函数数学研究——论文

分院名称：学生学号： 本科毕业论文（设计）本科毕业论文（设计） （理工类） 题 目： 专 业： 作 者 姓 名： 指导教师姓名： 指导教师职称： 2013 年 4 月 I 摘摘 要要 函数是数学研究的主要对象，这是因为在我们的周围，大量的事物都需要用函数 去描述它们的变化状态.例如，液体的流体，气温的上升，压力的增加等等.我们研究 它们是否是连续变化，同时，还要研究这种变化的性质，即函数的连续性与函数的光 滑性. 从历史方面来讲，函数概念对数学以及科学的发展有重大影响.回顾函数概念 的历史发展，看一看函数概念不断被精炼、深化、丰富的历史过程，是一件十分有益 的事情.了解函数史不仅有助于我们提高对函数概念来龙去脉认识的清晰度，而且更 能帮助我们体会数学概念对数学发展、数学学习的巨大作用，函数的表达方式及其分 析性质. 关键词：关键词：函数；表达方式；分析性质 长春师范学院本科毕业论文（设计） II Abstract Function is the main research object of elementary mathematics and higher mathematics, this is because around us, many things need to use the function to describe the changes of their status. For example, liquid fluid, temperature, pressure increases. On the one hand, we study whether they are continuous change, at the same time, to study the changes of the smoothing property. It is in this study and the problems, which are continuous functions and smoothness of functions. From middle school to high school, learning function has been at the core position of mathematics. In addition, in the chemical, physical, biological sciences, function is everywhere. From a historical perspective, the influence function concept of mathematical and scientific development, can be said to be through the ancient and modern, delay for a long time, the role of extraordinary. Historical development review function concept, historical process at the function concept has been refined, deep, rich, is a very useful things. Understand the function of history not only helps to improve our understanding of the function concept definition of the sequence of events, but also can help us to understand the huge role of mathematics concept on the development of mathematics, mathematics learning, expression function and its analytical properties. Key Words: Function; expression; character analysis 长春师范学院本科毕业论文（设计） 3 目录目录 承诺保证书 .I 摘 要 II ABSTRACT .III 函数发展史 .5 1.1. 