2017西城区高三一模文科数学试卷及答案.pdf

子川教育致力于西城区在职教师课外辅导，更多科目请关注子川教育微信公众号（zichuanjiaoyu） 第 1 页 共 10 页 西城区高三统一测试 数学（文科）2017.4 第第卷卷（选择题共 40 分） 一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分在每小题列出的四个选项中，选 出符合题目要求的一项 1已知全集1,2,3,4,5,6U ，集合1,3,5A ，1,4B ，那么 U AB （A）3,5（B）2,4,6 （C）1,2,4,6（D）1,2,3,5,6 2在复平面内，复数 1i i 的对应点位于 （A）第一象限（B）第二象限 （C）第三象限（D）第四象限 3双曲线 2 2 1 3 x y 的焦点坐标是 （A）(0, 2)，(0,2)（B）( 2,0)，(2,0) （C）(0,2)，(0, 2)（D）(2,0)，( 2,0) 4函数 2 1 ( )( )log 2 x f xx的零点个数为 （A）0（B）1（C）2（D）3 5函数( )f x定义在(,) 上则“曲线( )yf x过原点”是“( )f x为奇函数”的 （A）充分而不必要条件（B）必要而不充分条件 （C）充要条件（D）既不充分也不必要条件 6在ABC中，点D满足3BCBD ，则 （A） 12 33 ADABAC （B） 12 33 ADABAC （C） 21 33 ADABAC （D） 21 33 ADABAC 子川教育致力于西城区在职教师课外辅导，更多科目请关注子川教育微信公众号（zichuanjiaoyu） 第 2 页 共 10 页 7在正方形网格中，某四面体的三视图如图所示如果小 正方形网格的边长为 1，那么该四面体最长棱的棱长为 （A）4 3（B）6 （C）42（D）2 5 8函数( )f x的图象上任意一点( , )A x y的坐标满足条件|xy，称函数( )f x具有性 质P下列函数中，具有性质P的是 （A） 2 ( )f xx（B） 2 1 ( ) 1 f x x （C）( )sinf xx（D）( )ln(1)f xx 第第卷卷（非选择题共 110 分） 二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分 9函数( ) 1 x f x x 的定义域为_ 10执行如图所示的程序框图. 当输入 1 ln 2 x 时，输出的y值为_ 11圆 22 :2210C xyxy 的圆心坐标是_； 直线:0l xy与圆C相交于,A B两点，则|AB _ 12函数 sin4 ( ) 1 cos4 x f x x 的最小正周期是_ 13实数, x y满足 1, 2, 220, x y xy 则 22 xy的最大值是_；最小值是_ 14如图， 正方体 1111 ABCDA BC D的棱长为 2， 点P在正方形ABCD的边界及其内部运动 平面区域W由所有满足 1 5AP的点P组成，则W的面积是_ 三、解答题：本大题共 6 小题，共 80 分解答应写出必要的文字说 明、证明过程或演算步骤 子川教育致力于西城区在职教师课外辅导，更多科目请关注子川教育微信公众号（zichuanjiaoyu） 第 3 页 共 10 页 15 （本小题满分 13 分） 已知 n a是等比数列， 1 3a ， 4 24a 数列 n b满足 1 1b ， 4 8b ，且 nn ab是 等差数列 （）求数列 n a和 n b的通项公式； （）求数列 n b的前n项和 16 （本小题满分 13 分） 在ABC中，角, ,A B C的对边分别为, ,a b c，且tan2 sinaCcA （）求角C的大小； （）求sinsinAB的最大值 17 （本小题满分 13 分） 在测试中，客观题难度的计算公式为 i i R P N ，其中 i P为第i题的难度， i R为答对该题的人 数，N为参加测试的总人数 现对某校高三年级120名学生进行一次测试，共5道客观题测试前根据对学生的了解，预估了 每道题的难度，如下表所示： 题号12345 考前预估难度 i P 0.90.80.70.60.4 测试后，从中随机抽取了10名学生，将他们编号后统计各题的作答情况，如下表所示（ “” 表示答对， “”表示答错） ： 学生编号题号 12345 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 （）根据题中数据，将抽样的10名学生每道题实测的答对人数及相应的实测难度填入下表， 并估计这 120名学生中第5题的实测答对人数； 题号12345 实测答对人数 实测难度 （）从编号为1到5的5人中随机抽取2人，求恰好有1人答对第5题的概率； 子川教育致力于西城区在职教师课外辅导，更多科目请关注子川教育微信公众号（zichuanjiaoyu） 第 4 页 共 10 页 （）定义统计量 222 1122 1 ()()() nn SPPPPPP n ，其中 i P为第i题的实测难 度， i P为第i题的预估难度(1,2, )in规定：若0.05S ，则称该次测试的难度预估合理，否 则为不合理判断本次测试的难度预估是否合理. 