2018_2019高中数学第3章导数及其应用章末复习学案苏教版.docx

第3章 导数及其应用章末复习学习目标1.理解导数的几何意义并能解决有关斜率、切线方程等的问题.2.掌握初等函数的求导公式，并能够综合运用求导法则求函数的导数.3.掌握利用导数判断函数单调性的方法，会用导数求函数的极值和最值.4.会用导数解决一些简单的实际应用问题.知识点一在xx0处的导数1.定义：函数yf(x)在xx0处的瞬时变化率，若x无限趋近于0时，比值无限趋近于一个常数A，称函数yf(x)在xx0处可导.常数A为f(x)在xx0处的导数.2.几何意义：函数yf(x)在xx0处的导数是函数图象在点(x0，f(x0)处的切线斜率.3.物理意义：瞬时速度、瞬时加速度.知识点二基本初等函数的求导公式函数导数yCy0yx(为常数)yx1ysinxycosxycosxysinxyax(a0且a1)yaxlnayexyexylogax(a0且a1)yylnxy知识点三导数的运算法则和差的导数f(x)g(x)f(x)g(x)积的导数f(x)g(x)f(x)g(x)f(x)g(x)商的导数(g(x)0)知识点四函数的单调性、极值与导数1.函数的单调性与导数在某个区间(a，b)内，如果f(x)0，那么函数yf(x)在这个区间内单调递增；如果f(x)0，那么函数yf(x)在这个区间内单调递减.2.函数的极值与导数(1)极大值：在xa附近，满足f(a)f(x)，当x0；当xa时，f(x)0，则点a叫做函数的极大值点，f(a)叫做函数的极大值；(2)极小值：在xa附近，满足f(a)f(x)，当xa时，f(x)a时，f(x)0，则点a叫做函数的极小值点，f(a)叫做函数的极小值.知识点五求函数yf(x)在a，b上的最大值与最小值的步骤1.求函数yf(x)在(a，b)内的极值.2.将函数yf(x)的各极值与端点处函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值.特别提醒：(1)关注导数的概念、几何意义利用导数的概念、几何意义时要特别注意切点是否已知，若切点未知，则设出切点，用切点坐标表示切线斜率.(2)正确理解单调性与导数、极值与导数的关系当函数在区间(a，b)上为增函数时，f(x)0；f(x0)0是函数yf(x)在x0处取极值的必要条件.1.导数值为0的点一定是函数的极值点.()2.在可导函数的极值点处，切线与x轴平行.()3.函数f(x)在定义域上都有f(x)0，则函数f(x)在定义域上单调递增.()4.函数f(x)xlnx的最小值为e1.()类型一导数的几何意义及应用例1设函数f(x)x3ax29x1(a0)，直线l是曲线yf(x)的一条切线，当l的斜率最小时，直线l与直线10xy6平行.(1)求a的值；(2)求f(x)在x3处的切线方程.考点导数的概念题点导数的几何意义及应用解(1)f(x)x22ax9(xa)2a29，f(x)mina29，由题意知，a2910，a1或1(舍去).故a1.(2)由(1)得a1.f(x)x22x9，则kf(3)6，f(3)10.f(x)在x3处的切线方程为y106(x3)，即6xy280.反思与感悟利用导数求切线方程时关键是找到切点，若切点未知需设出.常见的类型有两种，一类是求“在某点处的切线方程”，则此点一定为切点，易求斜率进而写出直线方程即可得；另一类是求“过某点的切线方程”，这种类型中的点不一定是切点，可先设切点为Q(x1，y1)，由f(x1)和y1f(x1)求出x1，y1的值，转化为第一种类型.跟踪训练1求垂直于直线2x6y10并且与曲线yx33x25相切的直线方程.考点导数的概念题点导数的几何意义及应用解设切点坐标为P(x0，y0)，函数yx33x25的导数为y3x26x，则切线的斜率为k3x6x0.又直线2x6y10的斜率为k，kk(3x6x0)1，解得x01，y03，即P(1，3).又k3，切线方程为y33(x1)，即3xy60.类型二导数中分类讨论思想例2已知函数f(x)ax2bxlnx(a，bR).设a0，求f(x)的单调区间.考点分类讨论思想在导数中的应用题点分类讨论思想在单调性中的应用解由f(x)ax2bxlnx，x(0，)，得f(x).(1)当a0时，f(x).若b0，当x0时，f(x)0，当0x时，f(x)时，f(x)0，函数f(x)单调递增.所以函数f(x)的单调递减区间是，单调递增区间是.(2)当a0时，令f(x)0，得2ax2bx10.由b28a0，得x1，x2.显然x10.当0xx2时，f(x)x2时，f(x)0，函数f(x)单调递增.所以函数f(x)的单调递减区间是，单调递增区间是.综上所述，当a0，b0时，函数f(x)的单调递减区间是(0，)；当a0，b0时，函数f(x)的单调递减区间是，单调递增区间是；当a0时，函数f(x)的单调递减区间是，单调递增区间是.