积分上限函数积分上限函数 6 1.1 关于积分上限函数的理论 7 1.2 积分限函数的几种变式 7 1.3 有积分限函数参与的题型举例 8 1.4 积分上限函数分析性质 .12 2.2.函数列与函数项级数函数列与函数项级数 13 2.1 基本概念 .13 2.2 一致收敛条件 13 2.3 一致收敛性质 15 2.4 范例分析 .16 3 3隐函数隐函数 .20 3.1 隐函数的表示方法 .21 3.2 隐函数的分析性质 22 4.4.向量函数向量函数 25 4.1 向量函数的分析性质 .25 结 论 26 参考文献 27 致 谢 28 长春师范学院本科毕业论文（设计） 4 函数发展史函数发展史 早期函数概念早期函数概念 十七世纪伽俐略(GGalileo，意，15641642)在两门新科学一书中，几乎全部包含函 数或称为变量关系的这一概念，用文字和比例的语言表达函数的关系。1637 年前后笛卡尔 (Descartes，法，15961650)在他的解析几何中，已注意到一个变量对另一个变量的依赖关系， 但因当时尚未意识到要提炼函数概念，因此直到 17 世纪后期牛顿、莱布尼兹建立微积分时还没有 人明确函数的一般意义，大部分函数是被当作曲线来研究的。 1673 年，莱布尼兹首次使用“function”（函数）表示“幂”，后来他用该词表示曲线上点的横坐 标、纵坐标、切线长等曲线上点的有关几何量。与此同时，牛顿在微积分的讨论中，使用 “流量” 来表示变量间的关系。 十八世纪函数十八世纪函数 1718 年约翰柏努利(Johann Bernoulli ，瑞士，16671748)在莱布尼兹函数概念的基础上 对函数概念进行了定义：“由任一变量和常数的任一形式所构成的量。 ”他的意思是凡变量 x 和常量 构成的式子都叫做 x 的函数，并强调函数要用公式来表示。 1748 年，柏努利的学生欧拉在无 穷分析引论一书中说：“一个变量的函数是由该变量的一些数或常量与任何一种方式构成的解析 表达式。 1755，欧拉(LEuler，瑞士，17071783) 把函数定义为“如果某些变量，以某一种方式依 赖于另一些变量，即当后面这些变量变化时，前面这些变量也随着变化，我们把前面的变量称为 后面变量的函数。 ” 18 世纪中叶欧拉(LEuler，瑞士，17071783)给出了定义：“一个变量的函数是由这个变 量和一些数即常数以任何方式组成的解析表达式。 ”他把约翰贝努利给出的函数定义称为解析函数， 并进一步把它区分为代数函数和超越函数，还考虑了“随意函数”。不难看出，欧拉给出的函数定 义比约翰贝努利的定义更普遍、更具有广泛意义。 十九世纪函数十九世纪函数 1821 年，柯西(Cauchy，法，17891857) 从定义变量起给出了定义：“在某些变数间存在 着一定的关系，当一经给定其中某一变数的值，其他变数的值可随着而确定时，则将最初的变数 叫自变量，其他各变数叫做函数。 ”在柯西的定义中，首先出现了自变量一词，同时指出对函数来 说不一定要有解析表达式。不过他仍然认为函数关系可以用多个解析式来表示，这是一个很大的 长春师范学院本科毕业论文（设计） 5 局限。 1822 年傅里叶（Fourier，法国，17681830）发现某些函数也已用曲线表示，也可以用 一个式子表示，或用多个式子表示，从而结束了函数概念是否以唯一一个式子表示的争论，把对 函数的认识又推进了一个新层次。 1837 年狄利克雷(Dirichlet，德国，18051859) 突破了这一局限，认为怎样去建立 x 与 y 之间的关系无关紧要，他拓广了函数概念，指出：“对于在某区间上的每一个确定的 x 值，y 都有 一个确定的值，那么 y 叫做 x 的函数。 ”这个定义避免了函数定义中对依赖关系的描述，以清晰的 方式被所有数学家接受。这就是人们常说的经典函数定义。 等到康托(Cantor，德国，18451918)创立的集合论在数学中占有重要地位之后，维布伦 (Veblen，美，18801960)用“集合”和“对应”的概念给出了近代函数定义，通过集合概念把函数的 对应关系、定义域及值域进一步具体化了，且打破了“变量是数”的极限，变量可以是数，也可以 是其它对象。 