毕业论文范文——基于隐式有限差分的热传导Matlab仿真

本科毕业设计（论文） 基于隐式有限差分的热传导Matlab仿真学 院 自动化学院 专 业 自动化 摘要本文研究隐式的有限的热传导模型的建立，分析了隐式有限差分的热传导的稳定条件和隐式有限差分的热传导及交替隐式方法（ADI）方法的技术速度。同时，也分别得出了基于隐式有限差分的热传导建立的模型的中心热源的一维matlab仿真，和交替隐式方法建立出的热传导的模型的中心热源的二维的matlab仿真。关键词：隐式热传导，交替方法，稳定条件，技术速度，matlab仿真。AbstractIn this artice, I study the implicit finite heat conduction model, and analyze the stability of the implicit finite difference method, the technology speed of the implicit finite difference of heat transfer and the technology speed of the alternating implicit method(ADI). At the same time, I get the one-dimensional MATLAB simulation of center of the heat source based on the implicit finite difference method and thetwo-dimension MATLAB simulation of center of the heat source based on the alternating implicit method.Key words: Implicit heat conduction ,Alternate method, Stable conditions, Technical speed, Matlab simulation 目 录1 绪论11.1 课题研究的背景及意义11.1.1背景11.1.2意义11.2课题的国内外发展概況21.2.1 现状21.2.2国内发展概况21.2.3国外发展概况41.3课题的指导思想及解决方法51.3.1指导思想51.3.2解决方法51.4课题研究的目的及内容61.4.1目的61.4.2内容62 预备知识72.1差分格式72.1.1微分方程72.1.2差分的概念72.1.3差分方程的概念72.1.3 有限差分格式72.1.4隐式差分格式82.2热传导方程82.2.1 一维的热传导方程82.2.2 二维的热传导方程 82.2.3 n维的热传导方程92.3稳定性92.3.1差分格式的稳定性判断93 隐式热传导的有限差分103.1 隐式热传导的有限差分格式103.1.1 隐式热传导的有限差分格式模型的建立103.1.2 稳定条件103.1.3 隐式热传导的有限差分格式的矩阵格式104 ADI方法124.1.1 ADI方法的热传导推导124.1.2 ADI方法的矩阵格式135 一维及二维的Matlab仿真145.1 Matlab145.1.1 Matlab 简介145.1.2 Matlab 功能特性145.1.3 Matlab 优势特点155.2实验思路185.3技术速度分析185.3.1隐式热传导的有限差分格式的技术速度185.3.2 ADI方法的技术速度195.4中心热源的Matlab仿真205.4.1 某时刻空间位置上的一维中心热源Matlab仿真205.4.2基于ADI方法的二维中心热源的Matlab仿真225.5实验结论245.5.1技术速度分析245.5.2热传导现象分析25总结26参考文献：28致谢29附录301 绪论1.1 课题研究的背景及意义1.1.1背景在科学和技术发展过程中，科学的理论和科学的实验一直是两种重要的科学方法和手段。虽然这两种科学方法都有十分重要的作用，但是一些研究对象往往由于他们的特性（例如太大或太小，太快或太慢）不能精确的用理论描述或用实验手段来实现。自从计算机出现和发展以来，模拟那些不容易观察到或在一定范围内不稳定的现象，得到实际应用所需要的数值结果，解释各种现象的规律和基本性质。差分方程在热传导问题中的应用这一议题跨越了物理学和数学两个学科，数学方法是解决物理问题最有效的工具。差分方程在热传导问题中的应用发展历程：近年来，传统热传导有限差分区域得到了发展，但是传统的方法在处理大的振荡的时候效果不是很好，近年来，典型的像利用小波-有限差分法求解热传导的方法，这其中主要利用到了小波变换。