反思与感悟(1)关注函数的定义域，单调区间应为定义域的子区间.(2)已知函数在某个区间上的单调性时转化要等价.(3)分类讨论求函数的单调区间实质是讨论不等式的解集.(4)求参数的范围时常用到分离参数法.跟踪训练2已知函数f(x)xa(2lnx)，a0，讨论f(x)的单调性.考点分类讨论思想在导数中的应用题点分类讨论思想在单调性中的应用解f(x)的定义域是(0，)，则f(x)1.设g(x)x2ax2，二次方程g(x)0的判别式a28.当0，即0a0，都有f(x)0.此时f(x)是(0，)上的单调递增函数；当0，即a2时，仅对x时，有f(x)0，对其余的x0都有f(x)0.此时f(x)也是(0，)上的单调递增函数；当0，即a2时，方程g(x)0有两个不同的实根x1，x2，0x10，yf(x)为(，)上的增函数，所以yf(x)无极值；当a0时，令f(x)0，得xlna.当x(，lna)时，f(x)0，yf(x)在(lna，)上递增，故f(x)在xlna处取得极小值f(lna)lna，无极大值.综上，当a0时，yf(x)无极值；当a0时，yf(x)在xlna处取得极小值lna，无极大值.(3)当a1时，f(x)x1.直线l：ykx1与曲线yf(x)没有公共点等价于关于x的方程kx1x1在R上没有实数解，即关于x的方程(k1)x(*)在R上没有实数解.当k1时，方程(*)为0，在R上没有实数解；当k1时，方程(*)为xex.令g(x)xex，则有g(x)(1x)ex，令g(x)0，得x1.当x变化时，g(x)，g(x)的变化情况如下表：x(，1)1(1，)g(x)0g(x)当x1时，g(x)min，从而g(x).所以当时，方程(*)没有实数解，解得k(1e,1).综上，k的取值范围为(1e,1.反思与感悟(1)已知极值点求参数的值后，要代回验证参数值是否满足极值的定义.(2)讨论极值点的实质是讨论函数的单调性，即f(x)的正负.(3)求最大值要在极大值与端点值中取最大者，求最小值要在极小值与端点值中取最小者.跟踪训练3设f(x)lnx，g(x)f(x)f(x).(1)求g(x)的单调区间和最小值；(2)讨论g(x)与g的大小关系；(3)求a的取值范围，使g(a)g(x)对任意x0成立.考点分类讨论思想在导数中的应用题点分类讨论思想在极值、最值中的应用解(1)由题设，知g(x)lnx，所以g(x)，令g(x)0，得x1，当x(0,1)时，g(x)0，当x(1，)时，g(x)0，故g(x)的单调递减区间是(0,1)，单调递增区间是(1，).因此，x1是g(x)的唯一极值点，且为极小值点，从而是最小值点，所以g(x)的最小值为g(1)1.(2)glnxx，设h(x)g(x)g2lnxx，则h(x).当x1时，h(1)0，即g(x)g；当x(0,1)(1，)时，h(x)0，h(1)0，因此，h(x)在(0，)内单调递减.当0x1时，h(x)h(1)0，即g(x)g；当x1时，h(x)h(1)0，即g(x)g.(3)由(1)，知g(x)的最小值为1.因为g(a)g(x)对任意x0成立，所以g(a)1，即lna1，解得0ae.即a的取值范围为(0，e).类型三导数中的构造函数问题例4已知定义域为R的奇函数yf(x)的导函数为yf(x)，当x0时，f(x)0，若af，bf()，cf，则a，b，c的大小关系是.答案bca解析令g(x)xf(x)，则g(x)(x)f(x)xf(x)，g(x)是偶函数.g(x)f(x)xf(x)，f(x)0时，xf(x)f(x)0；当x0.g(x)在(0，)上是减函数.ln21，g()g(ln2)g.g(x)是偶函数，g()g()，gg(ln2)，g()gg，即bcbc解析设g(x)，则g(x).令g(x)0，解得xe；令g(x)e，g(x)在(0，e)上递增，在(e，)上递减，而543e，g(5)g(4)g(3)，即bc.例5定义域为R的可导函数yf(x)的导函数f(x)满足f(x)2ex的解集为.答案(0，)解析设g(x)，则g(x).f(x)0，即函数g(x)单调递增.f(0)2，g(0)f(0)2，则不等式等价于g(x)g(0).函数g(x)单调递增，x0，不等式的解集为(0，).反思与感悟应用构造法解决不等式时，先根据所求结论与已知条件，构造函数，通过导函数判断函数的单调性，再利用单调性得到x的取值范围.跟踪训练5设函数f(x)是定义在R上的偶函数，f(x)为其导函数.当x0时，f(x)xf(x)0，且f(1)0，则不等式xf(x)0的解集为.答案(1，)解析令g(x)xf(x).当x0时，g(x)xf(x)f(x)xf(x)0，g(x)在(0，)上单调递增.又f(x)是偶函数，即f(x)f(x)，则g(x)(x)f(x)xf(x)g(x)，g(x)是奇函数，g(x)在R上单调递增.f(1)0，则g(1)1f(1)0，由xf(x)0，即g(x)g(1)，得x1，xf(x)0的解集为(1，).