现代函数概念现代函数概念 1914 年豪斯道夫(FHausdorff)在集合论纲要中用不明确的概念“序偶”来定义函数，其 避开了意义不明确的“变量”、 “对应”概念。库拉托夫斯基(Kuratowski)于 1921 年用集合概念来定义 “序偶”使豪斯道夫的定义很严谨了。 1930 年新的现代函数定义为“若对集合 M 的任意元素 x，总有集合 N 确定的元素 y 与之对应， 则称在集合 M 上定义一个函数，记为 y=f(x)。元素 x 称为自变元，元素 y 称为因变元。 ” 1. 积分上限函数积分上限函数 积分上限函数（或变上限定积分）的自变量是上限变量，在求导( )( ) x a F xf t dtx 时，是关于求导，但在求积分时，则把看作常数，积分变量 在积分区间上xxt,xa 变动.弄清上限变量和积分变量的区别是对积分限函数进行正确运算的前提. 1.1 关于积分上限函数的基本理论 定理 1 如果在上可积，则在上连续.)(xf,ba x a dttfxF)()(,ba 定理 2 如果在上连续，则在上可导，且)(xf,ba x a dttfxF)()(,ba ).()()(xfdttf dx d xF x a 长春师范学院本科毕业论文（设计） 6 注：（）从以上两个定理可看出，对作变上限积分后得到的函数，性质比)(xf 原来的函数改进了一步：可积改进为连续；连续改进为可导.这是积分上限函数的 良好性质.而我们知道，可导函数经过求导后，其导函数甚至不一定是)(xf)(x f 连续的. （）定理（2）也称为原函数存在定理.它说明：连续函数必存在原函数，并 通过定积分的形式给出了它的一个原函数.我们知道，求原函数是求导运算的逆运 算，本质上是微分学的问题；而求定积分是求一个特定和式的极限，是积分学的 问题.定理（2）把两者联系了起来，从而使微分学和积分学统一成为一个整体，有 重要意义. 推论 1 )()(xfdttf dx d b x 推论 2 )()()( )( xxfdttf dx d x c 推论 3 )()()()()( )( )( xxfxxfdttf dx d x x 1.2 积分限函数的几种变式 （1） 比如 x dttftxxF 0 )()()( (被积函数中含 x , 但 x 可提到积分号外面来.) 在求时，先将右端化为的形式，再)(x F xxxx dtttfdttfxdtttfdttxf 0000 )()()()( 对求导.x （2）比如 x dtxttfxF 0 )()( ( f 的自变量中含 x, 可通过变量代换将 x 置换到 f 的外面来) 在求时，先对右端的定积分做变量代换（把看作常数） ，此时，)(x F xtux ，时，；时，这样，就化成了以作为积分dudt 0txuxt 0u)(xFu 变量的积分下限函数：，然后再 000 )()()()()( xxx duuufduufxduufuxxF 对 x 求导. ( 3 ) 比如 1 0 )()(dtxtfxF 长春师范学院本科毕业论文（设计） 7 (这是含参数 x 的定积分, 可通过变量代换将 x 变换到积分限的位置上去) 在求时，先对右端的定积分做变量代换（把看作常数） ，此时，)(x F xtu x ，时，；时，于是，就化成了以作为积分变 x du dt 0t0u1txu )(xFu 量的积分上限函数：，然后再对 x 求导. x duuf x xF 0 )( 1 )( 1.3 有积分限参与的函数题型举例 （1） 极限问题： 例 1 （答：12） x x x dtttt tdt 0 0 2 3 0 )sin( sin lim 2 例 2 （提示：本题用洛必达法则求不出结果，可用夹逼准则求. 答： x dtt x x 0 sin lim ） 2 例 3 已知极限，试确定其中的非零常数1 sin1 lim 00 x x x dt ct t abxe .,cba （答：） . 1 , 1, 1cba （2） 求导问题 例 4 已知 求 (答:) .sin ,)cos1 ( 0 0 t t uduy duux . dx dy )cos1 (2 sin tt t 例 5 已知 求 (答: ) . 