高中数学第一章导数及其应用1.4生活中的优化问题举例练习新人教A版.docx

1.4 生活中的优化问题举例一、选择题1内接于半径为R的球且体积最大的圆锥的高为()ARB2RC.RD.R【答案】C【解析】设圆锥高为h，底面半径为r，则R2(Rh)2r2，r22Rhh2Vr2hh(2Rhh2)Rh2h3VRhh2.令V0得hR.当0h0；当h2R时，V0.因此当hR时，圆锥体积最大故应选C.2用长为18m的钢条围成一个长方体形状的框架，要求长方体的长与宽之比为21，则该长方体的最大体积为()A2m3 B3m3 C4m3 D5m3【答案】B【解析】设长方体的宽为x(m)，则长为2x(m)，高为h4.53x(m)故长方体的体积为V(x)2x2(4.53x)9x26x3从而V(x)18x18x218x(1x)令V(x)0，解得x1或x0(舍去)当0x0；当1x时，V(x)0，yx281(9x)(9x)，令y0，解得x9，所以x(0,9)时，y0，x(9，)时，y0，y先增后减x9时函数取最大值，选C，属导数法求最值问题4要做一个圆锥形的漏斗，其母线长为20cm，要使其体积最大，则高为()A.cm B.cmC.cm D.cm【答案】D【解析】设圆锥的高为x，则底面半径为，其体积为Vx(202x2)(0x20)，V(4003x2)，令V0，解得x1，x2舍去当0x0；当x20时，V0)，yx2，由y0，得x25，当x(0,25)时，y0，x(25，)时，y0，所以x25时，y取最大值二、填空题7设直线xt与函数f(x)x2，g(x)ln x的图象分别交于点M，N，则当|MN|达到最小时t的值为_【答案】【解析】|MN|的最小值，即函数h(x)x2ln x的最小值，h(x)2x，显然x是函数h(x)在其定义域内唯一的极小值点，也是最小值点，故t.8若a0，b0，且函数f(x)4x3ax22bx2在x1处有极值，则ab的最大值等于_【答案】9【解析】函数的导数为f(x)12x22ax2b，由函数f(x)在x1处有极值，可知函数f(x)在x1处的导数值为零，122a2b0，所以ab6，由题意知a，b都是正实数，所以ab229，当且仅当ab3时取到等号三、解答题9、如图，内接于抛物线y1x2的矩形ABCD，其中A，B在抛物线上运动，C，D在x轴上运动，求此矩形的面积的最大值 【解析】设CDx，则点C坐标为(，0)，点B坐标为(，1()2)，矩形ABCD的面积Sf(x)x1()2x，x(0,2)由f(x)x210，得x1(舍去)，x2，x(0，)时，f(x)0，f(x)是递增的；x(，2)时，f(x)0，f(x)是递减的，当x时，f(x)取最大值.此矩形的面积的最大值为.10、现有一批货物从海上由A地运往B地，已知货船的最大航行速度为35海里/时，A地至B地之间的航行距离约为500海里，每小时的运输成本由燃料费和其余费用组成，轮船每小时的燃料费与轮船速度的平方成正比(比例系数为0.6)，其余费用为每小时960元(1)把全程运输成本y(元)表示为速度x(海里/时)的函数；(2)为了使全程运输成本最小，轮船应以多大速度行驶？ 【解析】(1)依题意得y(9600.6x2)300x，且由题意知，函数的定义域为(0,35，即y300x(0x35)(2)由(1)知，y300，令y0，解得x40或x40(舍去)因为函数的定义域为(0,35，所以函数在定义域内没有极值点又当0x