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第二节 可分离变量的微分方程 一、可分离变量的微分方程 二、典型例题 一、可分离变量的微分方程 形如 的方程，称为可分离变量 的微分方程. 分离变量，得： 设 y= (x) 是方程的解, 则有恒等式： 两边积分, 得 即： 设函数 G(y) 和 F(x) 是 g(y) 和 f(x) 的一个原函数 , 则有 当 G(y) 与F(x)可微且 G(y) =g(y)0时, 说明由确定的隐函数 y=(x) 是的解. 称为方程的隐式通解, 或通积分. 同样,当F(x) = f (x) 0时, 上述过程可逆, 由确定的隐函数 x=(y) 也是的解. 一、可分离变量的微分方程 形如 的方程，称为可分离变量 的微分方程. 求解步骤： (变量分离法) 1、分离变量,得 2、两边积分,得 3、求出通解 隐函数确定的微分方程的解 微分方程的隐式通解 例1 求解微分方程 解 分离变量 , 得 两端积分 , 得 二、典型例题 解得 例2 求解微分方程 解分离变量,得 两端积分,得 解得 解 分离变量,得 两端积分,得 解得 解 根据题意,有 (初始条件) 对方程分离变量, 即 利用初始条件, 得 故所求铀的变化规律为 然后积分: 解 根据牛顿第二定律 , 得 初始条件为 对方程分离变量 , 然后积分 : 得 利用初始条件,得 代入上式后化简, 得特解 例 设降落伞从跳伞塔下落后所受空气阻力与速度 成正比,并设降落伞离开跳伞塔时( t = 0 )速度为0, 求降落伞下落速度与时间的函数关系. t 足够大时 解 分离变量, 解得 然后积分 : 可分离变量的微分方程初值问题: 的解也可直接用变上限积分来确定： 分离变量法步骤: 1.分离变量; 2.两端积分隐式通解. 三、小结 若是求特解，还需根据初值条件定常数 . (1) 找出事物的共性及可贯穿于全过程的规律列方程. 常用的方法: 1) 根据几何关系列方程, 2) 根据物理规律列方程, 3) 根据微量分析平衡关系列方程. (2) 利用反映事物个性的特殊状态确定初值条件. (3) 求通解, 并根据初值条件确定特解. 3. 解微分方程应用题的方法和步骤 思考与练习 求方程的通解 : 提示: 方程变形为 练 习 题 练习题答案 例 9 有高为 1 m 的半球形容器 , 水从它的底部 小孔流出 , 小孔横截面积为 1 cm2 (如图). 开始时 容器内盛满了水 , 求水从小孔流出过程中容器里 水面的高度 h (水面与孔口中心间的距离) 随时间 t 的变化规律 . 解 由力学知识得,水从孔口流 出的流量为 流量系数孔口截面面积重力加速度 设在微小的时间间
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