0 cos 00 xyy t tdtdte. dx dy )cos( )cos( xyxe xyy y 例 6 求 x dttx dx d 0 2 )sin( (答: ) 2 sin x 例 7 设在内连续且 求证 在内单调)(xf),(, 0)(xf x x dttf dtttf x 0 0 )( )( )(), 0( 增加. (3) 最大最小值问题 例 8 在区间上求一点, 使得下图中所示的阴影部分的面积为最小., 1 e 长春师范学院本科毕业论文（设计） 8 e y = ln x x y 1 1 (提示: 先将面积表达为两个变限定积分之和:, 然后求 e x x dtttdtxA)ln1 (ln)( 1 出,再求出其驻点. 答:.)(x A e 例 9 设，为正整数. 证明 的最大值不超过0xn x n tdtttxf 0 22 sin)()( (提示:先求出函数的最大值点, 然后估计函数最大值的上界.). )32)(22( 1 nn (4) 积分问题 例 10 计算，其中. 1 0 )(dxxxf 2 1 sin )( x dt t t xf (提示: 当定积分的被积函数中含有积分上限函数的因子时, 总是用分部积分法求 解, 且取为积分上限函数. 答: )(xu).11(cos 2 1 例 11 设在内连续, 证明)(xf),( .)()( 000 xux dudttfduuxuf (提示: 对右端的积分施行分部积分法.) 例 12 设 求在内的表达式. . 2 ,00 , 212 , 10 )( xx xx xx xf x dttfx 0 )()(),( (说明: 这类题在概论课中求连续型随机变量的分布函数时会遇到. 求表达式时, 注 意对任一取定的, 积分变量 在内变动.xt, 0x O 长春师范学院本科毕业论文（设计） 9 答: ). 21 , 21)2( 2 1 1 , 10 2 1 , 00 )( 2 2 x xx xx x x (5) 含有未知函数的变上限定积分的方程（称为积分方程）的求解问题 例 13 设函数连续，且满足)(x 求.)()()( 00 xx x dttxdtttex).(x (答: ) )sin(cos 2 1 )( x exxx （说明：这类问题总是通过两端求导，将所给的积分方程化为微分方程，然后求 解. 注意初值条件隐含在积分方程内. 答: ） xxxsincos)( 例 14 设为正值连续函数, 且对任一, 曲线)(xf, 1)0(f0x)(xfy 在区间上的一段弧长等于此弧段下曲边梯形的面积, 求此曲线方程., 0x (说明: 根据题设列出的方程将含有的积分上限函数. )(xf 答: )0( 2 )( x ee xf xx (6) 利用积分上限函数构造辅助函数以证明积分不等式等. 例 15 设均在上连续, 证明以下的 Cauchy-Swartz 不等式:)(),(xgxf,ba .)()()()( 222 b a b a b a dxxgdxxfdxxgxf 说明: 本题的通常证法是从不等式出发, 由关于 的二次函数0)()( b a dxxtgxft 非负的判别条件即可证得结论. 但也可构造一个积分上限函数, 利用该函数的单调 性来证明. 提示如下: 令 则.)()()()()( 222 x a x a x a dttgdttfdttgtfxF . 0 )(aF 求出并证明 从而单调减少, 于是得 )(x F . 0 )( x F)(xF . 0 )()(aFbF 由此可得结论. 这种证法有一定的通用性. 例如下例. 例 16 设在0,1上连续且单调减少. 证明: 对任一 有)(xf, 10 长春师范学院本科毕业论文（设计） 10 .)()( 1 00 dxxfdxxf (提示: 即证 于是作 只需证单调减少. 1 )()( 1 00 dxxfdxxf , )( )( 0 x dttf xF x )(xF 即可得结论.) 利用积分上限函数构造辅助函数, 还常用于证明与微分中值定理有关 的某些结论. 比如下题. 例 17 设在上连续. 求证: 存在, 使)(),(xgxf,ba),(ba . a b dxxfgdxxgf)()()()( (提示: 令. 对在上用 Rolle 定理即可证得结论) b x x a dttgdttfxF)()()()(xF,ba 1.4 积分上限函数分析性质 关于积分限函数的奇偶性与周期性 定理 3 设连续，.如果是奇（偶）函数，则是偶（奇） xf x dttfx 0 xf x 函数；如果如果是周期为的函数，且,则是相同周期的周期函 xfT 0 0 T dxxf x 数. 