随后在上个世纪九十年代以来，有关热传导有限差分方法的区域分解算法得到了发展，C.N.Daw son，Qiang Du 和T.F.Dupont 找到了一种区域分解算法，在子区域的那边界处采用大空间步长古典显示格式计算出边界点的值，将其作为子区域的内边界处的Dlilichlet编制条件，然后在子区域内部用古典隐式并行计算。后来又有张宝林万正苏平行于Dawson等人的做法，在子区域的边界处采用小时间步长非对称格式和组显格式求解，稳定性步长与古典显示相比，放大了八倍。而在史策教授的热传导方程有限差分法的MATLAB实现和曹刚教授的一维偏微分方程的基本解中，对偏微分方程的解得MATLAB实现问题进行过研究，但只停留在一维中，而实际中，二维的及三维同样被广泛的应用，同时，对于热传的模型，一些数值方法也已经被应用，包括简单的显示热传导模型、Crank-Nicolson差分格式的热传导模型等。1.1.2意义科学计算在各门自然科学和技术科学与工程科学中其越来越大的作用，在很多重要领域中成为不可缺少的重要工具。而科学与工程计算中最重要的内容就是求解科学研究和工程技术中出现的各种各样的偏微分方程或方程组。热传导方程是一个描述物体温度随时间和空间的扩散或衰减规律的抛物型微分方程。在很多物理现象中都可以运用热传导方程来描述，但由于物理现象本来就是不稳定的，显示格式的差分格式并不是无条件稳定的，而在现实中，很多的人运用显式的热传导的差分格式去描述问题，这样为物理现象的不稳定增加了更大的问题。而隐式的差分格式则是无条件稳定的，在稳定性这一点上具有一定的优势。1.2课题的国内外发展概況随着技术的发展及科技的更新，求解热传导方程已经成为很多物理现象的核心内容，包括气体的扩散、液体渗透、热的传导等都可以用热传导来描述。MATLAB具有强大的计算及图形绘制功能，为科学计算和图形处理提供了便利。我们只需制定绘图方式，再提供绘图数据和输入程序指令就可以得到形象、直观的图形。因此，近些年越来越多的人开始通过MATLAB来求解数值计算和图像处理等技术问题，我们也可以用来绘制中心热源热传导的一维、二维的图像，从而可以更好的理解热传导方程的意义。1.2.1 现状近年来，求解热传导方程的理论和方法有了很大的发展，在各个学科技术的应用也愈来愈广泛。随着热效应等多种多种问题的重要性，热力学分析、电热稳定性分析、等已经有了一定的成果，同时，求解热传导方程的数值算法也取得巨大进展，特别是有限差分法方面，这种算法的优点计算速度更快，而且精度上更好。目前，在国内外MATLAB的使用十分普遍。在大学的数学、工程和科学系科，MATLAB被用作许多课程的辅助教学手段，MATLAB也成为我们必不可少的科学计算工具，甚至是一项必须掌握的重要技能。在科研机构和工业界，MATLAB正得到越来越广泛的应用。1.2.2国内发展概况李萍研究团队利用MATLAB强大功能中的PDE工具箱研究并求解导热问题，得到了平壁点热源导热的算例。通过结果分析得到，利用MATLAB强大功能中的PDE工具箱能够在不编程的情况下，直接进入到用户图形界面(GUI)进行操作，能够方便快速地对点热源导热模型进行求解。并且在用户图形界面（GUI）上还能够进行复杂几何形状导热问题的处理，这些功能就是MATLAB软件与其它软件不同的地方。同时因为有了网格的精化，使得模型中的有限元数值解的精度大大提高。王平研究团队进行了芯层为秸杆的复合材料传热特性的研究。其中，所使用的复合材料从外到内各自为聚丙烯纤维等构成的抗压外层，石灰/发泡剂等构成的保温层与秸杆层。通过研究结果分析得到复合材料芯部传热方式只是为导热。通过实验测量得到一系列的数据后，再利用MATLAB对其进行处理和仿真，能够得到秸杆密度和湿度与整体导热系数的曲线，此次研究结果能够作为该产品生产的参考意见。艾元方研究机构进行了蜂窝蓄热体内温度分布的研究。其通过建立了蜂窝蓄热体传热的数学模型，并使用拉普拉斯变换法去求解并得到了传热偏微分方程组，因为得到的精确解较复杂，所以对其还进行了有限差分，以及编写了MATLAB程序，同时利用其强大的符号运算功能，使在运行后获得了方程的半精确解。研究的结果和相关文献的结果吻合，但是由于利用MATLAB软件后，能够在获取蜂窝蓄热体传热半精确解的过程方便而快速。王金良进行了复合墙内外保温的传热过程的实验研究。所使用的内外保温墙体材料从内到外各自依次为水泥、砖墙、空气层、聚苯乙烯泡沫板和石膏板和水泥砂浆、聚苯乙烯泡沫板、砖墙和抹灰。并且两种情况的传热都是在一样的总热阻和室内冷负荷的环境下进行分析的，在得到了温度场的表达式后，通过MATLAB仿真计算得到各个交界面温度随时间而变化的曲线，在对比中发现这样的结果:外保温能够延长主墙使用寿命，不容易出现表面结露和内部结露，也不容易发生冷热桥现象。相对于外保温方式，内保温方式则相反，因此，外保温方式是值得推广和利用的复合墙节能保温方式。借助MATLAB工具，两种保温方式结果对比明显、直观。