高中数学第二章2.4.2平面向量数量积的坐标表示模夹角知识巧解学案.docx

2.4.2 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角疱工巧解牛知识巧学一、两个向量数量积的坐标表示设a=(x1，y1)，b=(x2，y2)，取与x轴、y轴分别同向的两个单位向量i、j，则a=(x1，y1)=x1i+y1j，b=(x2，y2)=x2i+y2j.由数量积的定义可知：ii=1，jj=1，ij=0，ji=0.所以ab=(x1i+y1j)(x2i+y2j)=x1x2i2+x1y2ij+x2y1ji+y1y2j2=x1x2+y1y2.学法一得 通过坐标形式用i、j表示以后，数量积的运算就类似于多项式的乘法，展开后再合并同类项.也就是“两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和”，即ab=x1x2+y1y2.引入坐标后，把向量的数量积的运算与两向量的坐标运算联系起来，即可用ab=|a|b|cos=x1x2+ y1y2来求值.二、向量的模的坐标表示和平面内两点间的距离公式1.aa=(xi+yj)(xi+yj)=x2+y2.又aa=a2=|a|2，|a|2=x2+y2.|a|=.2.平面直角坐标系下的两点间的距离等于以这两点中的一个点为起点，另一个点为终点的向量的模.图2-4-4已知A(x1，y1)，B(x2，y2)，则=(x2，y2)-(x1，y1)=(x2-x1，y2-y1)，所以|=.这就是平面内两点间的距离公式.学法一得 向量a的模|a|=也具有一定的几何意义，即|a|= ，通过简单的构造，它表示点(x，y)到原点(0，0)的距离.3.向量垂直的坐标表示我们已经知道平面上两个向量b=(x2，y2)，a=(x1，y1)共线的充要条件：x1y2-x2y1=0.由数量积的定义看，ab=|a|b|cos=x1x2+y1y2，已知两向量垂直的充要条件是ab=0，可得abab=0x1x2+y1y2=0.学法一得 公式x1x2+y1y2=0是判定两个向量垂直的条件，在实际中可通过它来证明两个向量垂直或三角形为直角三角形或四边形为矩形等.4.用平面向量数量积的坐标公式计算两个向量的夹角设a=(x1，y1)，b=(x2，y2)，由数量积的定义ab=|a|b|cos，得cos=，即cos=.学法一得 利用此公式，可直接求出两向量的夹角.典题热题知识点一 平面内两点间的距离公式例1 已知A(-3，4)，B(5，2)，则|=_.解：直接利用公式.|=.也可先求，再求|.=(5，2)-(-3，4)=(8，-2)，|.知识点二 两个非零向量的数量积与垂直例2 已知四边形ABCD的顶点分别为A(2，1)，B(5，4)，C(2，7)，D(-1，4)，求证：四边形ABCD是正方形.证明：A(2，1)，B(5，4)，C(2，7)，D(-1，4)，AB=(5-2，4-1)=(3，3)，=(2+1，7-4)=(3，3).=，从而四边形ABCD为平行四边形.又=(-1-2，4-1)=(-3，3)，=(3，3)，=(-3，3)(3，3)=-9+9=0.平行四边形ABCD为矩形.又=(3，3)，=(-3，3)，|=|=.矩形ABCD为正方形.例3 在ABC中，=(2，3)，=(1，k)，且ABC的一个内角为直角，求k的值.思路分析：由于没指出哪个内角是直角，故需分别讨论，借助向量减法的运算法则求出ABC中一边BC对应的向量，再用两个向量垂直的条件，构造出k的方程，从而求出k的值.解：(1)当A=90时，=0，21+3k=0.k=.(2)当B=90时，=-=(1-2，k-3)=(-1，k-3)，=0，2(-1)+3(k-3)=0.k=.(3)当C=90时，=0，-1+k(k-3)=0，即k2-3k-1=0.k1=或k2=.综合(1)(2)(3)可知k的值为k=或k=或k=.例4 如图2-4-5，以原点和A(5，2)为两个顶点作等腰RtOAB，使B=90，求点B和向量的坐标.图2-4-5思路分析：关键是求出B点的坐标，设B(x，y)，由和|=|，则可列出x、y的方程组，解方程组，则可求得x、y，再求的坐标.解：设B点坐标为(x，y)，则=(x，y)，=(x-5，y-2).，x(x-5)+y(y-2)=0，即x2+y2-5x-2y=0. 又|=|，x2+y2=(x-5)2+(y-2)2，即10x+4y=29. 解得或B点坐标为(，-)或(，).=(-，)或=(，).方法归纳 本题是构造方程的题目，主要是用两个向量垂直的条件、向量的减法、向量的模的定义，紧紧抓住“等腰”“直角”两个条件，把方程组列出来.在解方程组时，应注意代入消元思想的运用.知识点三 用平面向量数量积求实数例5 设I为ABC的内心，AB=AC=5,BC=6,=m+n,求m和n的值.图2-4-6解：如图2-4-6，建立坐标系.由题意知A(0,4),B(-3,0),C(3,0),因为I为ABC的内心，AB=AC，所以点I在y轴上，设其坐标为I(0,k).又=(-3,-4),=(6,0)，因为点I在ABC的平分线上，所以与及的单位向量的和向量共线.设这个和向量为u， 则u=()+(1,0)=().u的单位向量u0=()，它与的单位向量相等，=(3,k)，由此得方程.