2019届高考数学二轮复习专题六函数与导数不等式第4讲导数与函数的单调性极值最值问题学案理.docx

第4讲导数与函数的单调性、极值、最值问题高考定位利用导数研究函数的性质，能进行简单的定积分计算，以含指数函数、对数函数、三次有理函数为载体，研究函数的单调性、极值、最值，并能解决简单的问题.真 题 感 悟1.(2018全国卷)设函数f(x)x3(a1)x2ax.若f(x)为奇函数，则曲线yf(x)在点(0，0)处的切线方程为()A.y2x B.yxC.y2x D.yx解析因为函数f(x)x3(a1)x2ax为奇函数，所以f(x)f(x)，可得a1，所以f(x)x3x，所以f(x)3x21，所以f(0)1，所以曲线yf(x)在点(0，0)处的切线方程为yx.答案D2.(2017全国卷)若x2是函数f(x)(x2ax1)ex1的极值点，则f(x)的极小值为()A.1 B.2e3 C.5e3 D.1解析f(x)x2(a2)xa1ex1，则f(2)42(a2)a1e30a1，则f(x)(x2x1)ex1，f(x)(x2x2)ex1，令f(x)0，得x2或x1，当x1时，f(x)0；当2x1时，f(x)x1，设tf(x1)f(x2)(a2)(x1x2)，试证明t0.(1)解f(x)的定义域为(0，)，f(x)1.()若a2，则f(x)0，当且仅当a2，x1时f(x)0，所以f(x)在(0，)上单调递减.()若a2，令f(x)0得，x或x.当x时，f(x)0.所以f(x)在，上单调递减，在上单调递增.(2)证明由(1)知，f(x)存在两个极值点时，当且仅当a2.由于f(x)的两个极值点x1，x2满足x2ax10，所以x1x21.又x2x10，所以x21.又tf(x1)f(x2)(a2)(x1x2)(x1x2)a(ln x1ln x2)(a2)(x1x2)aa.设(x)x2ln x，x1.由第(1)问知，(x)在(1，)单调递减，且(1)0，从而当x(1，)时，(x)0.所以2ln x2x20.考 点 整 合1.导数的几何意义函数f(x) 在x0处的导数是曲线f(x)在点P(x0，f(x0)处的切线的斜率，曲线f(x)在点P处的切线的斜率kf(x0)，相应的切线方程为yf(x0)f(x0)(xx0).易错提醒求曲线的切线方程时，要注意是在点P处的切线还是过点P的切线，前者点P为切点，后者点P不一定为切点.2.四个易误导数公式(1)(sin x)cos x；(2)(cos x)sin x；(3)(ax)axln a(a0，且a1)；(4)(logax)(a0，且a1，x0).3.利用导数研究函数的单调性(1)导数与函数单调性的关系.f(x)0是f(x)为增函数的充分不必要条件，如函数f(x)x3在(，)上单调递增，但f(x)0.f(x)0是f(x)为增函数的必要不充分条件，如果函数在某个区间内恒有f(x)0时，则f(x)为常数函数.(2)利用导数研究函数单调性的方法.若求单调区间(或证明单调性)，只要在函数定义域内解(或证明)不等式f(x)0或f(x)0，右侧f(x)0，则f(x0)为函数f(x)的极大值；若在x0附近左侧f(x)0，则f(x0)为函数f(x)的极小值.(2)设函数yf(x)在a，b上连续，在(a，b)内可导，则f(x)在a，b上必有最大值和最小值且在极值点或端点处取得.易错提醒若函数的导数存在，某点的导数等于零是函数在该点取得极值的必要而不充分条件.热点一导数与定积分的几何意义【例1】 (1)(2016全国卷)已知f(x)为偶函数，当x0时，f(x)ln(x)3x，则曲线yf(x)在点(1，3)处的切线方程是_.(2)(2018邯郸调研)展开式的中间项系数为20，如图阴影部分是由曲线yx2和圆x2y2a及x轴围成的封闭图形，则封闭图形的面积S_.解析(1)令x0，则x0)，则f(x)3(x0).f(1)2，在点(1，3)处的切线方程为y32(x1)，即2xy10.(2)因为展开式的中间项系数为20，中间项为第四项，系数为C20，解得a2，所以曲线yx2和圆x2y22在第一象限的交点为(1，1)，所以阴影部分的面积为(xx2)dx.答案(1)2xy10(2)探究提高1.利用导数的几何意义解题，主要是利用导数、切点坐标、切线斜率之间的关系来进行转化，其中关键是确定切点的坐标.2.利用定积分求平面图形的面积的两个关键点(1)正确画出几何图形，结合图形位置，准确确定积分区间以及被积函数，从而得到面积的积分表达式，再利用微积分基本定理求出积分值.(2)根据图形的特征，选择合适的积分变量.在以y为积分变量时，应注意将曲线方程变为x(y)的形式，同时，积分上、下限必须对应y的取值.