八年级数学上册勾股定理一定是直角三角形吗拓展素材新版北师大版.docx

第一章第二节1、古埃及人曾用三角形三边关系作出了直角，下面我们再现一下当时的情境。这儿有一根绳子，上面有13个等距的结，把这根绳子分成等长的12段。一位同学同时握住绳子的第1个结和第13个结。另两位同学分别握住第4个结和第8个结，拉紧绳子。大家发现了什么？很快地，得到一个直角三角形，其直角在第4个结处。我们再来看在第1个结到第4个结是3个单位长度，即ACb3；同理BCa4，ABc5，而32+4252，所以a2+b2=c2。那么是不是三角形的三边满足a2+b2=c2，就可以得到一个直角三角形呢？我们不妨再找几组数试一试。答案略2、勾股数如果三个正整数满足于勾股定理逆定理，那么就称这三个数为一组勾股数3、4、5是最简单的一组勾股数，因为它们满足：324252勾股数是一种重要的数组，那么什么样的数才能组成勾股数呢?看下面一些简单的勾股数：3，4，5；5，12，13；7，24，25；9，40，41；观察这些勾股数组成的规律，发现：第一个数是奇数，第二个数是第一个数的平方减1再除以2，第三个数是第二个数加1，也就是第一个数的平方加1再除以2结论：如果n是一个奇数，且n3，那么n、就是一组勾股数证明：n2()2n2，n、是一组勾股数这样，我们任意给出一个奇数(如11，13，)，同学们就可以写出各组勾股数来再看一些简单的勾股数：4，3，5；6，8，10；8，15，17；10，24，26；观察这些勾股数组成的规律，发现：第一个数是偶数，第二个数是第一个数的一半的平方减1，第三个数是第一个数一半的平方加1结论：如果m是一个偶数，且m4，那么m、()21、()21就是一组勾股数证明：m2()212m2()21m21m、()21、()21是一组勾股数这样，我们任意给出一个偶数(如10，12，)，同学们就可以写出各组勾股数来3、勾股定理的证明方法【证法1】 图1 图2如图所示，作8个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b，斜边长为c，再做三个边长分别为a、b、c的正方形，把它们像上图那样拼成两个正方形.从图上可以看到，这两个正方形的边长都是a + b，所以面积相等. 即， 整理得 .【证法2】以a、b 为直角边，以c为斜边做四个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积等于. 把这四个直角三角形拼成如图2所示形状，使A、E、B三点在一条直线上，B、F、C三点在一条直线上，C、G、D三点在一条直线上. 四边形EFGH是一个边长为c的正方形. 它的面积等于c2. 四边形ABCD是一个边长为a + b的正方形，它的面积等于. .【证法3】以a、b 为直角边（ba）， 以c为斜边作四个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积等于. 把这四个直角三角形拼成如图所示形状. ABCD是一个边长为c的正方形，它的面积等于c2. EFGH是一个边长为ba的正方形，它的面积等于. . . 图3 图4【证法4】以a、b 为直角边，以c为斜边作两个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积等于. 把这两个直角三角形拼成如图所示形状，使A、E、B三点在一条直线上. 则 DEC是一个等腰直角三角形，它的面积等于. ABCD是一个直角梯形，它的面积等于. .【证法5】对任意的符合条件的直角三角形绕其锐角顶点旋转90得图5，该图是旋转90得到的，所以BAE=90，且四边形ACFD是一个正方形，它的面积和四边形ABFE面积相等，而四边形ABFE面积等于RtBAE和RtBFE的面积之和，所以：S正方形ACFD=SBAE+SBFE即：.整理： a2+b2=c2. 图5 图6【证法6】对任意的符合条件的两个全等的RtBEA和RtACD拼成图6(此图也可以看成RtBEA绕其直角顶点顺时针旋转90，再向下平移得到)。一方面，四边形ABCD的面积等于ABC