2019届高考数学二轮复习专题--三角函数（有答案）与2019届高考数学二轮复习专题--导数与函数综合问题（带答案）

2019届高考数学二轮复习专题-三角函数（有答案）与2019届高考数学二轮复习专题-导数与函数综合问题（带答案）2019届高考数学二轮复习专题-三角函数（有答案）1三角函数的图象，主要涉及图象变换问题以及由图象确定解析式问题，主要以选择题、填空题的形式考查；2利用三角函数的性质求解三角函数的值、参数、最值、值域、单调区间等，主要以解答题的形式考查；3三角函数的化简与求值是高考的命题热点，其中同角三角函数的基本关系、诱导公式是解决计算问题的工具，三角恒等变换是利用三角恒等式(两角和与差、二倍角的正弦、余弦、正切公式)进行变换，“角”的变换是三角恒等变换的核心1常用三种函数的图象性质(下表中 )函数 ysin x ycos x ytan x图象 递增区间 递减区间 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数对称中心 对称轴 xkxk 周期性 2 2 2三角函数的常用结论(1)yAsin(x)，当k(kZ)时为奇函数；当k ( )时为偶函数；对称轴方程可由xk ( )求得(2)yAcos(x)，当k (kZ)时为奇函数；当k(kZ)时为偶函数；对称轴方程可由xk( )求得(3)yAtan(x)，当k( )时为奇函数3三角函数的两种常见变换(1)ysin xysin(x) yAsin(x)(A0，0)yAsin(x)(A0，0)4三角函数公式(1)同角关系：sin2cos21， (2)诱导公式：对于“ ， 的三角函数值”与“角的三角函数值”的关系可按下面口诀记忆：奇变偶不变，符号看象限(3)两角和与差的正弦、余弦、正切公式：；(4)二倍角公式： ， (5)辅助角公式：asin xbcos xa2b2sin(x)，其中 热点一 三角函数的图象【例1】(1) (2018清流一中)已知函数 ，（1）用“五点法”作出这个函数在一个周期内的图象；（2）函数 图象经过怎样的变换可以得到 的图象？(2)函数f(x)Asin(x) 的部分图象如图所示，则函数f(x)的解析式为( )A BC D(1)解 (1)列表0 2 0 0 2【注：列表每行1分，该行必须全对才得分；图象五点对得1分，图象趋势错扣1分】（2）把 的图象向左平移 个单位得到 的图象，再把 的图象纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍得到 的图象，最后把 的图象横坐标不变，纵坐标变为原来的2倍，得到 的图象(2)由(1)知 ，根据图象平移变换，得 因为ysin x的对称中心为 ， 令2x2 k， ，解得 ， 由于函数yg(x)的图象关于点 成中心对称，令 ， ，解得 ， 由0可知，当k1时，取得最小值 (2)解析 (1)由题意知A2， ，2，因为当 时取得最大值2，所以 ，所以 ， ，解得 ， ，因为|0，0)的图象求解析式时，常采用待定系数法，由图中的最高点、最低点或特殊点求A；由函数的周期确定；确定常根据“五点法”中的五个点求解，其中一般把第一个零点作为突破口，可以从图象的升降找准第一个零点的位置【训练1】(1) (2018孝感期末)已知函数 ， ，的图像在 轴上的截距为1，且关于直线 对称若对于任意的 ，存在 ，使得 ，则实数 的取值范围为_(2)(2017贵阳调研)已知函数f(x)Asin(x)( ， ， )的部分图象如图所示求函数f(x)的解析式；将函数yf(x)的图象上各点的纵坐标保持不变，横坐标缩短到原来的12倍，再把所得的函数图象向左平移6个单位长度，得到函数yg(x)的图象，求函数g(x)在区间0，8上的最小值解析(1)因为 的图像在 轴上的截距为1，且关于直线 对称，所以 ， ，又 ， ，所以 ， ，所以 ， ，所以 ， ， ， ，因为 ， ，所以 ，若对于任意的 ，存在 ，使得 ，则 ，所以 ，解得 ，所以实数m的取值范围为 ，答案为 答案(2)解 设函数f(x)的最小正周期为T，由题图可知A1，T22362，即T，所以2，解得2，故f(x)sin(2x)由0sin26可得32k， ，则2k3，kZ，因为|2，所以3，故函数f(x)的解析式为f(x)sin2x3根据条件得g(x)sin4x3，当x0，8时，4x33，56，所以当x8时，g(x)取得最小值，且g(x)min12热点二 三角函数的性质【例2】(2018哈尔滨三中)已知函数 的图象与 轴的交点为 ，它在 轴右侧的第一个最高点和第一个最低点的坐标分别为 和 （1）求 解析式及 的值；（2）求 的单调增区间；（3）若 时，函数 有两个零点，求实数 的取值范围解（1）由题意知， ， ， ， ；又图象过点 ， ， ；又 ， ； ；又 是 在 轴右侧的第1个最高点， ，解得 （2）由 ，得 ， 的单调增区间为 ；（3）在 时，函数 有两个零点， 有两个实数根，即函数图象有两个交点 在 上有两个根， ， ，结合函数图象，函数 有两个零点的范围是 探究提高 1讨论三角函数的单调性，研究函数的周期性、奇偶性与对称性，都必须首先利用辅助角公式，将函数化成一个角的一种三角函数2求函数yAsin(x)(A0，0)的单调区间，是将x作为一个整体代入正弦函数增区间(或减区间)，求出的区间即为yAsin(x)的增区间(或减区间)，但是当A0，0时，需先利用诱导公式变形为yAsin(x)，则yAsin(x)的增区间即为原函数的减区间，减区间即为原函数的增区间【训练2】(2017浙江卷)已知函数f(x)sin2xcos2x23sin xcos x(xR)(1)求f 23的值；(2)求f(x)的最小正周期及单调递增区间解 (1)f(x)sin2xcos2x23sin xcos xcos 2x3sin 2x2sin2x6，则f 232sin4362(2)f(x)的最小正周期为由正弦函数的性质，令2k22x62k32，kZ，得k6xk23，kZ所以函数f(x)的单调递增区间为k6，k23，kZ热点三 三角函数图象与性质的综合应用【例3】(2017西安调研)已知函数f(x)2sin xcos x23sin2x3(0)的最小正周期为(1)求函数f(x)的单调递增区间(2)将函数f(x)的图象向左平移6个单位，再向上平移1个单位，得到函数yg(x)的图象，若yg(x)在0，b(b0)上至少含有10个零点，求b的最小值解 (1)f(x)2sin xcosx3(2sin2x1)sin 2x3cos 2x2sin2x3由最小正周期为，得1，所以f(x)2sin2x3，由2k22x32k2， ，整理得k12xkx512， ，所以函数f(x)的单调递增区间是k12，k512， (2)将函数f(x)的图象向左平移6个单位，再向上平移1个单位，得到y2sin 2x1的图象；所以g(x)2sin 2x1令g(x)0，得xk712或xk1112( )，所以在0，上恰好有两个零点，若yg(x)在0，b上有10个零点，则b不小于第10个零点的横坐标即可所以b的最小值为411125912探究提高 1研究三角函数的图象与性质，关键是将函数化为yAsin(x)B(或yAcos(x)B)的形式，利用正余弦函数与复合函数的性质求解2函数yAsin(x)(或yAcos(x)的最小正周期T2|应特别注意y|Asin(x)|的最小正周期为T|【训练3】函数的性质通常指函数的定义域、值域、周期性、单调性、奇偶性、对称性等，请选择适当的探究顺序，研究函数 的性质，并在此基础上填写下表，作出 在区间 上的图象性质 理由 结论 得分定义域 值域 奇偶性 周期性 单调性 对称性 作图 解1-sinx0且1+sinx0，在R上恒成立，函数的定义域为R； ，由|cosx|0，1，f2（x）2，4，可得函数的值域为2，2； ，函数的最小正周期为，当 时， ，在 上为减函数，当 时， ，在 上为增函数， 在 