高考状元是怎样炼成的：高考状元学习经之十四.ppt

数学学习方法讲座 惠阳中山中学 陈远刚 （三）第三层为会学 一、 学生学习现状的三个层次 （一）第一层为苦学 （二）第二层为好学 二、 学生中的三种学习习惯 （一）总是站在系统的高度 把握知识 学习成绩的好坏，往往取决 于是否有良好的学习习惯，特 别是思考习惯。 （二）追根溯源，寻求事物之间 的内在联系 （三）发散思维，养成联想的思 维习惯 （一）学习知识方面，狠抓联系 形成知识结构，以少胜多，以不 变应万变。 三、 怎样学习数学 （二）重过程轻结果 （三）探究“字母代式”实质 （四）重视复习时培养规范简洁 的表达，这样既省时间又准确 四、 怎样解题 首先是精选题目，做到少而精 数学是应用性很强的学科，学习数学 就是学习解题。搞题海战术的方式、方法 固然是不对的，但离开解题来学习数学同 样也是错误的。其中的关键在于对待题目 的态度和处理解题的方式上。 其次是分析题目 最后，题目总结 对于一道完成的题目，有以下几个方面需要总结: 在方法方面：如何入手的，用到了哪些解题方法、技 巧，自己是否能够熟练掌握和应用。 在知识方面，题目中涉及哪些概念、定理、公式等 基础知识，在解题过程中是如何应用这些知识的。 能不能把解题过程概括、归纳成几个步骤（比如用 数学归纳法证明题目就有很明显的三个步骤）。 能不能归纳出题目的类型，进而掌握这类题目的解 题通法。 步 骤 怎 样 解 题? 模 式 识 别 1要求解（证）的问题是什么？它是哪种类型的问题？ 2已知条件（数据、图形、事项及其与结论部分的联系 方式）是什么？要求的结论（未知事项）是什么？ 3所给图形和式子有什么特点？能否用一个图形（几何 的、函数的、示意的）或数学式子（对文字题）将问题 表示出来？能否在图上加上适当的记号？ 4有什么隐含条件？ 联 想 化 归 1这个题以前见过吗？在哪里见过？以 前做过吗？见过类似的问题吗？当时是怎 样想的？ 2题中的一部分（条件，或结论，或式 子，或图形）以前见过吗？在什么问题中 见过？ 3题中所给出的式子，图形与记忆中的 什么式子，图形相似？它们之间可能有什 么联系？ 4解这类问题通常有哪几种方法？可能 哪种方法较简便？试一试如何？ 联 想 化 归 5由已知条件能推得哪些可知的事项和条件 ？推出求知结论需要知道哪些条件（需知） ？ 6与这个问题有关的知识（基本概念、定 理、公式等）有哪些？ 7能否将题中复杂的式子简化？能否对条件 进行划分，将大问题化为几个小问题？ 8能否将问题化归为基本命题？能否进行变 量替换？恒等变换或几何变换？能否将形式 变得较为明显一些？ 联 想 化 归 9能否数形互化，利用几何方法来解代 数问题，利用代数（解析）方法来解几何 问题？ 10利用命题等价性（如逆否命题律）或 其它方法，可否将问题转化为熟悉的等价 问题？ 11对你的解题计划进行通盘考虑：比较 各种解法的优点；预见解题中的困难（如 计算量的大小），选择你最熟悉的解法！ 规 范 解 题 1每一步骤是否充分(或等价)? 2你能否清楚看出这一步是正确的? 你能否证明这一步是正确的? 3尚未成功不等于彻底失败,你能找 出没有成功的原因吗? 检 验 反 思 1检验运算是否正确？ 2检验解题步骤是否必要？ 3你的解题方法能否进行有长远意义的 推广？ 4适当改变条件或结论,你能证明它吗? 五、 平时学习中需要注意的13项 第二项：正方体是高考立体几何命题的重点。 高考所涉及的数学思想方法主要有函数与方程的思想方法；数形结合与分 离的思想方法；分类讨论的思想方法；化归与转化的思想方法；归纳、猜 想、论证的思想方法；运动与变化的思想方法；有限与无限逼近的思想方 法；特殊与一般的思想方法；对称的思想方法；主元的思想方法等。 第一项：要重视掌握数学思想方法。 第三项：估值法能大大提高运算速度。 第四项：二面角的平面角的各种做法和论证一定要过关 第六项：要培养不同学科之间的联结能力 第五项：要注意初中与高中、高中与大学衔接 知识的复习 第七项：平时复习几何时要做到： （1）动手制作一些具体的数学模型（如折纸、火柴梗 拼图、三视图等）； （2）广泛使用数学作图（利用几何画板可以把数学课 上成实验课）； （3）编制计算机学习程序； （4）认真开展研究性学习。 这些都是新课程理念下高考内容改革所追求的。 第八项：关注新教材更新的数学内容 第九项：用导数作为研究问题的方法上升为重要地位。 第十项：近年来高考命题改革的一个方向是试题切入容 易，深入困难。 第十一项：加强原理复习 第十三项：高考将仍然“坚持多角度，多层次考查”的 命题思路。要求完全掌握定义法、分析法、反证法、 数学归纳法、构造法。 第十二项：加强不等式复习 在高考备考的过程中，熟化这些解题小结论，防止解 题易误点的产生，对提升数学成绩将会起到较大的作用 六、 注意易错问题的分析和纠正 4 判断一个函数的奇偶性时，你注意到函数的定义域是否关于原点对称这个必 要非充分条件了吗？ 