【训练1】 (1)(2018武汉调研)设曲线y在点处的切线与直线xay10垂直，则a_.(2)(2018成都质检)在平面直角坐标系内任取一个点P(x，y)满足则点P落在曲线y与直线x2，y2围成的阴影区域(如图所示)内的概率为_.解析(1)y，则曲线y在点处的切线的斜率为k11.因为直线xay10的斜率k2，又该切线与直线xay10垂直，所以k1k21，解得a1.(2)由解得所以阴影部分的面积为dx(2xln x)(22ln 2)32ln 2，因此所求概率为.答案(1)1(2)热点二利用导数研究函数的单调性考法1确定函数的单调性(区间)【例21】 (2017全国卷改编)已知函数f(x)ex(exa)a2x，其中参数a0.(1)讨论f(x)的单调性；(2)若f(x)0，求a的取值范围.解(1)函数f(x)的定义域为(，)，且a0.f(x)2e2xaexa2(2exa)(exa).若a0，则f(x)e2x，在(，)上单调递增.若a0，则由f(x)0，得xln .当x时，f(x)0.故f(x)在上单调递减，在区间上单调递增.综上所述，当a0时，f(x)在R上单调递增；当a0时，f(x)在上单调递减；在上单调递增.(2)当a0时，f(x)e2x0恒成立.若aa2e时，f(x)0.综上，a的取值范围是2e，0.考法2根据函数的单调性求参数的取值范围【例22】 (2018广州质检)已知x1是f(x)2xln x的一个极值点.(1)求函数f(x)的单调递减区间.(2)设函数g(x)f(x)，若函数g(x)在区间1，2内单调递增，求a的取值范围.解(1)f(x)2xln x，定义域(0，).f(x)2.因为x1是f(x)2xln x的一个极值点，所以f(1)0，即2b10.解得b3，经检验，适合题意，所以b3.所以f(x)2，令f(x)0，得0x0)，g(x)2(x0).因为函数g(x)在1，2上单调递增，所以g(x)0在1，2上恒成立，即20在1，2上恒成立，所以a2x2x在1，2上恒成立，所以a(2x2x)max，x1，2.因为在1，2上，(2x2x)max3，所以a3.所以a的取值范围是3，).探究提高1.求函数的单调区间，只需在函数的定义域内解(证)不等式f(x)0或f(x)，则当x时，f(x)0.所以f(x)在x2处取得极小值.若a，则当x(0，2)时，x20，ax1x10.所以2不是f(x)的极小值点.综上可知，a的取值范围是.探究提高1.本题利用导数的几何意义曲线在点(1，f(1)处的切线与x轴平行，求a值，切记，需检验切线是否与x轴重合.2.(1)可导函数在极值点处的导数一定为零，但导数为零的点不一定是极值点，是极值点时也要注意是极大值点还是极小值点.(2)求函数f(x)在闭区间a，b的最值时，在得到极值的基础上，结合区间端点的函数值f(a)，f(b)与f(x)的各极值进行比较得到函数的最值.【训练3】 已知函数f(x)excos xx.(1)求曲线yf(x)在点(0，f(0)处的切线方程；(2)求函数f(x)在区间上的最大值和最小值.解(1)f(x)excos xx，f(0)1，f(x)ex(cos xsin x)1，f(0)0，yf(x)在(0，f(0)处的切线方程为y10(x0)，即y1.(2)f(x)ex(cos xsin x)1，令g(x)f(x)，则g(x)2sin xex0在上恒成立，且仅在x0处等号成立，g(x)在上单调递减，g(x)g(0)0，f(x)0且仅在x0处等号成立，f(x)在上单调递减，f(x)maxf(0)1，f(x)minf .考法2与函数极值点个数有关问题【例32】 (2018潍坊三模)已知函数f(x)ln xx2ax(aR)，g(x)exx2.(1)讨论函数f(x)极值点的个数；(2)若对x0，不等式f(x)g(x)成立，求实数a的取值范围.解(1)f(x)xa(x0).令f(x)0，即x2ax10，其中a24.当a240时，即2a2时，x2ax10恒成立.f(x)0，则f(x)在(0，)上递增，函数无极值点.当a240时，由x2ax10，得x1，x2(x12，则x1x20，f(x)在(0，)上单调递增.f(x)在(0，)上无极值点.若a2，则0x10，当x(x1，x2)时，f(x)0，故x1是f(x)的极大值点，x2是f(x)的极小值点.综上：当a0).h(x).当x(0，1)时，ex(x1)ln xx210，即h(x)0，即h(x)0，h(x)单调递增.因此x1为h(x)的极小值点，即h(x)h(1)e1，故ae1.探究提高1.求函数f(x)的极值，则先求方程f(x)0的根，再检查f(x)在方程根的左右附近函数值的符号.2.