李灿研究团队运用了MATLAB解决了三个难以用解析方法求解的算例。其研究包括:一长方体钢锭的无内热源三维非稳态导热问题;一圆柱形核电站用燃烧棒的有内热源的非稳态导热问题;一正方形内嵌一菱形的有内热源的复杂边界热传导问题，借助MATLAB及其PED工具箱进行处理能够得到了三个算例的5h时刻温度分布图和温度梯度分布图、10h时刻温度分布云图、OAS时刻的等稳图和热流密度图。罗静丽进行了土壤源热泵垂直埋管的温度场的研究。其通过建立了土壤源热泵(垂直埋管)U型埋管的传热模型，以及得到导热的微分方程，再借鉴一个算例，并使用MATLAB对其数值进行模拟，以及借助MATLAB强大的PED工具箱获得了U型管周围的非稳态温度场，使能够对管的设计和铺就提供了一定的参考意见。正是MATLAB的强大功能能够让复杂几何形状和复杂边界条件的非稳态导热问题得到快速解决，以及利用其图形可视化功能可以使得计算结果形象、直观而且便于理解。阂剑青运用MATLAB对直肋导热进行了数值模拟。对于一个等截面直肋算例，其建立了其导热的一维和二维的数学模型，再MATLAB的PDEtool工具箱，进行有限元法求解导热偏微分方程，最终求解出了两模型的数值解并模拟了肋片温度分布云图和温度梯度分布图。通过分析发现这两种模型是等价的，但是二维模型更符合实际，并且PDEtool工具箱对于二维PDE问题能够非常方便的解决;在文章的最后还根据绘制的温度图象对算例中肋片的参数设计提供了一些改进的意见，使得肋片的导热系数提高了差不多34%。这个研究结果表明了使用MATLAB/PDE进行数值计算是方便而高效的，以及MATLAB是换热器工程结构设计和优化分析的有利工具。牛天况研究团队借助MATLAB软件对描述H型鳍片中传热过程的偏微分方程进行了求解，得出了H型鳍片管在烟气中的传热过程是对流何导热的综合过程，导热在过程中有重要作用，能够利用鳍片效率何综合传热能力来评价H型鳍片管的传热特性;不同外形尺寸何厚度的鳍片对传热均有显著影响。一定要将鳍片的导热过程的计算分析和对流换热的试验研究相结合，才能揭示H型鳍片管的传热规律，利用MATLAB强大的数值计算和图像功能，能够方便快速地得到结果。叶长桑利用MATLAB对肋片传热特性分析和最轻设计上的应用进行研究。其主要的研究内容是:分析肋片传热特性，建立数学模型，获取温度分布、散热量、肋效率等一些重要参数;再利用MATLAB的微分方程求解器快速、方便、准确地模拟了肋片导热过程，直观地获得了数值解，并使用MATLAB绘制了肋片厚度、高度、形状对散热量影响的规律曲线;对肋片结构优化设计提供了思路，即对薄肋采用矩形肋片优于三角形肋片，而对于厚肋则采用三角形肋片的散热量高于矩形肋片。1.2.3国外发展概况I.V .Singh结合MATLAB和其他数学工具无网格化求解了综合传热问题。其利用了无网格Galerkin方法，借助拉格朗日综合法建立导热过程模型并确定基本边界条件，再借助MATLAB快速地解出方程，得到数值解。这一研究发现，与有限元法等一般分析方法相比，通过MATLAB软件可以提高解题效率及解的精度。Lamartine Nogueira Frutuoso Guimaraes等对一个U型管的蒸汽发生器的模型推导进行了研究。其中U型管蒸汽产生器是压力水发生器的重要部件，作者通过分析了其内有效导热过程为一个二维导热过程，从而推导并得到所要的模型后，再借助MATLAB软件求解了问题，完成了模型的建立、求解以及验证，并通过MATLAB软件完成了更完善的模拟和仿真分析。Fatemeh Esfandiari Nia等通过对空调系统中的除湿转轮的热力过程进行了建模和仿真的研究。通过分析了除湿转轮上的除湿机综合传热以及转轮绝热除湿过程。获得其模型后，再利用MATLAB的SIMULINK工具箱得到所要的数值解，并对结果仿真和可视化分析。结果表明，这种研究方法是有效的，并且其结果对HVAC系统的效率测定具有很好的指导意义。Joydeep Barman等进行了管壳式换热器内的最佳肋片高度的研究。借助MATLAB仿真工具箱来测定限制条件数值变化的规律，研究不同形状(三角形和圆形)肋片换热变化的方式和规律。结果发现肋片的最佳高度能使换热热流密度最大，还得到最佳肋片高度变化和换热器外径增大成线性关系。Chao Chen等进行了一种用于墙体储能的新相变材料(PCM)的实验和模拟仿真研究。其构建了有新新相变材料的墙体的一维非线性导热模型，再借助MATLAB进行求解。该问题很快就得到了结果，并且能够绘制节能效果图。结果表明，相变点设置在23度墙厚30毫米时，能节能17%或更高。热合买提江依明江等利用MATLAB对由用EXCEL得到的矩形薄片的热传导问题的计算数值进行了仿真研究。其还进行了薄片的二维导热问题的离散化研究，得到薄片边界和内部节点的差分方程，利用MS.Excel求得节点温度，再借助MATLAB软件对计算结果进行仿真。