北师大选修2-2导数的概念和几何意义教案.docx

导数的概念和几何意义（铜鼓中学数学教研组）一、教学目标：理解导数的概念及其几何意义。二、教学重点：理解以及导数和变化率的关系会计算函数在某点处的导数，理解导数的实际意义 教学难点: 理解导数的几何意义，会求曲线上某点处的切线方程三、教学方法：阅读理解，探析归纳，讲练结合四、课时安排：1课时五、教学过程情境导学如果一个函数是路程关于时间的函数，那么函数在某点处的导数就是瞬时速度，这是函数的实际意义，那么从函数的图像上来考察函数在某点处的导数，它具有怎样的几何意义呢？这就是本节我们要研究的主要内容探究点一函数在一点处的导数思考1导数和平均变化率有什么关系？答导数就是平均变化率当x趋于0时的极限，记作f(x0).思考2导数和瞬时变化率是什么关系？导数有什么作用？答函数在某点处的导数就是函数在这点处的瞬时变化率，导数可以反映函数在一点处变化的快慢程度思考3导数在实际问题中有什么意义？答导数可以刻画事物变化的快慢例1蜥蜴的体温与阳光的照射有关，其关系为T(t)15，其中T(t)为体温(单位：)，t为太阳落山后的时间(单位：min)，计算T(2)，并解释它的实际意义解T(2) (/min)T(2)(/min)表示太阳落山后2分钟蜥蜴的体温以/min的速度下降反思与感悟解释导数的实际意义要结合题目中变化的事物，它反映事物变化的快慢跟踪训练1已知正方形的面积S是边长x的函数Sx2，计算S(5)并说出S(5)的意义解S(5) (10x)10.S(5)10说明正方形的面积在边长为5时以10的速度增加探究点二导数的几何意义思考1如图，当点Pn(xn，f(xn)(n1,2,3,4)沿着曲线f(x)趋近于点P(x0，f(x0)时，割线PPn的变化趋势是什么？答当点Pn趋近于点P时，割线PPn趋近于确定的位置这个确定位置的直线PT称为点P处的切线思考2曲线的切线是不是一定和曲线只有一个交点？答不一定曲线的切线和曲线不一定只有一个交点，和曲线只有一个交点的直线和曲线也不一定相切如图，曲线的切线是通过逼近将割线趋于确定位置的直线思考3如何求曲线f(x)在点P(x0，f(x0)处的切线方程？答先确定切点P(x0，f(x0) ，再求出切线的斜率kf(x0)，最后由点斜式可写出切线方程思考4求曲线f(x)在点(x0，f(x0)处的切线方程与求过某点(x0，y0)的曲线的切线方程有何不同？答曲线f(x)在点(x0，f(x0)处的切线，点(x0，f(x0)一定是切点，只要求出kf(x0)，利用点斜式写出切线即可；而求过某点(x0，y0)的曲线f(x)的切线，给出的点(x0，y0)不一定在曲线上，即使在曲线上也不一定是切线小结(1)导数的几何意义：曲线yf(x)在点P(x0，f(x0)处的切线的斜率kf(x0)；(2)欲求曲线切线的斜率，先找切点P(x0，f(x0)例2已知曲线yx2，(1)求曲线在点P(1,1)处的切线方程；(2)求曲线过点P(3,5)的切线方程解(1)设切点为(x0，y0)，y|xx02x0，y|x12.曲线在点P(1,1)处的切线方程为y12(x1)，即y2x1.(2)点P(3,5)不在曲线yx2上，设切点为(x0，y0)，由(1)知，y|xx02x0，切线方程为yy02x0(xx0)，由P(3,5)在所求直线上得5y02x0(3x0)，再由A(x0，y0)在曲线yx2上得y0x，联立，得，x01或x05.从而切点A的坐标为(1,1)或(5,25)当切点为(1,1)时，切线的斜率为k12x02，此时切线方程为y12(x1)，即y2x1，当切点为(5,25)时，切线的斜率为k22x010，此时切线方程为y2510(x5)，即y10x25.综上所述，过点P(3,5)且与曲线yx2相切的直线方程为y2x1或y10x25.反思与感悟(1)求曲线上某点处的切线方程，可以直接利用导数求出曲线上此点处的斜率，然后利用点斜式写出切线方程；(2)求曲线过某点的切线方程，要先求出切点坐标，再按(1)完成解答跟踪训练2已知曲线y2x27，求：(1)曲线上哪一点的切线平行于直线4xy20?(2)曲线过点P(3,9)的切线方程解y (4x2x)4x.(1)设切点为(x0，y0)，则4x04，x01，y05，切点坐标为(1，5)即曲线上点(1，5)的切线平行于直线4xy20.(2)由于点P(3,9)不在曲线上设所求切线的切点为A(x0，y0)，则切线的斜率k4x0，故所求的切线方程为yy04x0(xx0)将P(3,9)及y02x7代入上式，得9(2x7)4x0(3x0)解得x02或x04，所以切点为(2,1)或(4,25)从而所求切线方程为8xy150和16xy390.跟踪训练3若曲线yx33ax在某点处的切线方程为y3x1，求a的值解yx33ax.y3x23xx(x)23a3x23a.设曲线与直线相切的切点为P(x0，y0)，结合已知条件，得解得a1.1函数f(x)在x0处可导，则()A与x0、h都有关B仅与x0有关，而与h无关C仅与h有关，而与x0无关D与x0、h均无关答案B2函数y3x2在x1处的导数为()A12 B6C3 D2答案B解析f(1)6.3若曲线yx2axb在点(0，b)处的切线方程是xy10，则()Aa1，b1 Ba1，b1Ca1，b1 Da1，b1答案A解析由题意，知k1，a1.又(0，b)在切线上，b1，故选A.4已知曲线f(x)2x24x在点P处的切线斜率为16，则P点坐标为_答案(3,30)解析设点P(x0,2x4x0)，则f(x0)4x04，令4x0416得x03，P(3,30)呈重点、现规律1导数f(x0)的几何意义是曲线yf(x)在点(x0，f(x0)处的切线的斜率，即kf(x0)，