高中数学第三章三角恒等变换3.3二倍角的三角函数常用方法例析素材北师大版.docx

3.3 二倍角的三角函数常用方法例析二倍角的三角函数是和、差角的三角函数的特例，其求值，化简，证明的出发点是统一角，统一函数和降低次数。在变形过程中，要注意角与角之间的和、差、倍关系和特殊角之间的关系等。同时还要观察式子的特征，适当选用公式进行化简。这里对几种常用方法举例解析，供同学们参考。一、逆用公式法：例1 求sin10sin30sin50sin70的值。分析：注意到sin10sin50sin70=cos80cos40cos20,分子分母可同时乘以2sin20,逆用正弦的二倍角公式求解，也可用变形式作商相消。解法1 (连续逆用法)sin10sin30sin50sin70=cos80cos40cos20=cos80cos40(2sin20cos20)=cos80(2sin40cos40)=(2sin80cos80) = 解法2 (作商法)sin10sin30sin50sin70=cos80cos40cos20=评注：解法1是根据其特点采用同乘同除一个三角函数式，使其构成使用二倍角公式sin2=2sincos的形式，从而达到求值的目的。解法2用作商相消法可使问题变得简单。正弦二倍角的三角函数公式，可以起到转化角的作用。在三角函数的求值、化简和证明过程中，对于角是二倍角关系的余弦函数的连乘积(首项可为正弦)问题均可采用类似的方法解之。总之：方法不拘泥,要注意灵活运用。例2 化简cosA+sin(+A)+cos(+A)分析：对余弦二倍角公式的变形逆用通常称为“降次公式”，可对正、余弦函数的平方进行降次。本题可先用降次公式进行降次，再用和、差公式展开化简。解：原式=+=+cos2A-(coscos2A-sinsin2A)+(coscos2A-sinsin2A)=+(cos2A-cos2A+sin2A-cos2A-sin2A)=评注： 根据二倍角公式可得1+cos2=2cos,1-cos2=2sin，sin=,cos=。公式通常叫做升幂公式，同时能使1cos2两项的表达式减少到一项；公式通常叫做降幂公式，它能使表达式的次数降低。可依据函数式的特征灵活选用。二、化弦法：例3 化简(cot-tan)(1+tantan)分析：为便于化简，须将角,均统一到；还须将正切余切均化为弦，即采用“切化弦”；然后利用和角、倍角公式化为最简形式。解：原式=(-)(1+)=2csc评注：“切化弦”是化简的关键。规律：对于六种不同的三角函数，可利用商数关系与倒数关系，将其转化为正弦、余弦两种三角函数于简化求解过程，俗称“化弦法”。三、化切法例4 已知tan,求sin2,cos2.分析：求sin2时用二倍角公式展开后，在分母加上cos+sin,再化切。求cos2时依据正切的二倍角公式逆用商数关系即可。解：sin2=cos2=评注：分母用“1=cos+sin”进行代换是本题求解的技巧。以上两式与正切的二倍角公式合称为“万能公式”，它对于三角的计算，恒等式的证明及不等式的证明诸方面均有重要作用，特别对于含tan,sin2,sincos,cos2,tan2,sin2,cos2,tan2的三角函数恒等式的证明颇见成效。在等式中若令tan=t，仿例3用“1=cos+sin”进行代换可推得sin2=,cos2=,tan2=,sin2=,sincos=,cos2=。这样，三角恒等式化为f(t)=g(t)的形式，可使其转化为代数恒等式来证明。例5 求证：=2cos2cos2(sin2+2sin2)分析：设tan=t，利用万能公式，转化为代数式。证明：设tan=t,则左边=右边=2(+)=等式成立评注：这种将众多二倍角的三角式及单角三角的二次式转化为正切表示的方法，通常称为“化切法”。此法可用来简化三角运算，能收事半功倍之效。四、随堂训练若ABC的内角A满足sin2A=，则sinA+cosA=( ) (A) (B) (C) (D) 求cos36cos72的值。 已知sin()sin()，(,)，求sin4的值求sim20+cos50+sin30sin70的值。求(tan10-)的值。已知tan=,求sin(2+)的值。已知sin+2cos=2,求tan的值。参考答案由sin2A2sinAcosA0，可知A是锐角，所以sinAcosA0，又（sinA+cosA)=1+sin2A=，故选A原式=cos2=sin(-2)=2sin(-)cos(-)=2sin(+)sin(-)2=；(,)，2(,2)，sin2=-； sin4=2sin2cos2=-。原式=+sin70=1-cos(70-30)-cos(70+30)+sin70=1-2sin70sin30+