结果发现，可视化处理不仅能够求出了与实际想吻合的图形，还能够方便理解和深人研究及利用。1.3课题的指导思想及解决方法1.3.1指导思想把连续的的区域用有限个离散点构成的空间来代替；把连续区域上的连续变量的函数用离散变量函数来近似；把原方程和条件中的微商用差商来近似；积分用积分和来近似；于是，原微分方程和条件就近似地代之以代数方程组，即有限差分方程。再通过隐式的思想将其转化和利用ADI将多维的问题转化成多个一维问题的思想结合。1.3.2解决方法目前，对于求解偏微分方程有很多方法，但差分法和ADI法仍然是解决问题的两种主要方法。一般来说，用差分法来解偏微分方程，解得的结果就是方程的准确解函数再借点上的近似值。而ADI法则是将复杂的热传导的二维、三维问题转化为2个、3个一维的问题。有关一维热传导方程的有限差分法求解的MATLAB实现，很多文献已经提出来解决方法，本文在一维热传导方程的有限差分法求解的基础上，对隐式的有限差分的热传导进行推导，并对二维热传导方程进行转换，再对解法编程实现，从而进一步对热传导方程进行探讨。一维、二维的热传导方程求解在现实生活中的应用很广泛，所以这样的研究具有很好的现实意义。1.4课题研究的目的及内容1.4.1目的通过对隐式差分格式的热传导的推导及中心热源的仿真，利于更好的理解热传导在空间及时间上的过程，且通过ADI方法，可以学习将多维的问题转化成多个一维问题的求解思想。1.4.2内容本毕设主要研究基于有限差分的热传导方程的隐式的求解方法及交替方向隐式热传导的求解方法，给出技术速度分析和稳定性分析，实现一维、二维中点热源扩散的传导现象的仿真，并对仿真结果进行分析。2 预备知识2.1差分格式2.1.1微分方程含有未知数T（x,t）的偏导数的方程称为偏微分方程，对x求导，记为，对t求导，记为。2.1.2差分的概念设变量y是时间t的函数，如果函数y=y(t)不仅连续而且可导，则变量y对时间t的变化率用来表示，但在某些情况下，时间t只能取离散的值，导致变量y也只能按规定的离散时间而相应的变化，这时，常用规定的时间区域上的差商来表示y 的变化率。若取，那么就可以近似的表示y的变化率。定义函数y=f(x),当变量x取不同的值0,1,2,.x,x+1,.时,函数可简单的记为：，.,.当自变量从x变到x+1时，函数的改变量为，称为函数y在x处的差分，记为，即 （1）综上可知差分也可近似表示为： （2）2.1.3差分方程的概念差分方程：离散现象在自然中广泛存在，以递推关系为基础的差分方程正在描述概率、排队、统计、随机序列、组合分析、数论、几何、网络、遗传学、生物学、经济学、心理学，以及社会学等方面有着许多方便之处。但与微分方程相比，差分方程的理论相对较少。事实上，差分方程比微分方程出现更早，但由于早期微分方程等理论的发展导致了微分方程的发展比差分方程的迅速，最近计算机的发展使得差分方程又开始得到应有的重视。利用差分方程对实际问题进行建模和研究的优点包括：在经济、生态、社会、公共卫生、日常生活、生产中的数据都是按天、周、月、季度、年等汇总和统计的，利用差分方程去分析和描述是一个很自然的选择，它可以直接用来进行模拟和与实际数据进行对比；差分方程就是一种递推关系，与微分方程模型相比，更容易被实际部门的人员理解和接受；差分方程也是微分方程的一种离散化，是微分方程进行数值计算的一种途径；差分方程具有更丰富的动力学性态，例如，很简单的差分方程就有可能会出现非常复杂的动力学性态，在数学的理论研究方面具有更大的挑战性。因此，我们定义包含有未知函数及其差分的等式称为差分方程，其形式是根据差分算子与位移算子的关系，可以将阶差分方程写为或者我们将不显含时的方程为自治差分方程。用或者来表示一阶或阶差分方程。使得差分方程称为恒等式的序列陈伟差分方程的解称为自治差分方程的初始值问题。满足方程及初始值条件的序列称为初始值问题的解，当显含时,称为非自治差分方程的初始值问题。含有未知数的差分或者含有未知函数的几个不同时期的符号的方程称为差分方程。例如： （3）其中c可表示常数也可表示带未知数的式子。2.1.4差分方程的应用差分方程反映离散变量的变化规律，它是一个或一组离散变量所满足的平衡关系，在经济 、生态、疾病防治等方面都有着非常重要的作用。应用差分方程可以解决实际问题时需要引入一些离散变量，根据实际系统的变化规律得到这些离散变量所满足的递推关系，即建立差分方程模型。通过对模型求解或者分析模型解的性态，得到这些离散变量的变化规律。在建立差分方程模型时，往往要将变化过程规划成若干时段，引入一些变量，在适当假设的基础上根据实际问题的机理得到每相邻时段之间变量的递推关系，即建立起差分方程。下面我们以两个国家的国民收入和贸易为例子分析。当考虑国家间的贸易时，国民收入由消费支持、投资、出口和进口几个主要因素组成。