高中数学第二讲参数方程二圆锥曲线的参数方程学案新人教A版.docx

二圆锥曲线的参数方程学习目标1.掌握椭圆的参数方程及应用.2.了解双曲线、抛物线的参数方程.3.能够利用圆锥曲线的参数方程解决最值、有关点的轨迹问题知识点一椭圆的参数方程思考1圆x2y2r2的参数方程的参数的几何意义是什么？答案是点(rcos，rsin)绕点O逆时针旋转的旋转角思考2对于椭圆1(ab0)，若令xacos(为参数)，那么椭圆1的参数方程是什么？答案(为参数)梳理(1)椭圆的参数方程普通方程参数方程1(ab0)(为参数)(2)是点M(acos，bsin)的离心角知识点二双曲线的参数方程思考1化简2tan2，它的值等于什么？答案2tan21.思考2令ybtan(为参数)，写出1(a0，b0)的参数方程答案(为参数)梳理令sec.双曲线的参数方程普通方程参数方程1(a0，b0)(为参数)知识点三抛物线的参数方程1抛物线的参数方程普通方程参数方程y22px(为参数)y22px(t为参数)2.参数的几何意义(1)表示OM的倾斜角(2)t.当t0时，表示原点.类型一椭圆的参数方程命题角度1利用参数方程求最值例1已知实数x，y满足1，求目标函数zx2y的最大值与最小值解椭圆1的参数方程为(为参数)，代入目标函数，得z5cos8sincos(0)cos(0)(tan0)所以目标函数zmin，zmax.反思与感悟利用椭圆的参数方程，求目标函数的最大(小)值，通常是利用辅助角公式转化为三角函数求解跟踪训练1已知曲线C1的参数方程是(为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程是2，正方形ABCD的顶点都在C2上，且A，B，C，D依逆时针次序排序，点A的极坐标为.(1)求点A，B，C，D的直角坐标；(2)求曲线C1的普通方程，判断曲线形状；(3)设点P为C1上任意一点，求|PA|2|PB|2|PC|2|PD|2的取值范围解(1)由曲线C2的极坐标方程2可知，曲线C2是圆心在极点，半径为2的圆，正方形ABCD的顶点都在C2上，且A，B，C，D依逆时针次序排列，点A的极坐标为.故B，由对称性，得直角坐标分别为A(1，)，B(，1)，C(1，)，D(，1)(2)由曲线C1的参数方程，得两式平方相加，得1.所以曲线是焦点在y轴上的椭圆(3)由点P为曲线C1：上任意一点，得P(2cos，3sin)，则|PA|2|PB|2|PC|2|PD|2(2cos1)2(3sin)2(2cos)2(3sin1)2(2cos1)2(3sin)2(2cos)2(3sin1)216cos236sin2163220sin2，因为323220sin252，所以|PA|2|PB|2|PC|2|PD|2的取值范围是32,52命题角度2利用参数方程求轨迹方程例2已知A，B分别是椭圆1的右顶点和上顶点，动点C在该椭圆上运动，求ABC的重心G的轨迹方程解由题意知A(6,0)，B(0,3)由于动点C在椭圆上运动，故可设动点C的坐标为(6cos，3sin)，点G的坐标设为(x，y)，由三角形重心的坐标公式，可得即消去参数，得(y1)21.反思与感悟本类题的解法体现了椭圆的参数方程对于解决求轨迹方程问题的优越性，运用参数方程显得很简单，运算更简便跟踪训练2已知点A在椭圆1上运动，点B(0,9)，点M在线段AB上，且，试求动点M的轨迹方程解由题意知B(0,9)，设A(12cos，6sin)，M(x，y)，则x8cos，y4sin3，动点M的轨迹的参数方程是(是参数)，消去参数，得1.类型二双曲线的参数方程例3已知等轴双曲线C的实轴长为2，焦点在x轴上(1)求双曲线的普通方程和参数方程；(2)已知点P(0,1)，点Q在双曲线C上，求|PQ|的最小值解(1)设等轴双曲线C的普通方程为x2y2a2(a0)，依题意，得2a2，所以a1，所以x2y21，化为参数方程为(为参数)(2)因为点P(0,1)，Q在双曲线C上，设Q(sec，tan)，则|PQ|.当且仅当tan时，|PQ|min.反思与感悟双曲线的参数方程中，常用的三角函数关系式为sin2cos211tan2sec2sec2tan21.跟踪训练3设P为等轴双曲线x2y21上的一点，F1和F2为两个焦点，证明：|F1P|F2P|OP|2.