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浙江省人口预测论文学 院： 理学院 专 业： 数学与应用数学 班 级： 学 号： 学生姓名： 指导教师： 2013年 10月 30日浙江省人口增长预测摘要本文建立了浙江省人口增长的预测模型，对各年份浙江省人口总量增长的中长期趋势作出了预测，最后提出了有关人口控制与管理的措施。模型：建立了Logistic人口阻滞增长模型，利用网上查找到的数据，分别根据从1978年、1990年到2012年两组总人口数据建立模型，进行预测，把预测结果与实际值进行分析比较。得出运用1990年到2012年的总人口数建立模型预测效果好，拟合的曲线的可决系数为0.99990041。运用1990年到2012年总人口数据预测得到2018年、2028年、2038年我国的总人口数分别为4942.1773万、5189.0261亿、5430.3079万。模型：考虑到人口增长率对人口增长的影响，在马尔萨斯模型的基础上，根据现在社会的发展，对马尔萨斯模型进行了改进，并得到了一个新的模型。首先先对马尔萨斯模型进行了分析，得到了预测的数据，然后用改进后的模型对人口数进行了预测，再次对两者分别预测到的人口数与实际人口数进行对比，最后得出结论。最后，分别对模型与模型进行残差分析、优缺点评价与推广。关键词 Logistic人口模型 马尔萨斯人口模型 人口增长预测 MATLAB软件1、问题重述一、背景知识：人口增长预测的研究是国家（地区）制定未来人口发展目标和生育政策等有关人口政策的基础，对于经济计划的制定和社会战略目标的决策具有重要参考价值。一般的人口预测统计学模型，其预测精度难以保证。所以选择一个好的人口预测模型，首先应符合人口基本理论和数学建模的要求，这是选择模型的关键，其次要保证模型数据可得一致性与可比性，在数据预测检验阶段应充分拟合原始数据。浙江省是人口大省、地域小省(资源小省)，虽然从“资源小省、经济小省(国家投入小省)、工业小省”迅速发展成为“经济大省”，但人口问题始终是制约浙江省发展的关键因素之一。根据已有数据，运用数学建模的方法，对浙江省做出分析和预测是一个重要问题。近年来浙江省的人口发展出现了一些新的特点，例如，老龄化进程加速、出生人口性别比持续升高，以及乡村人口城镇化等因素，这些都影响着浙江省人口的增长。二、相关数据：人口数据（中国人口统计年鉴中的部分数据）及其说明根据已有数据三、要解决的问题：1、试建立浙江省人口增长的数学模型，并由此对浙江省人口增长的中长期趋势做出预测；特别要指出你们模型中的优点与不足之处。2、利用所建立模型的预测结果，根据模型的计算结果，对未来人口发展高峰进行预测并针对浙江省人口的调控和管理进行分析。2、问题分析人口的变化受到众多方面因素的影响，因此对人口的预测与控制也就十分复杂，很难在一个模型中综合考虑到各个因素的影响。为了更好的解决此问题，我们考虑到可以根据对人口增长不同的评价指标及不同的时期建立多个模型分别加以讨论。一、由网上查到的数据中，从最简单的模型出发，我们建立了模型：阻滞增长模型，从历年来浙江省总人数找出相应的规律，预测以后浙江省人数发展的趋势，并对相应的年份进行人数的预测。二、模型只考虑了人口总数，对人口总数进行了预测分析。但实际中在对人口进行分析时，人口的自然增长率也是有很大的影响的。在不同的时期，人口的自然增长率是不同的，它们对人口未来发展的影响也是很不一样的。为了讨论不同人口的自然增长率对人口增长的影响，我们依建立了模型：改进的马尔萨斯模型。三、由模型和模型的结果我们预测了人口总数的发展趋势，由此我们可以对模型的计算结果进行进一步的分析。3、合理的假设1、社会稳定，不会发生重大自然灾害和战争不随时间而变化2、超过90岁的妇女（老寿星）都按90岁年龄计算3、在较短的时间内，平均年龄变化较小，可以认为不变4、不考虑移民对人口总数的影响4、名词解释与符号说明一、名词解释1、人口增长率一定时间内(通常为一年)人口增长数量与人口总数之比。人口增长率用千分数表示。计算公式为：人口增长率=（年末人口数-年初人口数）/年平均人口数1000。