证 设奇, 则 xf , xduufduufudufdttfx x f xx ut x 0000 、 即为偶函数. x 设偶, 则 xf , xduufduufudufdttfx x f xx ut x 0000 、 即为奇函数. x 若，则 0 0 T dxxf , xdttfxdttfdttfdttfTx TTx x xTx 000 即为周期为 T 的周期函数.)(x 长春师范学院本科毕业论文（设计） 11 2 函数列与函数项级数 2.1 基本概念 函数列 收敛域 极限函数 设是定义在数集上的函数列，若存在，使得数列收敛，则( ) n fxExE ( ) f x 称函数列在点收敛.所有收敛点的集合称为收敛域，记为. 在上( ) n fx x D( ) n fxD 每点的极限（是上的函数） ，称为极限函数，记为.于是对任意有D( )f xxD ，或记为，称在上收敛于.lim( )( ) n n fxf x ( )( ) D n fxf x ( ) n fxD( )f x 2.2 一致收敛条件 函数列一致收敛性 若，当时，对任意都有，则称0NnNxD( )( ) n fxf x 在上一致收敛于，记为.( ) n fxD( )f x( )( ) D n fxf x 、 函数列一致有界性 若存在常数，使得对任意的自然数以及任意的有，则称0M nxD( ) n fxM 在上一致有界.( ) n fxD 函数项级数 和函数 设是上的函数列，称为上的函数项级数. 若其部分和函数列( ) n uxE 1 ( ) n n ux E 在上收敛于收敛于极限函数，则称在上收敛于和函数，( ) n SxD( )S x 1 ( ) n n ux D( )S x 记为. 1 ( )( ) n n uxS x 函数项级数级数一致收敛性 设是的部分和函数列，若，则称级数在上一( ) n Sx 1 ( ) n n ux ( )( ) D n SxS x 、 D 致收敛（于）.( )S x 柯西一致收敛准则 在上一致收敛的充分必要条件是：，当时，对任( ) n fxD0N,m nN 意都有.xD( )( ) nm fxfx 长春师范学院本科毕业论文（设计） 12 在上一致收敛的充分必要条件是：，当时，对 1 ( ) n n ux D0NmnN 任意都有.xD( ) m k k n ux 在上一致收敛的必要条件：. 1 ( ) n n ux D( )0 D n ux 、 一致收敛确界判别法 的充要条件是.( )( ) D n fxf x 、 limsup( )( )0 n n x D fxf x 在上一致收敛的充分必要条件是（其中 1 ( ) n n ux Dlimsup( )0 n n x D R x 称为余和）. 1 ( )( ) nk k n R xux 函数项级数一致收敛 M 判别法 若存在数列，使得对任意都有（） ，并且 n MxD( ) nn uxM1,2,n 收敛，则在上一致收敛. 1 n n M 1 ( ) n n ux D 函数项级数一致收敛狄利克雷判别法 若部分和函数列在上一致有界；对每个固定的，为单调 1 ( ) n k k ux DxD( ) n vx 数列，并且.则在上一致收敛.( )0 D n vx 、 ( )( ) nn ux vx D 函数项级数一致收敛阿贝尔判别法 若在上一致收敛；对每个固定的，为单调数列，函数列 1 ( ) k k ux DxD( ) n vx 在上一致有界.则在上一致收敛.( ) n vxD( )( ) nn ux vx D 2.3 一致收敛的性质 连续性定理 可积性定理 若在上连续（） ，并且，则极限函数在( ) n fxD1,2,n ( )( ) D n fxf x 、 ( )f x 上连续.D 若在上连续（） ，并且在上一致收敛于，则和函( ) n uxD1,2,n 1 ( ) n n ux D( )S x 数在上连续.( )S xD 长春师范学院本科毕业论文（设计） 13 当为闭区间时，在上述条件下成立等式：D , a b （积分与极限可交换）.lim( )dlim( )d( )d bbb nn aaann fxxfxxf xx （可逐项积分）. 