上递增，在 上递减 ， ，且 ， 在其定义域上为偶函数，结合周期为得到图象关于直线 对称，因此，可得如下表格：性质 理由 结论 得分定义域 定义域值域 值域奇偶性 偶函数 周期性 周期单调性 在 上递增，在 上递减对称性 f（-x）=f（x）， ，关于直线x=k/2对称作图 热点四 三角恒等变换及应用【例4】(1)(2015重庆卷)若tan 2tan 5，则cos310sin5( )A1 B2 C3 D4解析cos310sin5sin2310sin5sin5sin5sin cos5cos sin5sin cos5cos sin5tan tan51tan tan5121213答案C探究提高1三角恒等变换的基本思路：找差异，化同角(名)，化简求值2解决条件求值问题的三个关注点(1)分析已知角和未知角之间的关系，正确地用已知角来表示未知角(2)正确地运用有关公式将所求角的三角函数值用已知角的三角函数值来表示(3)解三角函数中给值求角的问题时，要根据已知求这个角的某种三角函数值，然后结合角的取值范围，求出角的大小【训练4】 (1) (2018泰安一中)平面直角坐标系 中，点 在单位圆 上，设 ，若 ，且 ，则 的值为_(2)(2017石家庄质检)若cos(2)1114，sin(2)437，042，则的值为_解析(1)点 在单位圆O上，且 ，cosx_0 ，siny_0 ，又 ，且 ，则 ，x_0 coscos（+/6）-/6cos（+/6）cos/6+sin（+/6）sin 故答案为 (2)因为cos(2)1114且42，所以sin(2)5314因为sin(2)437且422，所以cos(2)17所以cos()cos(2)(2)cos(2)cos(2)sin(2)sin(2)111417531443712因为434，所以3答案(1)79；(2)31(2018全国I卷)已知函数 ，则（）A 的最小正周期为，最大值为3B 的最小正周期为，最大值为4C 的最小正周期为 ，最大值为3D 的最小正周期为 ，最大值为42(2018全国II卷)若 在 是减函数，则 的最大值是（）A B C D3(2018全国III卷)函数 的最小正周期为（）A B C D4(2018全国III卷)函数 在 的零点个数为_5(2018全国II卷)已知tan(-5/4)=1/5，则tan=_1(2018余江一中)已知函数 时有极大值，且 为奇函数，则 ， 的一组可能值依次为（）（A） ， （B） ， （C） ， （D） ，2(2018湖师附中)若函数f(x)asinxbcosx (00)，满足：f(x_1)=0，f(x_2)=-2，且|x_1-x_2 |的最小值为/2，则的值为（）A1 B2 C3 D42(2018滨州期末)已知函数f(x)=sin(x+)(0，|/2)的图象如图所示，为了得到函数g(x)=sin2x的图象，只需把f(x)上所有的点（）A向右平移/6个单位长度 B向右平移/12个单位长度C向左平移/6个单位长度 D向左平移/12个单位长度3(2017池州模拟)已知sin31302，则sin6_4(2018烟台期中)已知函数f(x)=3 sinxcosx+cos2 x的图象的一个对称中心与它相邻的一条对称轴之间的距离为/4（1）求函数f（x）的对称轴方程及单调递增区间；（2）将函数y=f（x）的图象向右平移/6个单位后，再将得到的图象上所有点的横坐标缩短到原来的1/2（纵坐标不变），得到函数y=g（x）的图象，当x（-/12，/3）时，求函数g（x）的值域5(2017西安模拟)已知函数f(x)sin2xsin x3cos2x32(1)求f(x)的最大值及取得最大值时x的值；(2)若方程f(x)23在(0，)上的解为x1，x2，求cos(x1x2)的值参考答案1【解题思路】首先利用余弦的倍角公式，对函数解析式进行化简，将解析式化简为 ，之后应用余弦型函数的性质得到相关的量，从而得到正确选项【答案】根据题意有 ，所以函数 的最小正周期为 ，且最大值为 ，故选B2【解题思路】先确定三角函数单调减区间，再根据集合包含关系确定 的最大值，【答案】因为 ，所以由 ，得 ，因此-a，a- /4，3 /4-aa，-a- /4，a3 /400，0)的性质：(1)y_max = A+ B，y_min=A-B(2)周期T=2/(3)由x+= /2+k(kZ)求对称轴，(4)由- /2+2kx+ /2+2k(kZ)求增区间；由 /2+2kx+3 /2+2k(kZ)求减区间3【解题思路】将函数 进行化简即可【答案】由已知得 ，的最小正周期 ，故选C4【解题思路】求出3x+/6的范围，再由函数值为零，得到3x+/6的取值可得零点个数【答案】 ， ，由题可知3x+/6=/2，3x+/6=3/2，或3x+/6=5/2，解得x= /9，4/9，或7/9，故有3个零点5【解题思路】利用两角差的正切公式展开，解方程可得tan=3/2【答案】tan(-5/4)=(tan-tan 5/4)/(1+tantan 5/4)=(tan-1)/(1+tan)=1/5，解方程得tan=3/21【解题思路】由极值点的导数为0确定 ，由奇函数确定 【答案】 ，因为当 时有极大值，所以 =0，解得 ， ，当 时， ；因为 为奇函数，所以 ， ，当 时， ，故选D2【解题思路】根据题意得到a(cos /4-sin /4)=0，得=1，得出f(x)=2 sin(x+/4)，即可求解函数的最小正周期，得到答案【答案】由题设，有f(/4)=(a2+b2 )，即2/2 (a+b)=(a2+b2 )，得a=b，又f (/4)=0，所以a(cos /4-sin /4)=0，从而tan /4=1，所以/4=k+/4，kZ，即=4k+1，kZ，又由00)，因为|x_1-x_2 |的最小值为T/4=/2，所以T=2，则由T=2/得=12【解题思路】由函数的最值求出A，由周期求出，由五点法作图求出的值，可得函数f(x)的解析式，再利用y=Asin(x+)的图象变換规律，得出结论【答案】由函数y=Asin(x+)(其中A0，|/2)的部分图象可得A=1，T/4=1/42/=7/12-/3，求得=2，再根据五点法作图可得2 /3+=，=/3，f(x)=sin(2x+/3)，故把f(x)=sin(2x+/3)的图象向右平移/6个长度单位，可得y=sin2(x-/6)+/3=g(x)=sin2x的图象，故选A3【解题思路】已知角度与所求角度互余【答案】sin313，cos6cos23sin313；又02，660，且a1)；(4)(logax)1xln a(a0，且a1，x0).3.利用导数研究函数的单调性(1)导数与函数单调性的关系.f(x)0是f(x)为增函数的充分不必要条件，如函数f(x)x3在(，)上单调递增，但f(x)0.f(x)0是f(x)为增函数的必要不充分条件，如果函数在某个区间内恒有f(x)0时，则f(x)为常数函数.(2)利用导数研究函数单调性的方法.若求单调区间(或证明单调性)，只要在函数定义域内解(或证明)不等式f(x)0或f(x)0，右侧f(x)0，则f(x0)为函数f(x)的极大值；若在x0附近左侧f(x)0，则f(x0)为函数f(x)的极小值.(2)设函数yf(x)在a，b上连续，在(a，b)内可导，则f(x)在a，b上必有最大值和最小值且在极值点或端点处取得.5.利用导数研究函数的零点函数的零点、方程的实根、函数图象与x轴的交点的横坐标是三个等价的概念，解决这类问题可以通过函数的单调性、极值与最值，画出函数图象的变化趋势，数形结合求解.6.三次函数的零点分布三次函数在存在两个极值点的情况下，由于当x时，函数值也趋向，只要按照极值与零的大小关系确定其零点的个数即可.存在两个极值点x1，x2且x10 两个 f(x1)0或者f(x2)0 三个 f(x1)0且f(x2)0a0(f(x1)为极小值，f(x2)为极大值) 一个 f(x1)0或f(x2)0 两个 f(x1)0或者f(x2)0 三个 f(x1)0且f(x2)07.