我们假设一个国家这一年度的消费支出在下年度的国民收入成比例，这一年度的进口也与下年度的国民收入成比例，并假设在所考虑的时间内每个国家的投资为常量。记和分别为第年国家1和2的国民收入，根据经济学的原理和我们的假设得到下面模型：其中，表示国家1的国内消费，表示国家1的出口额，表示投资，第2个方程的意义类似。该方程解为：由于每个国家的经济发展过程中总的消费和进口之和小于国民收入，再注意到两个国家的贸易中，1的出口就等于2的进口，所以有：当得趋于无穷时，收敛于，所以：这种情况意味着两个国家的国民收入最终的极限值与初始状态无关。如果有多个国家，或者经济情况变化时，就需要考虑多个变量组成的方程组或变系数的方程组，理论分析会困难一些。2.1.3 有限差分格式差分格式是数值计算方法中微分以及偏微分导数的一种离散化方法，即用相邻两个或者多个数值点的差分取代偏微分方程中导数或者偏导数的一种算法。在这个基础上，对连续的x/t坐标，定义在一定范围内，例如： （4）即称为有限差分格式。其中 （5）为中心差分格式； （6）为后向后差分格式； （7）为前向前差分格式。2.1.4隐式差分格式定义：有限差分格式在新的时间层上包含有多于一个的节点，这种有限差分格式称为隐式差分格式。这种格式的计算方式并不等同于显式差分格式，由前一个时间层推进到下一个时间层的逐点计算方式。2.2热传导方程2.2.1 一维的热传导方程对于均匀各向同性固体，其二维的热传导的描述为： （8）其中T=T（x，t）是固体传热过程中在x处t时刻的温度，k为固体的热传导系数。2.2.2 二维的热传导方程 对于均匀各向同性固体，其二维的热传导的描述为： （9） 其中T=T（x，y,t）是固体传热过程中在(x,y)处t时刻的温度，k为固体的热传导系数。2.2.3 n维的热传导方程由（1）和（2）可类似推导出n维的热传导方程： （10）其中T=T（x1，x2,.,xn,t）是固体传热过程中在(x1，x2,.,xn)处t时刻的温度，k为固体的热传导系数。2.3稳定性2.3.1差分格式的稳定性判断定理1（von Neumann条件） 微分方程的差分格式稳定的必要条件是当，对所有有 ， j=1，2，.，p其中为增长因子（或增长矩阵），表示的特征值，为常数。定理2 如果差分格式的增长矩阵是正规矩阵，则von Neumann条件是差分格式稳定的必要且充分条件。定理2.1当为是对称矩阵，酉矩阵，Hermite矩阵时，von Neumann条件是差分格式稳定的充分必要条件。定理2.2当p=1时，即只有一个元素，则von Neumann条件是差分格式稳定的充要条件。定理3 如果存在常数使得， ，则差分格式是稳定的。3 隐式热传导的有限差分3.1 隐式热传导的有限差分格式3.1.1 隐式热传导的有限差分格式模型的建立热传导的差隐式分格式可直接利用热传导方程和有限差分格式进行结合，这里，我们将（5）代入到（8）中可得到： （11） 其中,由此我们可看出，这种差分格式在时间层上包含有t、两个节点,并且空间和时间均在一定范围，我们称热传导的隐式差分格式。此时，如果对于变量x，t都有界，即被定义在一定范围内，即可得到隐式热传导的有限差分格式模型： （12）3.1.2 稳定条件令 （13） 将（13）代入（12）有： （14） 由此得到增长因子因为k0,h0,r0,所以1-coskh0,因此，。显然，这个格式是相容的，并且无条件收敛。3.1.3 隐式热传导的有限差分格式的矩阵格式由式子（12）可得：=4 ADI方法用ADI算法求解二维的热传导，则需要将二维的热传导方程转换成两个一维的方程。由式子（9）我们可以知道二维的热传导方程，由隐式Crank-Nicolson方法产生以下有限差分方程： （15）4.1.1 ADI方法的热传导推导用ADI算法，由第t层到t+1层计算分为两步：（1） 第一步：从，求对X方向上及Y方向上的中心差分，构造出差分格式为：即： (16)（2） 第二步：从，求对X及Y方向上的中心差分，构造出差分格式为：即： （17）其中，;x，y=-，.，0，.，t=0，1，2，.，上表表示在取值。假定第t层的已求得，则由（16）求出，这只需按行（x=-，.，0，.，）解一些具有三对角系数矩阵的方程组；再由（17）求出，这只需按列（y=-，.，0，.，）解一些具有三对角系数矩阵的方程组即可。4.1.2 ADI方法的矩阵格式将式子（16）转换成矩阵格式为：=式子（17）转换成矩阵格式为：=5 一维及二维的Matlab仿真5.1 Matlab5.1.1 Matlab 简介MATLAB是美国MathWorks公司出品的商业数学软件，用于算法开发、数据可视化、数据分析以及数值计算的高级技术计算语言和交互式环境，主要包括MATLAB和Simulink两大部分。