2、人口容量环境人口容量的简称，指一国或一地区在可以预见的时期内，利用该地的能源和其他自然资源及智力、技术等条件，在保证符合社会文化准则的物质生活水平条件下，所能持续供养的人口数量。3、人口老龄化指人口中老年人比重日益上升的现象。 促使人口老龄化的直接原因是生育率和死亡率降低，主要是生育率降低。一般认为，如果人口中65岁及以上老年人口比重超过7%，或60岁及以上老年人口比重超过10%，那么该人口就属于老年型。4、出生人口性别比是活产男婴数与活产女婴数的比值，通常用女婴数量为100时所对应的男婴数来表示。正常情况下，出生性别比是由生物学规律决定的，保持在103107之间。二、符号说明序号符号意义1：表示年份（选定初始年份的）2人口增长率3：人口数量4：自然资源和环境条件所能容纳的最大人口数量5：可决系数6：x0设置的时间段最开始一年的人口数目7：X（t）对数据拟合之后得到的拟合函数8：N（t0）最开始1年的人口数9：N（t）第t年的人口数量10：A,B人口增长率函数的参数，需要求解5、模型的建立与求解模型：阻滞增长模型（Logistic模型）1一、模型的准备阻滞增长模型的原理：阻滞增长模型是考虑到自然资源、环境条件等因素对人口增长的阻滞作用，对指数增长模型的基本假设进行修改后得到的。阻滞作用体现在对人口增长率的影响上，使得随着人口数量的增加而下降。若将表示为的函数。则它应是减函数。于是有： （1）对的一个最简单的假定是，设为的线性函数，即 （2）设自然资源和环境条件所能容纳的最大人口数量（人口容量），当时人口不再增长，即增长率，代入（2）式得，于是（2）式为 （3）将（3）代入方程（1）得： （4）解方程（4）可得： （5）二、模型的建立为了对以后一定时期内的人口数做出预测，我们首先从中国统计年鉴数据库（/tjsj/ndsj/2012/indexce.htm）上查到浙江省从1978年到2012年总人口的数据如表1。表1 各年份浙江省总人口数（单位：万）年份197819791980198119821983198419851986总人口3750.963792.333826.583871.513924.323963.103993.094029.564070.07年份198719881989199019911992199319941995总人口4121.194169.854208.884234.914261.374285.914313.304341.204369.63年份199619971998199920002001200220032004总人口4400.094422.284446.864467.464501.224519.844535.984551.584577.22年份20052006200720082009201020112012总人口4602.114629.434659.344687.854716.184747.954781.314799.341、将1978年看成初始时刻即，则1979为，以次类推，以2012年为作为终时刻。用函数（5）对表1中的数据进行非线性拟合，运用Matlab编程 （程序见附录1）得到相关的参数，可以算出可决系数（可决系数是判别曲线拟合效果的一个指标）：由可决系数来看拟合的效果比较理想。所以得到中国各年份人口变化趋势的拟合曲线： （6）根据曲线（6）我们可以对2018年（）、2028年（）、及2038年（）进行预测得（单位：千万）：对原始数据与曲线拟合后的值所作图（圆代表拟合后）结果分析：从表1所给信息可知从1978年至1990年为我国人口增长高峰，在这段时间由于中国的计划生育政策还不健全，家庭观念还是生的越多越好，生男孩的思想也根深蒂固，所以该段时间人口增长的速度较快，在图中的斜率也可以看出要前面比往后要“陡”一些。同时，那时生活水平和现在也相差甚多，因此这段时期可能影响模型结果的准确性。总的来说1978-1990年的人口增长的随机误差基本不是服从正态分布。由于上面的曲线拟合是用最小二乘法，所以很难保证拟合的准确性。因此我们再选择1990年作为初始年份对表1中的数据进行拟合。2、 将1990年看成初始时刻即，以2012年为作为终时刻。