分数阶偏微分方程在图像处理的应用.ppt

分数阶偏微分方程在图像处理的应用 刘路逍 数字图像处理简介 图像去噪一般可以分为两类：空域去噪方法和变换域去噪方法 空域去噪方法是直接对图像的像素进行处理，如均值滤波， 中值滤波和偏微分方程滤波方法 变换域去噪方法主要是利用有用信号和噪声信号在变换域中 表现出的不同特征来有效的去除噪声，如傅里叶变换，小波变换 滤波方法 数字图像处理(Digital Image Processing)是通过计算机对图像进行去除 噪声、增强、复原、分割、提取特征等处理的方法和技术。在航天航空、 生物医学、通讯工程等多个方面有广泛的应用。 偏微分方程图像去噪方法 偏微分方程（Partial Differential Equations ）图像处理一般是采 用某一能量泛函,通过变分法,得到欧拉-拉格朗日方程，并用梯度 下降法求得相应的解。 初次出现的PDE滤波模型是线性的热扩散方程，该模型的扩散 行为是朝四周各个方向的，不可避免地会破坏图像的边缘等特色 。为了克服这种缺陷，许多研究者从各种角度提出各种方法来避 免这种“同向扩散（Isotropic Diffusion）”行为 ，于是就诞生了各 种整数阶PDE滤波模型，如P-M模型，ROF模型等等。 分数阶偏微分方程图像处理的优点 从数学性质上讲,对纹理结构的本身特性而言,纹理是具有弱导数(即分数阶导数)特 性的信息,整数阶微分算子并不适合于处理这类具有弱导数的信息。 上图为分数阶微分算子在阶次不同时的幅频特性。从图中可以清楚地得出：分数阶微分算 子对信号都有加强的作用，并且加强的幅度随频率和微分阶次的增加而非线性地急剧增强，在 信号的低频部分(1)，分数阶微分算子对信号的幅值进行一定的提 升，但是提升的幅度也明显小于1阶次和2阶次微分。 上述性质表明，分数阶微分算子在加强信号中高频成分的同时，对信号的甚低频分量进行 了非线性保留。所以，分数阶微分可以大幅提升高频成分，增强中频成分，非线性保留低频成 分。所以采用分数阶微分进行图像去噪时，不仅能够较好地保持图像边缘特征，还能较好地保 留图像平滑区域内灰度变化不大的纹理细节信息。 分数阶导数的定义 分数阶微积分的定义主要分为空域中的定义和频域中的定义两大类, 空域中的定义主要包括Grumwald-Letnikov定义、Riemann-Liouville定义和 Caputo定义,频域中的定义主要包括在Fourier变换域、LaPlace变换域中的定 义形式。 下面只介绍本文中使用的Grumwald-Letnikov分数阶导数 : 设在闭区间 上连续，则 关于的 阶导数可以表示为, 其中，称为广义二项式系数， 为伽玛函数， 为取整运算 全变分（TVD）去噪模型 令u（x , y）为原始的清晰图像，f（x，y）为受到噪声污染的图像。即 n（x，y）为具有零均值、方差为的随机噪声，则TV去噪模型可表示为： 其中：右边第一项为图像的正则项，它在极小化过程中可以起到抑制噪 声的作用；第二项为保真项，它主要起保持图像边缘特征和降低图像失真度 的作用。 为梯度算子；为图像的定义域，像素点(x , y) 。 该模型存在的不足：一方面，由于该模型中正则项仅包含|u|，很 多研究结果表明该模型本身存在固有缺陷，即在处理平滑区域时， 有可能将噪声当成边缘，从而容易产生“阶梯”效应；另一方面， 虽然TV图像去噪方法进行图像去噪有利于保持图像边缘信息，但对 于图像的纹理细节的刻画却不够理想。因此有必要在此模型上进行 改进。 新分数阶全变分图像去噪模型 全变分模型的一般形式： 受分数阶微分理论和TV模型的启发，本文将上式中的整数阶微分运算用 阶微分 来替换： 其中 是一个的对角矩阵， 代表第i个像素的正则化参数， ，其中代表第i个元素微分的分数阶次，且 为离散化分数阶梯度算子， 这样替换有两个好处: 1) 全变分模型去噪效果好与保持图像边缘细节 特征的优点得到了很好地继承; 2)分数阶微分可以大幅提升图像高频成分 、增强图像中频成分、非线性保留图像低频成分的特性, 较好地保留了更 多图像平滑区域中灰度变化不大的纹理细节信息。这样一来, 本文建立的 新模型较好地解决在去除噪声的同时, 保持图像边缘特征这一矛盾,并且还 能保留了图像更多的纹理细节信息。 分别代表x和y方向的分数阶差分算子。 为了求解上式，我们应用交替最小化的步骤，即，对，依次求解 运用半二次正则化方法与分离变量法将问题转化， 前两式的每一步迭代都有确切的解 , 第三个最小化的解 可以利用下式得到： , 1.输入待处理图像f； ，初始化迭代程序 ，对下式进行迭代直到收敛 4.输出（3.7）式的近似解，程序结束。 概括上述步骤得到MATLAB伪码，并将模型写成矩阵形式： 3. 2.设置 在使用矩阵方法进行分数阶微分 离散前，需要先将二维图像矩阵进行 降维操作，假设图像u(i,j)是一个的矩 阵，i与j分别表示像素对应的列和行 ，将图像转化为长度为的向量： 分数阶导数的离散 其中， 上式中，K是用于近似计算的像素个数， 是一个实系数，定义为如下形式： 对任意像素（i，j）的离散分数阶梯度有如下定义： 现在，我们来考虑模型中的分数阶微分算子 令取定值，并且假设图像满足狄利克雷均匀边界条件，则两个 矩阵和为特普利茨分块矩阵，可以表示为如下形式： 其中表示克罗内克积， 是n阶的单位矩阵， 是特普利茨下三角带矩阵，该矩阵第一列为 ,其中K表示用于近似计算的节点数。 和 写成矩阵形式， 图像对应的向量u可以表示为： 当矩阵，乘以向量u时，有如下结果， (a)原图 (b) 噪声图(c) =1.2 (e) =1.4 (f) =1.5 (g) =1.6 (h) =1.7 1.21.31.41.51.61.7噪声图 PSNR/dB20.154520.995322.569619.918415.924812.960519.3836 不同分数阶次微分的实验对比 (d) =1.3 (a) 噪声图2=0.01 (b) 线性滤波 (c) 中值滤波 (d) TV模型 (e) P-M模型 (f)本文模型=1.4 PSNR 线性滤波中值滤波TV模型P-M模型本文模型去噪前 0.0120.696521.273622.117220.149222.569619.3836 Lena图像去噪效果对比 (a) 噪声图2=0.01 (b) 线性滤波 (c) 中值滤波 (d) TV模型 (e) P-M模型 (f)本文模型=1.4 Barbara图像去噪效果对比 （a）线性滤波 （b）中值滤波 （c）TV模型 (d) P-M模型 （e）本文模型=1.4 红框内细节纹理部分放大对比 本文从全变分去噪模型和分数阶微分理论出发,推导出了一种基 于分数阶偏微分方程的图像去噪新模型。该模型不仅继承了TV模 型去噪模型优点,保持了图像的边缘细节特征,而且很大限度上保 留了图像的纹理细节信息。实验结果表明,与现有的去噪方法相 比,新模型具有更优的噪声