解方程得k=(另一负根不合题意，舍去).所以，=(0,-4)=(0,).又=m+n，故(0,)=m(-3,-4)+n(6,0)，即解得m=,n=.方法归纳 利用平面向量的数量积的坐标表示及其运算律可用来证明几何问题，它一般分为三步：一是建立适当的坐标系，用点的坐标表示几何关系；二是进行向量的坐标运算；三是还原为几何结论.例6 平面内三点A、B、C在一条直线上，=(-2,m),=(n,1),=(5,-1),且，求实数m、n的值.思路分析：因为A、B、C三点共线，所以=；由,知=0，由上述两个关系列出方程，可求得m、n的值.解：因为A、B、C三点共线，所以=.因为=-=(7,-1-m),=-=(n+2,1-m),所以(7,-1-m)=(n+2,1-m),即所以mn-5m+n+9=0. 由=0，得m-2n=0, 由得m=6,n=3或m=3,n=.方法归纳 解决此类问题，主要是利用平行、垂直的条件列出方程，通过解方程使问题解决，体现了方程思想的运用.知识点四 用平面向量数量积的坐标公式计算两个向量的夹角例7 已知向量a=e1-e2，b=4e1+3e2，其中e1=(1，0)，e2=(0，1).(1)试计算ab及|a+b|的值；(2)求向量a与b夹角的余弦.思路分析：根据条件，先求出a与b的坐标，然后根据数量积的定义、模以及夹角的运算公式求解.解：(1)a=e1-e2=(1，0)-(0，1)=(1，-1)，b=4e1+3e2=4(1，0)+3(0，1)=(4，3).ab=41+3(-1)=1，|a+b|=.(2)由ab=|a|b|cos，cos=.例8 平面内有向量=(1，7)，=(5，1)，=(2，1)，点M为直线上的一动点.(1)当取最小值时，求的坐标；(2)当点M满足(1)的条件和结论时，求cosAMB的值.思路分析：因为点M在直线OP上，向量与共线，可以得到关于OM坐标的一个关系式，再根据的最小值，求得，而cosAMB是向量与夹角的余弦，利用数量积的知识容易解决.图2-4-7解：(1)=(x，y)，点M在直线OP上，向量与共线.又=(2，1)，x1-y2=0，即x=2y.=(2y，y).又=-，OA=(1，7)，=(1-2y，7-y).同理,=-=(5-2y，1-y).于是，=(1-2y)(5-2y)+(7-y)(1-y)=4y2-12y+5+y2-8y+7=5y2-20y+12.由二次函数的知识，可知当时，有最小值-8，此时=(4，2).(2)当=(4，2)，即y=2时，有=(-3，5)，=(1，-1)，|=，|=，=(-3)1+5(-1)=-8，cosAMB=.方法归纳 与最值有关的问题，往往是先选取适当的变量，建立关于取定变量的目标关系式(或函数关系式)，通过求函数最值的基本方法求解.如转化成二次函数或三角函数问题等.问题探究误区陷阱探究问题 我们前面学习了两个向量的数量积、向量同实数的积、实数之间的运算，一个是向量乘向量，一个是数乘向量，一个是实数乘实数，三者有很大区别.具体说它们有哪些差别？探究过程:根据定义，两个向量的数量积等于这两个向量的模与两个向量夹角余弦的积，向量的模与两个向量夹角的余弦值均为实数，所以两个向量的数量积是一个实数，不是向量，不再具有方向，其符号由cos的符号所决定.向量同实数的积相当于将向量伸长或缩短了若干倍，其方向与原向量的方向相同或相反.两个向量的数量积称为内积，写成ab；今后还要学到两个向量的外积ab，而ab是两个向量的数量的积，书写时要严格区分.符号“”在向量运算中不是乘号，既不能省略，也不能用“”代替.在实数中，若a0，且ab=0，则b=0；但是在数量积中，若a0，且ab=0，不能推出b=0.因为其中cos有可能为0.现有实数a、b、c(b0)，则ab=bca=c.但是ab=bca=c，如图2-4-8，ab=|a|b|cos=|b|，bc=|b|c|cos=|b|，ab=bc，但ac.这些都是与实数运算不一样的地方，应该特别注意，防止出错.图2-4-8探究结论:两个向量的数量积是向量乘向量，其结果为向量同实数的积、实数之间的运算，一个是数乘向量，一个是实数乘实数.思维发散探究问题 设a、b是不相等的实数，试探求证明不等式(a4+b4)(a2+b2)(a3+b3)2的方法.探究思路:对于不等式的证明比较常见的方法是作差法，即求出不等式两边式子的差，再根据差与零的关系来达到证明不等式的目的.现在我们又学习了向量数量积的坐标表示，因此可以根据不等式结构构造向量,利用向量知识来达到证明不等式的目的.(a4+b4)(a2+b2)-(a3+b3)2=a6+b6+a4b2+a2b4-a6-b6-2a3b3=a4b2+a2b4-2a3b3=a2b2(a2-ab)+a2b2(b2-ab)=a2b2(a-b)2.由于a、b是不相等的实数，则(a4+b4)(a2+b2)-(a3+b3)2=a2b2(a-b)20，即(a4+b4)(a2+b2)(a3+b3)2.思想方法探究问题 如右图，将向量a=(2，1)围原点按逆时针方向旋转得到向量b，则向量b的坐标是多少？图2-4-9探究过程:可设向量b的坐标为(x，y)，然后根据两向量的长度相等和两向量的夹角公式列出关于x、y的方程组解之即可.具体步骤如下：设b=(x，y)，由已知条件，有代入坐标得解之,得或(舍去).故b=(,).探究结论:函数