MATLAB是matrix&laboratory两个词的组合，意为矩阵工厂（矩阵实验室）。是由美国mathworks公司发布的主要面对科学计算、可视化以及交互式程序设计的高科技计算环境。它将数值分析、矩阵计算、科学数据可视化以及非线性动态系统的建模和仿真等诸多强大功能集成在一个易于使用的视窗环境中，为科学研究、工程设计以及必须进行有效数值计算的众多科学领域提供了一种全面的解决方案，并在很大程度上摆脱了传统非交互式程序设计语言（如C、Fortran）的编辑模式，代表了当今国际科学计算软件的先进水平。MATLAB和Mathematica、Maple并称为三大数学软件。它在数学类科技应用软件中在数值计算方面首屈一指。MATLAB可以进行矩阵运算、绘制函数和数据、实现算法、创建用户界面、连接其他编程语言的程序等，主要应用于工程计算、控制设计、信号处理与通讯、图像处理、信号检测、金融建模设计与分析等领域。MATLAB的基本数据单位是矩阵，它的指令表达式与数学、工程中常用的形式十分相似，故用MATLAB来解算问题要比用C，FORTRAN等语言完成相同的事情简捷得多，并且MATLAB也吸收了像Maple等软件的优点，使MATLAB成为一个强大的数学软件。在新的版本中也加入了对C，FORTRAN，C+，JAVA的支持。5.1.2 Matlab 功能特性MATLAB 产品系列重要功能：MATLAB: MATLAB 语言的单元测试框架Trading Toolbox: 一款用于访问价格并将订单发送到交易系统的新产品Financial Instruments Toolbox: 赫尔-怀特、线性高斯和 LIBOR 市场模型的校准和 Monte Carlo 仿真Image Processing Toolbox: 使用有效轮廓进行图像分割、对 10 个函数实现 C 代码生成，对 11 个函数使用 GPU 加速Image Acquisition Toolbox: 提供了用于采集图像、深度图和框架数据的 Kinect for Windows传感器支持Statistics Toolbox: 用于二进制分类的支持向量机 (SVM)、用于缺失数据的 PCA 算法和 Anderson-Darling 拟合优度检验Data Acquisition Toolbox: 为 Digilent Analog Discovery Design Kit 提供了支持包Vehicle Network Toolbox: 为访问 CAN 总线上的 ECU 提供 XCP支持Simulink 产品系列重要功能：Simulink: Simulation Performance Advisor，链接库模块的封装，以及通过逻辑表达式控制有效变量Simulink: 除 LEGO MINDSTORMS NXT、Arduino、Pandaboard 和 Beagleboard 外，还为 Raspberry Pi 和 Gumstix Overo 硬件提供了内置支持SimRF: 针对快速仿真和模型加载时间的电路包络求解器SimMechanics: 发布了用于从 CAD 和其他系统导入模型的 XML 架构Simulink Design Verifier: 数组超出边界检查MATLAB 和 Simulink 的系统工具箱：Communications System Toolbo Sphere 解码器和 Constellation 框图系统对象Computer Vision System Toolbox: 相机标定，立体视觉，Viola-Jones 对象检测培训，FREAK 特征提取和其他新函数DSP System Toolbox: 频谱分析仪和逻辑分析示波器，以及时域示波器的触发Phased Array System Toolbox: 极化支持、数组锥化以及针对传感器数组分析、波形分析和雷达方程计算的应用程序代码生成和实现Simulink Coder: 减少了从 Stateflow 调用的 Simulink 函数的数据副本Fixed-Point Designer: 一款结合了 Fixed-Point Toolbox 和 Simulink Fixed Point 功能的新产品HDL Verifier: 从 MATLAB 生成 HDL 测试工作台5.1.3 Matlab 优势特点1) 具有高效的数值计算以及符号计算功能，可以让用户从繁杂的数学运算分析中解脱出来；2) 拥有完善的图形处理功能，能够实现计算结果和编程的可视化；3) 具有友好的用户界面以及接近数学表达式的自然化语言，能够让学者方便学习和掌握；4) 具备功能丰富的应用工具箱(如信号处理工具箱、通信工具箱等) ，可以为用户提供了大量方便实用的处理工具。编程环境MATLAB由一系列工具组成。这些工具方便用户使用MATLAB的函数和文件，其中许多工具采用的是图形用户界面。