若已知极值大小或存在情况，则转化为已知方程f(x)0根的大小或存在情况来求解.【训练4】 已知函数f(x)ax1ln x(aR).(1)讨论函数f(x)在定义域内的极值点的个数；(2)若函数f(x)在x1处取得极值，x(0，)，f(x)bx2恒成立，求实数b的最大值.解(1)f(x)的定义域为(0，)，f(x)a.当a0时，f(x)0在(0，)上恒成立，函数f(x)在(0，)上单调递减.f(x)在(0，)上没有极值点.当a0时，由f(x)0，得0x0，得x，f(x)在上单调递减，在上单调递增，故f(x)在x处有极小值.综上，当a0时，f(x)在(0，)上没有极值点；当a0时，f(x)在(0，)上有一个极值点.(2)函数f(x)在x1处取得极值，f(1)a10，则a1，从而f(x)x1ln x.因此f(x)bx21b，令g(x)1，则g(x)，令g(x)0，得xe2，则g(x)在(0，e2)上单调递减，在(e2，)上单调递增，g(x)ming(e2)1，即b1.故实数b的最大值是1.1.如果一个函数具有相同单调性的区间不止一个，这些单调区间不能用“”连接，而只能用逗号或“和”字隔开.2.可导函数在闭区间a，b上的最值，就是函数在该区间上的极值及端点值中的最大值与最小值.3.可导函数极值的理解(1)函数在定义域上的极大值与极小值的大小关系不确定，也有可能极小值大于极大值；(2)对于可导函数f(x)，“f(x)在xx0处的导数f(x0)0”是“f(x)在xx0处取得极值”的必要不充分条件；(3)注意导函数的图象与原函数图象的关系，导函数由正变负的零点是原函数的极大值点，导函数由负变正的零点是原函数的极小值点.4.求函数的单调区间时，若函数的导函数中含有带参数的有理因式，因式根的个数、大小、根是否在定义域内可能都与参数有关，则需对参数进行分类讨论.5.求函数的极值、最值问题，一般需要求导，借助函数的单调性，转化为方程或不等式问题来解决，有正向思维直接求函数的极值或最值；也有逆向思维已知函数的极值或最值，求参数的值或范围，常常用到分类讨论、数形结合的思想.一、选择题1.曲线yex2x在点(0，1)处的切线方程为()A.yx1 B.yx1C.y3x1 D.yx1解析求导函数yex2，当x0时，ye023，所以曲线yex2x在点(0，1)处的切线方程为y3x1.答案C2.(2018安徽江淮十校联考)设函数f(x)x29ln x在区间a1，a1上单调递减，则实数a的取值范围是()A.(1，2 B.4，)C.(，2 D.(0，3解析易知f(x)的定义域为(0，)，且f(x)x.因为函数f(x)在区间a1，a1上单调递减，所以f(x)0在a1，a1上恒成立，即0x3在a1，a1上恒成立，所以解得10，g(x)6x22x1的200恒成立，故f(x)0恒成立，即f(x)在定义域上单调递增，无极值点.答案A4.函数yf(x)的导函数yf(x)的图象如图所示，则函数yf(x)的图象可能是()解析利用导数与函数的单调性进行验证.f(x)0的解集对应yf(x)的增区间，f(x)0的解集对应yf(x)的减区间，验证只有D选项符合.答案D5.(2018郑州质检)若函数yf(x)存在n1(nN*)个极值点，则称yf(x)为n折函数，例如f(x)x2为2折函数.已知函数f(x)(x1)exx(x2)2，则f(x)为()A.2折函数 B.3折函数C.4折函数 D.5折函数解析f(x)(x2)ex(x2)(3x2)(x2)(ex3x2)，令f(x)0，得x2或ex3x2.易知x2是f(x)的一个极值点，又ex3x2，结合函数图象，yex与y3x2有两个交点.又e23(2)24.函数yf(x)有3个极值点，则f(x)为4折函数.答案C二、填空题6.(2018全国卷)曲线y2ln(x1)在点O(0，0)处的切线方程为_.解析由题意得y.在点O处切线斜率ky|x02.曲线y2ln(x1)在点(0，0)处的切线方程为y02(x0)，即y2x.答案y2x7.(2018郴州三模)已知奇函数f(x)则函数h(x)的最大值为_.解析当x0时，f(x)1，f(x)，当x(0，1)时，f(x)1时，f(x)0，函数f(x)单调递增.x1时，f(x)取到极小值e1，即f(x)的最小值e1.又f(x)为奇函数，且x0时，f(x)h(x)，h(x)的最大值为(e1)1e.答案1e8.对于函数yf(x)，若其定义域内存在两个不同实数x1，x2，使得xif(xi)1(i1，2)成立，则称函数f(x)具有性质P.若函数f(x)具有性质P，则实数a的取值范围为_.解析依题意，