运用Matlab编程（程序见附录2）得到相关的参数，可以算出可决系数得到中国各年份人口变化趋势的另一拟合曲线： （7）根据曲线（7）我们可以对2018年（）、2028年（）、及2038年（）进行预测得（单位：千万）：对原始数据与曲线拟合后的值所作图（圆代表拟合后）结果分析：1990年-2012年其间，人口的增长基本上是按照自然的规律增长，特别是在农村是这样，城市受到收入的影响，生育率较低，但都有规律可寻。总的来说，人口增长的外界大的干扰因素基本上没有，可以认为这一阶段随机误差服从正态分布；1990-2012年这一时间段，国家计划生育政策逐渐得到完善及贯彻落实，虽人口的增长受到国家计划生育政策的控制，但计划生育的政策是基本稳定的，这一阶段随机误差也应服从正态分布（当然均值与方差可能不同）因此用最小二乘法拟合所得到的结果应有较大的可信度。我们分别根据拟合曲线（6）、（7）对各年份浙江省总人口进行预测得到结果如表2：由上表可以看出：用拟合曲线（6）预测得到的数据相对小，实际上2012年就有4800万人，而预测的结果在2015年却还没有到达4800万，所以该拟合的曲线准确性不够。用拟合曲线（7）预测得到的数据相对大一些，这和人口基数大以及人们的生活水平提高有关，在2021年总人口就已经超过了5000万，而且一直以比较快的速度增长到2063年达到了6000万。随着人们生活水平提高，医疗设施的完善，现在的人口增长还是很快的，我觉得这个拟合曲线相对还是合理的。画出图形如图1：图1：对各年份浙江省总人口数的预测 模型：马尔萨斯人口增长模型一、 模型的准备马尔萨斯生物总数增长定律指出：在孤立的生物群体中，生物总数的变化率与生物总数成正比，其数学模型为（1）其中为常数. 方程（1）的解为（2）因此，遵循马尔萨斯生物总数增长定律得任何生物都是随时间按指数方式增长，在此意义下，马尔萨斯方程（1）又称指数增长模型。人作为特殊的生物总群，人口的增长也应满足马尔萨斯生物总数增长定律，此时的（1）式称为马尔萨斯人口方程。英国人口学家马尔萨斯根据百余年的人口统计资料，于1798年提出了人口指数增长模型。根据浙江统计局2000年发布的公告，浙江省人口总数为4501.22万，该年人口平均增长率为7.557. 假设人口的增长率保持不变，那么2010年浙江省的人口数量将达到4855.5199万。事实上，将 代入到（2）式得（万）显然根据马尔萨斯人口方程预测2010年浙江省人口数量与浙江省人口普查公报公布的4747.95万，相差较大。造成误差过大的主要原因是人口的增长率不是常数，它是随时间而变化的，很多试验和事实也证明是时变的，并且随着人口的增加r是不断变小的。为此修改马尔萨斯人口方程为(3)其中为时变人口增长率，为定常参数。求解微分方程（3），得其特解为（4）要利用（4）式对人口进行预测，首先应估计参数。2000年人口普查结果：浙江省人口总数为4501.22万，人口增长率为0.7557%；2010人口普查结果：浙江省人口总数为4747.95万，人口增长率为0.6736%。根据上述数据，取，由得方程组（5）求解方程组（5）得。根据（4）和（5）的结果，以1990年人口普查数据为依据，来预测2010年的人口值，其中万，则万由上述结果可以看出，利用修改的马尔萨斯人口模型预测2010年的人口总数比利用原模型的预测精度提高了很多。6、模型的检验与建议一、模型的残差分析：1、运用Matlab软件计算出用1978年到2012年的总人口数进行拟合产生的残差,再利用EXCEL作出残差的散点图如下：图2 残差分析从图2可以看出残差在坐标轴上下波动，但是，不是呈现正态分布，并且残差绝对值之和为434.6219，是比较大，因此拟合的效果不太好。2、利用1990年到2012年的总人口数，根据Logistic模型的形式，用Matlab软件进行拟合，并求出残差序列，再利用EXCEL进行处理，并作出残差散点图如下：图3 残差分析图通过图3，可以看出残差值大致分布在坐标轴的上下，呈现对称分布，又有Matlab软件计算出拟合的残差绝对值之和为162.1567，因此效果较好。