11 ( ) d( )d b b nn a nn a uxxu xx 关于逐项积分的条件可稍作减弱（范例 27） 可微性定理 若（） ，在上收敛于，在 1 ( ) , n fxC a b1,2,n ( ) n fx , a b( )f x( ) n fx 上一致收敛，则极限函数可微并且 , a b( )f x （求导与极限可交换）( )lim( )lim( ) nn nn fxfxfx 若（） ，在收敛于，在一 1 ( ) , n uxC a b1,2,n 1 ( ) n n ux , a b( )S x 1 ( ) n n ux , a b 致收敛，则和函数可微并且( )S x （可逐项求导）. 11 ( )( )( ) nn nn S xuxux 2.4 范例分析 1、讨论在的收敛性和一致收敛性.( ) nx n fxn xe 0,1 解：对任意实数都有 ，即对任意实数，lim( )0( ) n n fxf x 0,1x 在都收敛，极限函数为.( ) nx n fxn xe 0,1( )0f x 由于，所以由确界判别法，当时 1 1 0,1 0,1 1 sup( )( )max( )( ) nnn x x e fxf xfxf nn 1 在收敛但不一致收敛，当时在一致收敛. nx n xe 0,11 nx n xe 0,1 注：当极限函数容易求得时，通常可用确界法判断一致收敛性. 2、设在上连续.求证：在一致收敛的充要条件是.( )f x0,1( ) n x f x0,1(1)0f 证：显然有，因此当时极限函数在0,1x 001 ( ) (1)1 n n x x f x fx (1)0f 不连续，由连续性定理可知在不一致收敛.必要性得证.0,1( ) n x f x0,1 设，由连续性，当时都有(1)0f0011x1n .( )( ) n x f xf x 设，则对任意有，所以在 0,1 max( ) x Mf x 0,1x( )(1) nn x f xM( ) n x f x 长春师范学院本科毕业论文（设计） 14 上一致收敛于 0.即，当时有.0,1NnN0,1x ( ) n x f x 综上可知，当时有，即在0NnN0,1x ( ) n x f x( ) n x f x 一致收敛.充分性得证.0,1 3、设可微（） ，在收敛，在一致有界.求( ) n fx1,2,n ( ) n fx , a b( ) n fx , a b 证：在一致收敛.( ) n fx , a b 证：设.( )(1 , ) n fxMnxa b、 ，作的分割使，依条件知，0 , a b 01l axxxb 1 3 kk xx M N 当时，对每个有（柯西准则）.，,m nN(0) k xkl()() 3 nkmk fxfx , xa b 使，于是当时(1)kkl 1 , kk xxx ,m nN ( )( )( )()()()()( ) mnmmkmknknkn fxfxfxfxfxfxfxfx 1 2 3 kk M xx （微分中值定理）.即证. 注：柯西准则的优点是无须关注极限函数的具体形式和性质，直接由函数列本身作 出一致收敛性判断.本题也可用反证法证明. 4、设在一致收敛，（）.则存在，并且( ) n fx( , )a blim( ) nn xb fx 1,2,n lim n n ，或即.lim( )lim n n xb f x lim lim( )lim lim( ) nn nn xbxb fxfx 证：，当时，有，令得0N,m nN( , )xa b( )( ) nm fxfxxb 到.所以存在，记. nm lim n n lim n n 存在充分大的使得（） ，.而对存在 0 n 0 ( )( ) 3 n f xfx ( , )xa b 0 3 n 0 n ，当时.因此有0bxb 00 ( ) 3 nn fx （）. 0000 ( )( )( )( ) nnnn f xf xfxfxbxb 注：本题的一个推论：若，则收敛于( , n fC a b ( , ) ( )( ) a b n fxf x 、 ( ) n f b .因此在一致收敛于连续函数.(0)( )f bf b( ) n fx( , a b( )f x 5、判断在的收敛性和一致收敛性. sin n x x (0, ) 长春师范学院本科毕业论文（设计） 15 解： 在不连续，在都连 1(0, ) sin ( )lim 0 n n x x f x xx (0, sin ( ) n n x fx x (0, 续（） ，由连续性定理，在收敛但不一致收敛，因此在1,2,n sin n x x (0, 不一致收敛.