利用导数解决不等式问题(1)利用导数证明不等式.若证明f(x)g(x)，x(a，b)，可以构造函数F(x)f(x)g(x)，如果能证明F(x)在(a，b)上的最大值小于0，即可证明f(x)g(x)对一切xI恒成立I是f(x)g(x)的解集的子集f(x)g(x)min0(xI).xI，使f(x)g(x)成立I与f(x)g(x)的解集的交集不是空集f(x)g(x)max0(xI).对x1，x2I使得f(x1)g(x2)f(x)maxg(x)min.对x1I，x2I使得f(x1)g(x2)f(x)ming(x)min.热点一 利用导数研究函数的单调性【例1】(2019衡水中学)已知函数 ， .（1）讨论 的单调性；（2）当 , ， 为两个不相等的正数，证明： .解（1）函数 的定义域为 ， .若 ， ，则 在区间 内为增函数；若 ，令 ，得 .则当 时， ， 在区间 内为增函数；当 时， ， 在区间 内为减函数.（2）当 时， .不妨设 ，则原不等式等价于 ，令 ，则原不等式也等价于即 .下面证明当 时， 恒成立.设 ，则 ，故 在区间 内为增函数， ，即 ，所以 .探究提高 1.求函数的单调区间，只需在函数的定义域内解(证)不等式f(x)0或f(x)0.(2)对k分类讨论不全，题目中已知k0，对k分类讨论时容易对标准划分不准确，讨论不全面.【训练1】已知aR，函数f(x)(x2ax)ex(xR，e为自然对数的底数).(1)当a2时，求函数f(x)的单调递增区间；(2)若函数f(x)在(1，1)上单调递增，求a的取值范围；(3)函数f(x)是否为R上的单调减函数？若是，求出a的取值范围，若不是，请说明理由.解 (1)当a2时，f(x)(x22x)ex，所以f(x)(2x2)ex(x22x)ex(x22)ex.令f(x)0，即(x22)ex0，因为ex0，所以x220，解得2x2.所以函数f(x)的单调递增区间是(2，2).(2)因为函数f(x)在(1，1)上单调递增，所以f(x)0对x(1，1)都成立.因为f(x)(2xa)ex(x2ax)exx2(a2)xaex，所以x2(a2)xaex0对x(1，1)都成立.因为ex0，所以x2(a2)xa0，则ax22xx1（x1）21x1(x1)1x1对x(1，1)都成立.令g(x)(x1)1x1，则g(x)11（x1）20.所以g(x)(x1)1x1在(1，1)上单调递增.所以g(x)g(1)(11)11132.所以a的取值范围是32，.(3)若函数f(x)在R上单调递减，则f(x)0对xR都成立，即x2(a2)xaex0对xR都成立.因为ex0，所以x2(a2)xa0对xR都成立.所以(a2)24a0，即a240，这是不可能的.故函数f(x)不可能在R上单调递减.热点二 利用导数研究函数的极值和最值【例2】 (2018安阳调研)已知函数 的极大值为2（1）求实数 的值；（2）求 在 上的最大值解（1）依题意 ，所以 在 和 上单调递增，在 上单调递减，所以 在 处取得极大值，即 ，解得 （2）由（1）知 在 和 上单调递增，在 上单调递减，当 ，即 时， 在 上单调递增，所以 在 上的最大值为 当 ，即 时， 在 上单调递增，在 上单调递减，在 上的最大值为 当 且 ，即 时， 在 上单调递减，所以 在 上的最大值为 当 ，即 时，令 ，得 或 （舍去）当 时， 在 上的最大值为 当 时， 在 上的最大值为 综上可知：当 或 时， 在 上的最大值为 ；当 时， 在 上的最大值为 ；当 时， 在 上的最大值为 探究提高 1.求函数f(x)的极值，则先求方程f(x)0的根，再检查f(x)在方程根的左右附近函数值的符号.2.若已知极值大小或存在情况，则转化为已知方程f(x)0根的大小或存在情况来求解.3.求函数f(x)在闭区间a，b的最值时，在得到极值的基础上，结合区间端点的函数值f(a)，f(b)与f(x)的各极值进行比较得到函数的最值.