证明如图，设双曲线上的动点为P(x，y)，焦点F1(，0)，F2(，0)，双曲线的参数方程为(为参数)，则(|F1P|F2P|)2(sec)2tan2(sec)2tan2(sec22sec2tan2)(sec22sec2tan2)(sec1)2(sec1)2(2sec21)2.又|OP|2sec2tan22sec21，由此得|F1P|F2P|OP|2.类型三抛物线的参数方程例4已知抛物线C的参数方程为(t为参数)若斜率为1的直线经过抛物线C的焦点，且与圆(x4)2y2r2(r0)相切，则r_.答案解析由题意知抛物线的普通方程为y28x，其焦点为(2,0)，过焦点且斜率为1的直线方程为xy20，由题意知圆心(4,0)到直线的距离d，即半径r.反思与感悟在解决问题时，根据题目特征，合理选择使用参数方程还是普通方程，所以熟练进行参数方程和普通方程的互化，是解题的必备技能跟踪训练4将方程(t为参数)化为普通方程是_答案yx2解析由ytan2t，将tantx代入上式，得yx2，即为所求方程1参数方程(为参数)表示()A直线B圆C椭圆D双曲线答案C2曲线(为参数)的焦点与原点的距离为()A2B3C4D5答案D3曲线(为参数)的对称中心()A在直线y2x上B在直线y2x上C在直线yx1上D在直线yx1上答案B解析曲线可化为(x1)2(y2)21，其对称中心为圆心(1,2)，该点在直线y2x上，故选B.4把椭圆的普通方程9x24y236化为参数方程是()A.(为参数) B.(为参数)C.(为参数) D.(为参数)答案B解析椭圆的普通方程9x24y236可化为1，令x2cos，y3sin，可得参数方程为(为参数)5已知椭圆1，点A的坐标为(3,0)在椭圆上找一点P，使点P与点A的距离最大解椭圆的参数方程为(为参数)设P(5cos，4sin)，则|PA|3cos5|8，当cos1时，|PA|最大此时，sin0，点P的坐标为(5,0)1利用圆锥曲线的参数方程，可以方便求解一些需要曲线上点的两个坐标独立表示的问题，如求最大值、最小值问题、轨迹问题等2当需要研究圆锥曲线的形状、性质时，又通常需要将圆锥曲线的参数方程化为普通方程3如果用到椭圆、双曲线的参数方程，注意三角恒等式的应用一、选择题1椭圆(为参数)的焦点坐标为()A(0，)和(0，)B(，0)和(，0)C(0，)和(0，)D(，0)和(，0)答案A解析把参数方程(为参数)化为普通方程是1，它表示焦点在y轴上的椭圆，其中a5，b2，c，故焦点坐标为(0，)2方程(为参数，ab0)表示的曲线是()A圆B椭圆C双曲线D双曲线的一部分答案D解析由xcosa，cos，代入ybcos，得xyab.又由ybcos知，y|b|,0)(0，|b|，曲线应为双曲线的一部分3若点P(3，m)在以点F为焦点的抛物线(t为参数)上，则|PF|等于()A2B3C4D5答案C解析抛物线为y24x，准线为x1，|PF|为P(3，m)到准线x1的距离，即为4.4当取一切实数时，连接A(4sin，6cos)和B(4cos，6sin)两点的线段的中点的轨迹是()A圆B椭圆C直线D线段答案B5若曲线(为参数)与直线xm相交于不同的两点，则m的取值范围是()ARB(0，)C(0,1) D0,1)答案D解析将曲线化为普通方程，得(y1)2(x1)(0x1)，它是抛物线的一部分，如图所示，由数形结合知0mb0)上在第一象限的点，A(a,0)和B(0，b)是椭圆的两个顶点，O为原点，求四边形MAOB的面积的最大值解点M是椭圆1(ab0)上在第一象限的点，由于椭圆1的参数方程为(为参数)，故可设M(acos，bsin)，其中00，b0)的动弦BC平行于虚轴，M，N是双曲线的左、右顶点(1)求直线MB，CN的交点P的轨迹方程；(2)若P(x1，y1)，B(x2，y2)，求证：a是x1，x2的比例中项(1)解由题意可设点B(asec，btan)，则点C(asec，btan)，又M(a,0)，N(a,0)，直线CN的方程为y(xa)，直线MB的方程为y(xa)，将以上两式相乘，得点P的轨迹方程为1(a0，b0)(2)证明点P既在MB上，又在CN上，由两直线方程消去y1，得x1，而x2asec，有x1x2a2，即a是x1，x2的比例中项四、探究与拓展14在平面直角坐标系xOy中，已知曲线C1： (t为参数)与曲线C2：(为参数，a0)有一个公共点在x轴上，则a_.答案解析曲线C1的普通方程为2xy3，曲线C2的普通方程为1，直线2xy3与x轴的交点坐标为，故曲线1也经过这个点，代入解得a或a(舍