1求一个函数的解析式和一个函数的反函数时，你标注了该函数的定义域了吗？ 2函数与其反函数之间的一个有用的结论： 函数图象关于直线y=x对称 3原函数在区间 上单调递增，则一定存在反函数，且反函数 也单调递增；但一 个函数存在反函数，此函数不一定单调 5根据定义证明函数的单调性时，规范格式是什么？(取值, 作差, 判正负.) 6. 你知道双勾函数的单调区间吗？（该函数在 或 上单调递增；在 或 上单 调递减）这可是一个应用广泛的函数！ 7.解对数函数问题时，你注意到真数与底数的限制条件了吗？（真数大于 零，底数大于零且不等于1）字母底数还需讨论呀! 9.“实系数一元二次方程 有实数解”转化为“ ”，你是否注意到必须 ；当a=0 时，“方程有解”不能转化为 若原题中没有指出是“二次”方程、函数或不 等式，你是否考虑到二次项系数可能为零的情形？ 8.你知道判断对数 符号的快捷方法吗？ 10.在解三角问题时，你注意到正切函数、余切函数的定义域了吗？你注意 到正弦函数、余弦函数的有界性了吗？ 11.在三角中，你知道1等于什么吗？（ 这些统称为1的代换) 常数 “1”的种种 代换有着广泛的应用 12.你还记得三角化简的通性通法吗？ 13. 你还记得在弧度制下弧长公式和扇形面积公式吗？ 14. 在用三角函数值表示直线的倾斜角、两条异面直线所 成的角等时，你是否注意到它们各自的取值范围及意义？ 异面直线所成的角、直线与平面所成的角、二面角的取 值范围依次是什么? 直线的倾斜角、直线到直线的角、 与 的夹角的取值范 围分别是? 15. 分式不等式 的一般解题思路是什么？（移项通分） 16. 解指对不等式应该注意什么问题？（指数函数与 对数函数的单调性, 对数的真数大于零.） 17. 利用重要不等式 以及变式 等求函数的最值时，你是 否注意到a，b 大于0（或a ，b非负），且“等号成立”时的 条件，积ab或和ab其中之一应是定值？ 18. 在解含有参数的不等式时，怎样进行讨论？（特别 是指数和对数的底数）讨论完之后，要写出： 综上所述，原不等式的解是 20. 等差数列中的重要性质：若 ，则 ； 等比数列中的重要性质：若 ，则 21. 你是否注意到在应用等比数列求前n项和时，需要分 类讨论? 22. 等差数列的一个性质：设 是数列 的前n项和，为等 差数列的充要条件是 （a, b为常数）其公差是2a. 23. 你知道怎样的数列求和时要用“错位相减”法吗？ （若 ，其中 是等差数列， 是等比数列，求 的前n 项的和） 24. 用 求数列的通项公式时，你注意到 了吗？ 25. 你还记得裂项求和吗？ 26. 解排列组合问题的依据是：分类相加，分步相 乘，有序排列，无序组合 27. 解排列组合问题的规律是： 相邻问题捆绑法；相间问题插空法；多排问题单排法； 定位问题优先法；定序问题倍缩法；多元问题分类法； 有序分配问题法；选取问题先排后排法；至多至少问题 间接法 28. 作出二面角的平面角主要方法是什么？（定义法、三 垂线法、垂面法）三垂线法：一定平面，二作垂线，三作 斜线，射影可见. 29. 求点到面的距离的常规方法是什么？ （直接法、体积法） 30. 求多面体体积的常规方法是什么？ （割补法、等积变换法） 31. 你知道三垂线定理的关键是什么吗？（一面、四 线、三垂直、立柱即面的垂线是关键）一面四直线， 立柱是关键，垂直三处见 33. 定比分点的坐标公式是什么？（起点，中点，分点 以及 值可要搞清） 32. 设直线方程时，一般可设直线的斜率为k，你是否注 意到直线垂直于x轴时，斜率k不存在的情况？（例如： 一条直线经过点 ，且被圆 截得的弦长为8，求此弦所在 直线的方程。该题就要注意，不要漏掉x+3=0这一解.） 35. 直线在坐标轴上的截矩可正，可负，也可为0. 36. 处理直线与圆的位置关系有两种方法： （1）点到直线的距离； （2）直线方程与圆的方程联立，判别式. 一般来说，前者更简捷 37. 处理圆与圆的位置关系，可用两圆的圆心距与半径 之间的关系. 40.还记得圆锥曲线方程中的a,b,c,p, 的意义吗？ 41. 在利用圆锥曲线统一定义解题时，你是否注意到定 义中的定比的分子分母的顺序？ 42离心率的大小与曲线的形状有何关系？（圆扁程 度，张口大小）等轴双曲线的离心率是多少？ 43. 在用圆锥曲线与直线联立求解时，消元后得到的方 程中要注意：二次项的系数是否为零？判别式 的限制 （求交点，弦长，中点，斜率，对称，存在性问题都 在 下进行）. 38. 在圆中，注意利用半径、半弦长、及弦心距组成 的直角三角形. 39.还记得圆锥曲线的两种定义吗？解有关题是否 会联想到这两个定义？ 44. 椭圆中，注意焦点、中心、短轴端点所组成的直角 三角形（a，b，c） 45. 通径是抛物线的所有焦点弦中最短的弦. 46. 解答