例6已知x1，证明：x1lnx.证明设f(x)x1lnx，x(1，)，则f(x)1，因为x(1，)，所以f(x)0，即函数f(x)在(1，)上是增函数，又x1，所以f(x)f(1)11ln10，即x1lnx0，所以x1lnx.反思与感悟利用函数的最值证明不等式的基本步骤(1)将不等式构造成f(x)0(或0时，22x0时，exe01，f(x)2(1ex)0.函数f(x)22x2ex在(0，)上是减函数，f(x)0时，22x2ex0，22x2ex.1.若函数f(x)x3bx2cx的图象与x轴相切于点(1,0)，则函数f(x)的单调递减区间为.考点导数的概念题点导数的几何意义及应用答案解析f(x)3x22bxc，由题意可得即得f(x)3x24x1，由f(x)0即3x24x10，解得x0)在1，)上的最大值为，则a的值为.考点导数的运用题点利用导数研究函数最值答案1解析f(x)，当x时，f(x)0，f(x)单调递减，当x0，f(x)单调递增，当x时，令f(x)，0)，f(x)x5.令f(x)0，解得x2或3.当0x3时，f(x)0，故f(x)在(0,2)，(3，)上为增函数；当2x3时，f(x)a，则实数a的取值范围为.考点导数的运用题点利用导数求函数最值答案解析f(x)3x2x2，令f(x)0，得3x2x20，解得x1或x，又f(1)，f，f(1)，f(2)7，故f(x)min，a.3.已知yf(x)是奇函数，当x(0,2)时，f(x)lnxax，当x(2,0)时，f(x)的最小值为1，则a的值为.考点导数的运用题点利用导数求函数最值答案1解析由题意知，当x(0,2)时，f(x)的最大值为1.令f(x)a0，得x，当0x0；当x时，f(x)0.f(x)maxflna11，解得a1.4.已知f(x)sinx2x，xR，且f(2a)0恒成立，f(x)在R上单调递增.f(2a)f(a1)，2aa1，得a0)的导数f(x)的最大值为5，则在函数f(x)图象上的点(1，f(1)处的切线方程是.考点导数的运用题点利用导数求函数最值答案15x3y20解析f(x)2x24ax32(xa)232a2，f(x)max32a25，a0，a1.f(x)2x24x3，f(1)2435，又f(1)23，所求切线方程为y5(x1)，即15x3y20.6.函数f(x)ax3bx2cxd的图象如图，则函数yax2bx的单调递增区间是.考点导数的运用题点利用导数研究函数单调性答案解析不妨取a1，f(x)x3bx2cxd，f(x)3x22bxc，由图可知，f(2)0，f(3)0，124bc0,276bc0，b，c18.yx2x6，y2x，当x时，y0.yax2bx的单调递增区间为.7.将8分成两个数之和，使其立方之和最小，则这两个数分别为.考点导数的运用题点导数的运用答案4,4解析设一个数为x，则另一个数为8x，则yx3(8x)3,0x8，y3x23(8x)2.令y0，即3x23(8x)20，解得x4.当0x4时，y0；当40.所以当x4时，y最小.8.若函数f(x)(mx1)ex在(0，)上单调递增，则实数m的取值范围为.考点导数的运用题点利用导数研究函数单调性答案1，)解析f(x)mex(mx1)ex(mxm1)ex，由题意知，f(x)0在x(0，)上恒成立.也就是mxm10在x(0，)上恒成立，当m0时显然不成立，当m0时，令g(x)mxm1，只需g(0)0，得m1.即实数m的取值范围为1，).9.已知函数f(x)在定义域0，)上恒有f(x)f(x).若a，b，则a与b的大小关系为.(用“”连接)考点导数的运用题点构造函数求解答案ab解析设g(x)，则当x0时，g(x)g(3)，即，所以ab.10.已知f(x)，g(x)都是定义在R上的函数，且ax (a0且a1)，f(x)g(x)f(x)g(x)，则a.考点导数的运用题点构造函数求解答案解析令h(x)，f(x)g(x)f(x)g(x)，h(x)0，函数yax在R上单调递减，0a1.，a1a1，化为2a25a20，解得a2或.0a0；当x时，f(x)0.所以f(x)的单调递增区间为3，2)和，单调递减区间为.又f(2)13，f，f(3)8，f(1)4，所以f(x)在区间3,1上的最大值为13.三、探究与拓展14.已知函数f(x)若函数f(x)的图象与直线yx有三个不同的公共点，则实数a的取值集合为.考点导数的运用题点导数的综合运用答案16，20解析因为f(x)sinx(x1)与yx无交点，故只需函数f(x)x39x225xa(x1)的图象与直线yx有三个不同的公共点即可.设g(x)x39x224xa，则g(x)3x218x24.令g(x)3x218x240，得x12，x24，且g(x)在1,2上递增，在2,4上递减，在4，