18 （本小题满分 14 分） 如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为正方形，PA底面ABCD，PAAC过 点A的平面与棱,PB PC PD分别交于点,E F G（,E F G三点均不在棱的端点处） （）求证：平面PAB 平面PBC； （）若PC 平面AEFG，求 PF PC 的值； （）直线AE是否可能与平面PCD平行？证明你的结论 19 （本小题满分 14 分） 如图， 已知椭圆 22 22 :1(0) xy Cab ab 的离心率为 1 2 ，F为椭圆C的右焦点(,0)Aa， |3AF （）求椭圆C的方程； （） 设O为原点，P为椭圆上一点，AP的中点为M 直线OM与直线4x交于点D， 过O作OEDF，交直线4x于点E求证：/OE AP 20 （本小题满分 13 分） 已知函数 2 1 ( )e 2 x f xx 设l为曲线( )yf x在点 00 (,()P xf x处的切线， 其中 0 1,1x （）求直线l的方程（用 0 x表示） ； （）求直线l在y轴上的截距的取值范围； （）设直线ya分别与曲线( )yf x和射线1(0,)yxx 交于,M N两点，求 |MN的最小值及此时a的值 西城区高三统一测试 子川教育致力于西城区在职教师课外辅导，更多科目请关注子川教育微信公众号（zichuanjiaoyu） 第 5 页 共 10 页 高三数学（文科）（文科）参考答案及评分标准 2017.4 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分分. 1A2D3C4B 5B6C7B8C 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 6 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 30 分分. 9 |0x x，且 1x 10 1 2 11(1,1)；2 12 2 135； 4 5 14 4 4 注：第注：第 11，13 题第一空题第一空 2 分，第二空分，第二空 3 分分. 三、解答题：本大题共三、解答题：本大题共 6 小题，共小题，共 80 分分. . 其他正确解答过程，请参照评分标准给分其他正确解答过程，请参照评分标准给分. . 15 （本小题满分 13 分） 解： （）设等比数列 n a的公比为q，由题意得 3 4 1 8 a q a ， 解得2q 2 分 所以 11 1 3 2(1,2,) nn n aa qn 4 分 设等差数列 nn ab的公差为d，由题意得 4411 ()()164 4 413 abab d 6 分 所以 11 ()(1)4 nn ababndn 8 分 从而 1 43 2(1,2,) n n bnn 9 分 （）由（）知 1 43 2(1,2,) n n bnn 数列4 n的前n项和为2 (1)n n ；数列 1 3 2 n 的前n项和为3 (21) n 12 分 所以，数列 n b的前n项和为 2 223 23 n nn 13分 16 （本小题满分 13 分） 子川教育致力于西城区在职教师课外辅导，更多科目请关注子川教育微信公众号（zichuanjiaoyu） 第 6 页 共 10 页 解： （） 由tan2 sinaCcA， 得 sin 2sin cos aC A cC 1 分 由正弦定理得 sinsin 2sin sincos AC A CC 3 分 所以 1 cos 2 C 4 分 因为(0,)C， 5 分 所以 3 C 6 分 （）sinsinAB 2 sinsin() 3 AA 7分 33 sincos 22 AA 9 分 3sin() 6 A11 分 因为 3 C ， 所以 2 0 3 A，12 分 所以 当 3 A 时，sinsinAB取得最大值313 分 17 （本小题满分 