[高三数学]82等差数列——讲义.doc

8.2 等差数列【考纲要求】1. 理解等差数列的概念，掌握等差数列的通项公式，了解等差数列与一次函数的关系；2. 能熟练应用等差数列的性质解决有关问题；3. 掌握等差数列的前项和公式；【考情分析】 等差数列是高考必考内容，从近几年高考题来看，以考查数列的通项公式及其简单性质为主，同时考查基本量法与方程思想，重点考查等差数列的基本概念、基本公式、简单性质和等差数列的判定，从命题形式来看，对等差数列的定义，性质及等差中项的考查，以填空题为主；通项公式、前项和与其它知识相结合的综合题一般为解答题，难度中等.【知识回顾】一、 等差数列的定义一般地，如果一个数列从第二项起，每一项减去它的前一项所得的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列.这个常数叫做等差数列的公差，用表示. 数学符号定义：在数列中，若（常数）对恒成立，则为等差数列.二、 等差数列的通项公式1. 若已知等差数列的首项，公差，则数列的通项公式为.2. 若已知等差数列的第项和公差，则数列的通项公式为.三、 等差数列的递推公式：四、 等差数列的公差：或或（顺序不能颠倒）五、 等差中项：若三个数成等差数列，则叫做的等差中项，其中.在等差数列中，从第二项起每一项（有穷数列最后一项除外）都是它前一项与后一项的等差中项，即.六、 等差数列的通项公式的推导方法1. 归纳法：由定义有： 归纳得：2. 迭代法：由递推公式有： 3. 累差法：由递推关系或定义得：， 累加得： 即.七、 等差数列的性质1. 在等差数列中，若，则 若，则2. 若为有穷等差数列，则与首尾两项等距离的两项之和与首尾两项之和相等， 即3. 下标成等差数列且公差为的项：组成公差为的等差数列.4. 若为等差数列，则（为非零常数）是公差为的等差数列.5. 若均为等差数列，则均为等差数列.6. 等差数列中，若，则.7. 等差数列的单调性：为递增数列；为递减数列；为常数列八、 等差数列的前项和1. 公式：.2. 推导：等差数列的前和公式的推导，采用了“倒序相加法”， 求和的一种重要的方法，其求解思路来源于对等差数列性质（）的认识和发现.由， +得： 将代入又可得：九、 等差数列前项和的性质1. 设是等差数列前项和，为公差，则每项之和：成公差为的等差数列.证：设的公差为，则第5页（共5页） 8.2等差数列 （共项） （共项） 构成公差为的等差数列.2. 若等差数列的前项和分别为，则证：3. 若为等差数列，为其前项和，则仍是等差数列，首项为，公差为.证法一：设 ， （常数）证法二：，（通项）是首项为，公差为的等差数列.4. 设等差数列的项数为，则（1）；（2）证法一： 证法二：偶数项构成以首项为，公差为的数列；奇数项构成首项为,公差为的等差数列；且项数均为. 5. 设等差数列中项数为，则（1），；（2），证： 6. 等差数列中，若，则.证：，-得：若，则，若，则，7. 等差数列中，若，则证：， -得：，若，则，若，则，8. 等差数列中，若为偶数，则最大；若为奇数，则最大.证：，对称轴为当为偶数时，则取最大值；当为奇数，则取最大值.十、 通项公式与一次函数 等差数列可以看成关于的一次函数：由可变形为 若，则是常函数； 若，则是关于的一次函数. 是直线上一群孤立的点.十一、 前项和公式与二次函数 等差数列前项和公式可以看作是关于的二次函数：由可变形为.若令，则上式可写成.即是关于的二次函数（注：不能有常数项）.在二次函数的图象上，为抛物线上一群孤立的点，利用这个几何意义可解决前项和的最值问题，但应注意取正整数这一限制条件. 如果一个数列前项和的表达式（为常数），则当时，为等差数列；当时，函数不是等差数列，但从第2项起为等差数列.十二、 判定等差数列的常用方法1. 定义法：是等差数列.2. 等差中项法：是等差数列3. 函数法：是等差数列4. 求和法：是等差数列（是关于的常函数、一次函数、二次函数且常数项为时都是等差数列）十三、 等差数列前项和的是大（小）值求法1. 通项法：当时，只有前面的有限项为非负数，从某项开始其余所有项均为负数，所以由的最大值为；当时， 只有前面的有限项为负数，从某项开始其余所有项均为非负数，所以由的最小值为；2. 二次函数法：由是关于的二次函数，因此可以