则a29，b24，所以a3，c，故离心率e；椭圆1中，a225，b220，则a5，c，故离心率e.由于前一个椭圆的离心率较大，因此前一个椭圆更扁，后一个椭圆更圆.如图212所示，F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，椭圆上点M的横坐标等于右焦点的横坐标，其纵坐标等于短半轴长的，求椭圆的离心率；图212【精彩点拨】根据题意，找出关于a、b、c的方程或不等式，结合a2b2c2求解.【自主解答】设椭圆的长半轴、短半轴、半焦距长分别为a，b，c.则焦点为F1(c,0)，F2(c,0)，M点的坐标为，则MF1F2为直角三角形.在RtMF1F2中，|F1F2|2|MF2|2|MF1|2，即4c2b2|MF1|2.而|MF1|MF2|b2a，整理得3c23a22ab.又c2a2b2，所以3b2a.所以.e21，e.求椭圆离心率或其范围的常用方法1.定义法：若给定椭圆的方程，则根据焦点位置确定a2，b2，求出a，c的值，利用公式e直接求解.2.转化法：若椭圆的方程未知，则根据条件建立a，b，c满足的关系式，化为关于a，c的齐次方程，再将方程或不等式两边同除以a的最高次幂，得到关于e的方程，即可求得e的值.再练一题3.如图213所示，椭圆的中心在原点，焦点F1，F2在x轴上，A，B是椭圆的顶点，P是椭圆上一点，且PF1x轴，PF2AB，求此椭圆的离心率.图213【解】设椭圆的方程为1(ab0)，如题图所示，则有F1(c,0)，F2(c,0)，A(0，b)，B(a,0)，直线PF1的方程为xc，代入方程1，得y，P.又PF2AB，PF1F2AOB.，b2c.b24c2，a2c24c2，.e2，即e，所以椭圆的离心率为.1.椭圆x24y21的离心率为()A.B.C.D.【解析】椭圆方程可化为x21，a21，b2，c2，e2，e.【答案】A2.已知中心在原点的椭圆C的右焦点为F(1,0)，离心率等于，则C的方程是()A.1B.1C.1D.1【解析】右焦点为F(1,0)说明两层含义：椭圆的焦点在x轴上；c1.又离心率为，故a2，b2a2c2413，故椭圆的方程为1，故选D.【答案】D3.椭圆x24y216的短轴长为_.【解析】由1可知b2，短轴长2b4.【答案】44.若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是_. 【导学号：97792017】【解析】设长轴为2a，短轴为2b，焦距为2c，则2a2c22b，即ac2b，所以(ac)24b24(a2c2)，所以3a25c22ac，同除a2，整理得5e22e30，所以e或e1(舍