包括MATLAB桌面和命令窗口、历史命令窗口、编辑器和调试器、路径搜索和用于用户浏览帮助、工作空间、文件的浏览器。随着MATLAB的商业化以及软件本身的不断升级，MATLAB的用户界面也越来越精致，更加接近Windows的标准界面，人机交互性更强，操作更简单。而且新版本的MATLAB提供了完整的联机查询、帮助系统，极大的方便了用户的使用。简单的编程环境提供了比较完备的调试系统，程序不必经过编译就可以直接运行，而且能够及时地报告出现的错误及进行出错原因分析。简单易用Matlab是一个高级的矩阵/阵列语言，它包含控制语句、函数、数据结构、输入和输出和面向对象编程特点。用户可以在命令窗口中将输入语句与执行命令同步，也可以先编写好一个较大的复杂的应用程序（M文件）后再一起运行。新版本的MATLAB语言是基于最为流行的C+语言基础上的，因此语法特征与C+语言极为相似，而且更加简单，更加符合科技人员对数学表达式的书写格式。使之更利于非计算机专业的科技人员使用。而且这种语言可移植性好、可拓展性极强，这也是MATLAB能够深入到科学研究及工程计算各个领域的重要原因。强处理能力MATLAB是一个包含大量计算算法的集合。其拥有600多个工程中要用到的数学运算函数，可以方便的实现用户所需的各种计算功能。函数中所使用的算法都是科研和工程计算中的最新研究成果，而且经过了各种优化和容错处理。在通常情况下，可以用它来代替底层编程语言，如C和C+ 。在计算要求相同的情况下，使用MATLAB的编程工作量会大大减少。MATLAB的这些函数集包括从最简单最基本的函数到诸如矩阵，特征向量、快速傅立叶变换的复杂函数。函数所能解决的问题其大致包括矩阵运算和线性方程组的求解、微分方程及偏微分方程的组的求解、符号运算、傅立叶变换和数据的统计分析、工程中的优化问题、稀疏矩阵运算、复数的各种运算、三角函数和其他初等数学运算、多维数组操作以及建模动态仿真等。图形处理MATLAB自产生之日起就具有方便的数据可视化功能，以将向量和矩阵用图形表现出来，并且可以对图形进行标注和打印。高层次的作图包括二维和三维的可视化、图象处理、动画和表达式作图。可用于科学计算和工程绘图。新版本的MATLAB对整个图形处理功能作了很大的改进和完善，使它不仅在一般数据可视化软件都具有的功能（例如二维曲线和三维曲面的绘制和处理等）方面更加完善，而且对于一些其他软件所没有的功能（例如图形的光照处理、色度处理以及四维数据的表现等），MATLAB同样表现了出色的处理能力。同时对一些特殊的可视化要求，例如图形对话等，MATLAB也有相应的功能函数，保证了用户不同层次的要求。另外新版本的MATLAB还着重在图形用户界面（GUI）的制作上作了很大的改善，对这方面有特殊要求的用户也可以得到满足。MATLAB在很多专门的领域都开发了功能强大的模块集和工具箱。通常情况，它们都是特定领域的专家们研发的，能够让用户直接使用工具箱进行学习、应用和评估不同的方法而不用自己再去编写代码。领域，诸如数据采集、数据库接口、概率统计、样条拟合、优化算法、偏微分方程求解、神经网络、小波分析、信号处理、图像处理、系统辨识、控制系统设计、LMI控制、鲁棒控制、模型预测、模糊逻辑、金融分析、地图工具、非线性控制设计、实时快速原型及半物理仿真、嵌入式系统开发、定点仿真、DSP与通讯、电力系统仿真等等，他们在工具箱（Toolbox）家族中都拥有了自己的一席之地。程序接口在新版本的MATLAB中能够使用MATLAB编译器和C/C+数学库和图形库，将自己的MATLAB程序自动转换为独立于MATLAB运行的C和C+代码。让用户编写能够和MATLAB进行交互的C或C+语言程序。此外，MATLAB网页服务程序还能够容许在Web应用中运用自己的MATLAB数学和图形程序。MATLAB的一个重要特色就是拥有一套程序扩展系统和一组称之为工具箱的特殊应用子程序。工具箱是MATLAB函数的子程序库，每一个工具箱都是为某一类学科专业和应用而专门定制的，主要有信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波分析和系统仿真等方面的应用。应用软件开发在开发环境中，能够让用户更方便地控制多个文件和图形窗口；在编程方面支持了函数嵌套，有条件中断等；在图形化方面，拥有更强大的图形标注和处理功能，包括对性对起连接注释等；在输入输出方面，能够直接向Excel和HDF5进行连接。5.2实验思路本次实验分为两大内容：技术速度分析及中心热源的matlab仿真。其中技术速度分析分为隐式热传导的有限差分格式建立的模型和ADI方法建立的模型的计算速度，中心热源的matlab仿真也分为隐式热传导的有限差分格式建立的模型和ADI方法建立的模型的仿真，隐式热传导的有限差分格式分别令r=1和10，即两组步长分别，ADI方法分别令r1=r2=0.5和1，即步长分别为()和()。