(0, ) 注：若在上收敛但不一致收敛，是有限集，则在上也不( ) n fx 0 DD 0 D( ) n fxD 一致收敛. 或等价地，若在上收敛，在上一致收敛，是有限集，则( ) n fx 0 DDD 0 D 在上一致收敛.( ) n fx 0 DD 6、设在处处连续，时，( )f x(,) 0x ( )f xx 1( ) ( )f xf x （）.求证：对任意，在上一致收敛. 1( ) ( ) nn fxf fx 1n 0A ( ) n fx, A A 证：显然，有，其中等号仅当时成立.，由(0)0fx A( )f xx0x 0 于在有界闭集上连续，所以存在，使当时 ( )f x x xA01qxA ，即.而当时.故在上 ( )f x q x ( )f xq x x( )f xx, A A .( )max ,f xq x 设（） ，考察：若，则( )max , n n fxq x , xA A 1( )n fx ( ) n fx ；若，此时必有，于是 1( ) ( )( ) nnn fxf fxfx ( ) n fx( ) n n fxq x . 1 1( ) ( )( ) n nnn fxf fxqfxqx 因此，当时.由于，0 , xA A ( )max ,max , nn n fxq xq A 01q 故可取，当时.所以只要，对任意都有，即NnN n q A nN, xA A ( ) n fx 在上一致收敛于 0.( ) n fx, A A 7、设在处处连续，.求证：在一( )f x(,) 1 0 1 ( )() n n k k fxf x nn ( ) n fx , a b 致收敛. 证：显然有. , xa b 1 0 lim( )()d n n fxf xtt 长春师范学院本科毕业论文（设计） 16 1 1 1 0 0 1 ( )()d()()d k n n kn k n k fxf xttf xf xtt nn ， 1 1 0 ()() d k n n k k n k f xf xtt n 由在的一致连续性，当时，( )f x ,1a b0NnN , xa b 都有.因此，当时有 1 , k k t nn (0)kn()() k f xf xt n nN , xa b ，即在一致收敛. 1 1 0 0 ( )()d n n k fxf xtt n ( ) n fx , a b 8、设和在可积，.求证：对( )(1,2,) n fx n ( )f x , a b 2 lim( )( ) d0 b n an fxf xx 上任意可积函数，在一致收敛于. , a b( )g x( ) ( )d x n a f t g tt , a b( ) ( )d x a f t g tt 证：( ) ( )d( ) ( )d( )( ) ( )d xxx nn aaa f t g ttf t g ttf tf t g tt 11 2222 ( )( )( ) d( )( ) d( ) d xxx nn aaa f tf tg ttf tf ttg tt ，即证. 11 2222 ( )( ) d( ) d0 bb n aan f tf ttg tt 注：若，（其中与无关），则在上一致收xD( )( )0 nn n fxf x n x( ) n fxD 敛于.( )f x 9、设是的连续函数列，在上收敛于连续函数，( ) n fx , a b , a b( )f x ，数列单调.求证：在上一致收敛于. , xa b( ) n fx( ) n fx , a b( )f x 证：，使，由的连续性，0 , xa b x n( )( ) x n fxf x x n f ，当时.又因单调趋于，故当0 x (,) xx xxx ( )( ) x n fxf x( ) n f x ( ) f x 时（）. x nn( )( ) n fxf x(,) xx xxx 由于，故存在个正整数和开区间 , , (,) xx xa b a bxx m k n(,) kkkk xx ，使得，并且当时在内有(1)km 1 , (,) kkkk k m a bxx k nn(,) kkkk xx .