13 分） 解：（）每道题实测的答对人数及相应的实测难度如下表： 题号12345 实测答对人数88772 实测难度0.80.80.70.70.2 4 分 所以，估计120人中有1200.224人答对第5题 5 分 （）记编号为i的学生为(1,2,3,4,5) i A i ， 从这 5人中随机抽取2人，不同的抽取方法有 10 种 其中恰好有1人答对第5题的抽取方法为 12 (,)A A， 13 (,)A A， 14 (,)A A， 25 (,)A A， 35 (,)A A， 45 (,)A A，共6 种 9 分 所以， 从抽样的10名学生中随机抽取2名答对至少4道题的学生， 恰好有1人答对第5题 的概率为 63 105 P 10分 （） i P为抽样的10名学生中第i题的实测难度，用 i P作为这120名学生第i题的实测难度 子川教育致力于西城区在职教师课外辅导，更多科目请关注子川教育微信公众号（zichuanjiaoyu） 第 7 页 共 10 页 22222 1(0.8 0.9)(0.80.8)(0.70.7)(0.70.6)(0.20.4) 5 S 0.01212 分 因为0.0120.05S ， 所以，该次测试的难度预估是合理的13 分 18 （本小题满分 14 分） 解： （）因为PA平面ABCD， 所以PABC 1 分 因为ABCD为正方形， 所以ABBC， 2 分 所以BC 平面PAB 3 分 所以平面PAB 平面PBC 4 分 （）连接AF 5 分 因为PC 平面AEFG， 所以PCAF 7 分 又因为PAAC， 所以F是PC的中点 8 分 所以 1 2 PF PC 9 分 （）AE与平面PCD不可能平行10 分 证明如下： 假设/AE平面PCD， 因为/AB CD，AB 平面PCD 所以/AB平面PCD12 分 而AEAB ，平面PAB， 所以 平面/PAB平面PCD，这显然矛盾！13 分 所以假设不成立， 即AE与平面PCD不可能平行14 分 19 （本小题满分 14 分） 子川教育致力于西城区在职教师课外辅导，更多科目请关注子川教育微信公众号（zichuanjiaoyu） 第 8 页 共 10 页 解：（）设椭圆C的半焦距为c依题意，得 1 2 c a ，3ac 2 分 解得2a ，1c 所以 222 3bac， 所以椭圆C的方程是 22 1 43 xy 5 分 （）解法一：由（）得( 2,0)A 设AP的中点 00 (,)M xy， 11 (,)P x y 设直线AP的方程为：(2) (0)yk xk，将其代入椭圆方程，整理得 2222 (43)1616120kxk xk， 7 分 所以 2 1 2 16 2 43 k x k 8 分 所以 2 0 2 8 43 k x k ， 00 2 6 (2) 43 k yk x k ， 即 2 22 86 (,) 43 43 kk M kk 9 分 所以直线OM的斜率是 2 2 2 6 3 43 84 43 k k kk k ，10 分 所以直线OM的方程是 3 4 yx k 令4x，得 3 (4,)D k 11 分 由(1,0)F，得直线DF的斜率是 3 1 4 1 k k ，12 分 因为OEDF，所以直线OE的斜率为k，13 分 所以直线/OE AP14 分 解法二：由（）得( 2,0)A 设 111 (,) (2)P x yx ，其中 22 11 34120xy 因为AP的中点为M，所以 11 2 (,) 22 xy M 6 分 所以直线OM的斜率是 1 1 2 OM y k x ， 7 分 所以直线OM的方程是 1 1 2 y yx x 令4x，得 1 1 4 (4,) 2 y D x 8 分 由(1,0)F，得直线DF的斜率是 1 1 4 3(2) DF y k x 9 分 子川教育致力于西城区在职教师课外辅导，更多科目请关注子川教育微信公众号（zichuanjiaoyu） 第 9 页 共 10 页 因为直线AP的斜率是 1 1 2 AP y k x ，10 分 所以 2 1 2 1 4 1 3(4) DFAP y kk x ，12 分 所以APDF13 分 因为OEDF， 所以/OE AP14 分 20 （本小题满分 13 分） 解： （） 对( )f x求导数，得( )exfxx， 1 分 所以切线l的斜率为 0 00 ()exxfx， 2 分 由此得切线l的方程为： 00 000 2 ( 1 (e 2 )e() xx xxxyx， 即 00 00 2 0 (e)(1) 1 e 2 xx xxyxx. 3分 （） 由（）得，直