长隐式热传导的有限差分格式空间范围取值为-2100至200，共401个取值点（仿真图像则用0至401代替空间取值范围）,ADI方法空间范围取值为-200至200，共401个取值点（仿真图像则用0至401代替空间取值范围），每组步长分别算出计算100次，200次，500次及1000次的的技术速度,并分别画出步长为1的一维的中心热源和二维的中心热源的仿真图像（局限于计算机配置有限）。最后将得出的实验数据进行比较，从而得出本次实验的结论。令隐式热传导的有限差分格式初始条件为： ,；ADI方法的初始条件为： （x,y不同时为0）.5.3技术速度分析技术速度是指程序完成计算所需的时间，即由一个已知时刻的各个空间上的热传导的温度，计算出所求时刻的各个空间上的温度时，从程序运行到完成计算，CPU所需要的时间。在程序中用tic和toc语法，tic表示此刻的时间，toc则表示此时的时间减去tic所记录的时间所得的差值。5.3.1隐式热传导的有限差分格式的技术速度从隐式格式的模型可以看出，隐式差分格式的计算是由上一个时刻的空间温度，推出下一个时刻空间温度，按照计算步长与迭代要求，一次次迭代从而推算出最终结果。故而得出猜想：隐式热传导差分格式的技术速度可能与计算所迭代的次数及计算所设定的步长都有一定的关系。由此本设计将取两组不同的r取值，两组r取值中取四组不同的迭代次数进行实验，结果如下表所示：表5-1 r为1时迭代次数取不同值时的技术速度N1002005001000time0.12340.18590.46920.9432表5-2 r为10时迭代次数取不同值时的技术速度N1002005001000time0.09470.18870.47120.9465由以上两表所得的数据可以验证我们的猜想：隐式热传导差分格式的技术速度与计算所迭代的次数有关，而步长对技术速度的影响不大。5.3.2 ADI方法的技术速度从ADI方法的模型可以看出，ADI格式的计算是由上一个时刻，推出上一时刻与下一个时刻的中心时刻的空间温度，再由中心时刻的空间温度推算出下一时刻的空间温度，即由上一时刻的空间温度推算出下一时刻的空间温度需分成两步，按照计算步长与迭代要求，一次次迭代从而推算出最终结果。故而得出猜想：ADI方法的技术速度可能与计算所迭代的次数及计算所设定的步长都有一定的关系。由此本设计将取两组不同的r取值，两组r取值中取四组不同的迭代次数进行实验，结果如下表所示：表5-3 r为0.5时迭代次数取不同值时的技术速度N1002005001000time1.19742.40975.894511.7886表5-4 r为1时迭代次数取不同值时的技术速度N1002005001000time1.18152.39076.969712.4012由以上两表所得的数据可以验证我们的猜想：ADI方法的技术速度与计算所迭代的次数有关，而步长对技术速度的影响不大。5.4中心热源的Matlab仿真热传导现象是温度随空间由中间向两边扩散的，随着时间的增加，中心点的温度越来越低，且温度不断向周围扩散的。5.4.1 某时刻空间位置上的一维中心热源Matlab仿真一维中心热源的Matlab仿真，即隐式热传导的有限差分格式的Matlab仿真。由于热传导现象温度在空间上是随空间由中间向两边扩散的，随着时间的增加，中心点的温度越来越低，且温度不断向周围扩散的。故而猜想：在某一时刻的一维中心热源的Matlab仿真的图像可能是一条类似于抛物线曲线，且随着时间的增加，即迭代次数的增加，该曲线越来越平缓，中心点越来越低。由能量守恒进一步猜想：在扩散过程中，能量总和基本不变。由此本设计将在同样的r取值下，取四组不同的迭代次数进行实验，结果如下图所示：图5-1 r为1，迭代次数为100图5-2 r为1，迭代次数为200图5-3 r为1，迭代次数为500图5-4 r为1，迭代次数为1000由以上四图可以验证我们的猜想：在某一时刻的一维中心热源的Matlab仿真的图像是一条类似于抛物线曲线，且随着时间的增加，即迭代次数的增加，该曲线越来越平缓，中心点越来越低。在扩散过程中，能量守恒。5.4.2基于ADI方法的二维中心热源的Matlab仿真二维中心热源的Matlab仿真，即ADI方法的Matlab仿真。由于热传导现象温度在空间上是随空间由中间向两边扩散的，随着时间的增加，中心点的温度越来越低，且温度不断向周围扩散的。故而猜想：在某一时刻的二维中心热源的Matlab仿真的图像可能是一条条中心点重合，形状大小一样的类似于抛物线曲线组合成的图形，且随着时间的增加，即迭代次数的增加，该曲线越来越平缓，中心点越来越低。由能量守恒进一步猜想：在扩散过程中，能量总和基本不变。由此本设计将在同样的r取值下，取四组不同的迭代次数进行实验，结果如下图所示：图5-5 r为0.5