( )( ) n fxf x(1)km 长春师范学院本科毕业论文（设计） 17 ，取，考察：，可取使0 1 max k k m Nn nN , xa bk1,2, m ，于是由得到.(,) kkkk xxx k nNn( )( ) n fxf x 注：上述命题称为狄尼定理.相应于函数项级数情形的狄尼定理叙述如下：设 在连续且非负（），在收敛于连续函数.则在( ) n ux , a b1,2,n ( ) n ux , a b( ) n ux 一致收敛. , a b 3 隐隐函数函数 3.1 隐函数的表示方法 函数表示两个变量与 之间的对应关系，这种对应关系可以用各种不同)(xfy yx 方式表达.例如，等，这种函数表达方式的特点是：等号左端是因xysin1lnxxy 变量的符号，而右端是含有自变量的式子，当自变量取定义域内任一值时，由这个式 子能确定对应的函数值.用这种方式表达的函数叫做显函数显函数.有些函数的表达方式却不 是这样，例如，方程 01 3 yx 表示一个函数，因为当自变量 在（-,+）内取值时，变量有确定的值与之对应，xy 这样的函数称为隐函数隐函数. 一般地，如果在方程中，当 取某区间内的任一值时，相应地总有满足0),(yxFx 这个方程的唯一值存在，那么就说方程在该区间内确定了一个隐函数.y0),(yxF 把一个隐函数化成显函数，叫做隐函数的显化.例如从方程中解出01 3 yx ，就是把隐函数化成显函数.隐函数的显化有时是困难的，甚至是不可能的.在 3 1xy 实际问题中，有时需要计算隐函数的导数，因此，我们希望有一种方法，不管隐函数 能否显化，都能直接由方程求出它所确定的隐函数的导数来.下面通过具体例子来说明 这种方法. 例 1 求由方程 所确定的隐函数的导数.0exye y )(xyy dx dy 解 方程两端同时对 求导，得0exye y x = x y exye)( x )0( =0 xxx y exye)()()( =00)1 ()( xxy y yxyye 即 =0yxyye y 所以 . y ex y y 长春师范学院本科毕业论文（设计） 18 在求时，是的函数，又是 的函数，故是 的复合函数.因此对 的 x y e )( y eyyx y ex y ex 导数必须按照复合函数的求导.在求完导数以后，就得到一个包含的一次方程，解出 y ，即为隐函数的导数. y 例 2 求由方程所确定的函数的导数. 222 ayx)(xyy dx dy 例 3 求由方程所确定的隐函数在处的导数.032 75 xxyy)(xyy 0x 0 | x dx dy 例 4 设，求.xyarcsin y 解 由，有xyarcsin .yxsin 方程两端同时对 求导，得yxsinx yy)(cos1 解出，得 y = y ycos 1 因为，所以 cosy=.y 2 2 y 2 sin1 2 1x 于是，有 = y 2 1 1 x 即 =.)(arcsinx 2 1 1 x 3.2 隐函数的性质 如果方程 f(x,y)=0 能确定 y 是 x 的函数，那么称这种方式表示的函数是隐函数. 函数:在某一变化过程中，两个变量 x、y，对于某一范围内的 x 的每一个值，y 都有 确定的值和它对应，y 就是 x 的函数.这种关系一般用 y=f(x)来表示.显函数是用 y=f(x)来表示的函数，显函数是相对于隐函数来说的. 求导法则，对于一个已经确定存在且可导的情况下，我们可以用复合函数求导的 链式法则来进行求导.在方程左右两边都对 x 进行求导，由于 y 其实是 x 的一个函数， 所以可以直接得到带有 y 的一个方程，然后化简得到 y 的表达式. 隐函数导数的求解一般可以采用以下方法： 先把隐函数转化成显函数，再利用显函数求导的方法求导；隐函数左右两边对 x 求导 （但要注意把 y 看作 x 的函数） ； 利用一阶微分形式不变的性质分别对 x 和 y 求导， 长春师范学院本科毕业论文（设计） 19 再通过移项求得的值； 把 n 元隐函数看作(n+1)元函数，通过多元函数的偏导数的商 求得 n 元隐函数的导数.举个例子，若欲求 z = f(x,y)的导数，那么可以将原隐函数 通过移项化为 f(x,y,z) = 0 的形式，然后通过（式中 FyFx 分别表示 y 和 x 对 z 的 偏导数）来求解. 推理过程 一个函数 y=(x)，隐含在给定的方程 (1) 隐函数