二、建议：1、由图2和图3可以看出后者对于预测的模拟要好一些，基本上呈对称分布，但是残差绝对值还是有些大，因此拟合图像可以进一步改善。2、人口适中才有利于社会发展，过多过少都会给社会带来很多的麻烦。由以上分析可知国家在制定人口政策时要多方面考虑，如果只看重对人口总数的控制可能导致社会老龄化严重、劳动力不足这显然是不利于社会经济发展的；相反如果为了防止社会老龄化加快而放任人口的增长，也会导致社会人口过多对资源和环境带来巨大压力。因此只有掌握好一个“平衡点”，使人口处于一个合适的值，正确制定政策才能使国民经济持续增长，人民生活水平不断提高。7、模型的评价与推广一、模型的优点：1、在用模型对各年全国人口总数预测时结合实际情况，采用不同时间段的数据拟合确定了两个预测函数。并对两个函数预测的数据进行了对比分析，使模型的计算结果更加准确。2、利用EXCEL软件对数据进行处理并作出各种平面图，简便，直观、快捷； 3、运用多种数学软件进行计算，取长补短，使计算结果更加准确;4、在模型中我们采用的马尔萨斯模型，但是我们并没有完全采用马尔萨斯模型，因为随着社会的发展，马尔萨斯模型已经不足以适应现代社会的人口增长规律，因此我们在马尔萨斯模型的基础上对其进行了改进，并对改造后的模型进行了测试，测试后发现改进后的模型确实比原模型对数据的拟合要精准很多。二、模型的缺点：1、在模型一中我们只是考虑了人数总和，根据人数总和对人口的发展趋势做出了预测。但是在实际的社会中，影响人口增长的因素有很多，比如年龄结构的构成、人口老龄化程度、出生人口性别比等，这些都没有考虑到，因而存在一定的误差。2、在模型二中，虽然针对马尔萨斯模型的不足对其进行了改进。但是，有两个方面还是有缺陷的，一方面，人口增长率会随人口的增加而减小，这个是可以确定的，但是否是线性关系，只是最简单的假设，不具有说服力。另一方面，在求参数A、B时只是采取了两组数据带入求得，会有偶然误差，而且也不一定是最合适的。三、模型的改进：1、在模型一中，我们可以考虑更多，可以加入人口增长率，人口年龄结构，老龄化程度，以及男女比例等因素，这样做出的结果更具有准确性。2、在模型二中，可以多考虑几组数据，求出它们的平均值作为最后所要使用的参数，当然最好的方法还是用最小二乘法拟合，综合所有的增长率，得到最合适的参数。四、模型的推广：本文首先不考虑年龄结构对人口增长的影响，建立Logistic人口预测模型；然后，考虑到人口增长率，建立改进的马尔萨斯模型，对人口增长进行预测，这种由简到繁，逐步加深的思路，可以应用到较复杂问题的处理上。参考文献1 姜启源,谢金星,叶俊.数学模型M.北京:.2003年8月第三版；2 姜启源.数学模型M.北京: 高等教育出版社.1987年4月第一版；3 于洪彦.Excel统计分析与决策M.北京:高等教育出版社.2006年4月；4 胡守信,李柏年.基于MATLAB的数学实验M.北京:科学出版社.2004年6月；5 扬启帆,康旭升等.数学建模M.北京: 高等教育出版社.2006年5月；6 于学军.中国人口科学2000年第2期,时间:2000-4-6,中国人口信息网.附录附录1：t=0:34; %令1978年为初始年x=3750.96 3792.333826.583871.513924.323963.103993.094029.564070.07 4121.194169.854208.884234.914261.374285.914313.304341.204369.63 4400.094422.284446.864467.464501.224519.844535.984551.584577.22 4602.114629.434659.344687.854716.184747.954781.314799.34; c,d=solve(c/(1+(c/3750.96-1)*exp(-5*d)=3963.10,c/(1+(c/3750.96-1)*exp(-20*d)=4446.86,c,d) ;%求初始参数b0= 5064.9724, 0.046217; %初始参数值fun=inline(b(1)./(1+(b(1)/3750.96-1).*exp(-