【训练2】(2017郴州二模选编)已知函数f(x)ax2(12a)xln x.(1)当a0时，求函数f(x)的单调递增区间；(2)当a0，因为a0，x0，2ax1x0，x10，得x1，f(x)的单调递增区间为(1，).(2)由(1)可得f(x)2ax12a（x1）x，因为a1，即12a0时，f(x)0，因此f(x)在(0，1)上是减函数，f(x)在12，1上的最小值为f(1)1a.当1212a1，即1a12时，当x12，12a时，f(x)0，当x12a，1时，f(x)0，因此f(x)在12，12a上是减函数，在12a，1上是增函数，f(x)的最小值为f12a114aln(2a).当12a12，即a0，因此f(x)在12，1上是增函数，f(x)的最小值为f121234aln 2.综上，函数f(x)在区间12，1上的最小值为：f(x)min1234aln 2，a1，114aln（2a），1a12，1a，12a0且c32270时，f(4)c160，存在x1(4，2)，x22，23，x323，0，使得f(x1)f(x2)f(x3)0.由f(x)的单调性知，当且仅当c0，3227时，函数f(x)x34x24xc有三个不同零点.热点四 利用导数求解不等式问题【例4】(2018深圳期末)已知函数 ， （）当 时，求 的单调区间；（）若 ， ，求 的取值范围解：（1） 的定义域为 ，当 或 时， ，当 时， ， 在 和 上是增函数，在 上是减函数， 和 上是增区间， 上是减区间（2）由 ，得 在 时恒成立，令 ，则 ，令 ，则 ， 在 为增函数， ， ， 在 为增函数， ，所以 ，即实数 的取值范围为 探究提高 1.(1)涉及不等式证明或恒成立问题，常依据题目特征，恰当构建函数，利用导数研究函数性质，转化为求函数的最值、极值问题，在转化过程中，一定要注意等价性.(2)对于含参数的不等式，如果易分离参数，可先分离参数、构造函数，直接转化为求函数的最值；否则应进行分类讨论，在解题过程中，必要时，可作出函数图象草图，借助几何图形直观分析转化.2.“恒成立”与“存在性”问题的求解是“互补”关系，即f(x)g(a)对于xD恒成立，应求f(x)的最小值；若存在xD，使得f(x)g(a)成立，应求f(x)的最大值.应特别关注等号是否取到，注意端点的取舍.【训练4】(2017石家庄调研)已知函数f(x)ln xx1(x1).(1)判断函数f(x)的单调性；(2)是否存在实数a，使得关于x的不等式ln xa(x1)在(1，)上恒成立？若存在，求出a的取值范围；若不存在，试说明理由；(3)证明：ln(1234n)1，所以x(x1)20.设g(x)x1xln x，g(x)1ln x1ln x0.g(x)在(1，)上是减函数，则g(x)g(1)0.因此f(x)0，故f(x)在(1，)上为减函数.(2)解 由ln x0，若a0时显然不满足题意，因此a0.设F(x)a(x1)ln x，F(x)a1xax1xax1ax，令F(x)0，得x1a.a1时，00，F(x)F(1)0，因此a1时，ln xa(x1)在(1，)上恒成立.0a1，F(x)在1，1a为减函数，在1a，为增函数，F(x)minF(1)0，不满足题意.综上，存在实数a1，)，不等式ln xa(x1)在(1，)上恒成立.(3)证明 由(2)得，ln xa(x1)x1x在(1，)上恒成立.所以ln 22，ln 33，ln nn.以上各式左右两边分别相加，得ln 2ln 3ln 4ln n234n，则ln 1ln 2ln 3ln 4ln n1234n，所以ln(1234n)0，则实数a的取值范围是( )A.(2，) B.(1，) C.(，2) D.(，1)4.(2018全国I卷)已知函数 （1）讨论 的单调性；（2）若 存在两个极值点 ，证明： 1.(2018忻州一中)设函数 的图像在点 处切线的斜率为 ，则函数 的图像为（）2.(2019绵阳诊断)若函数 的图象上任意一点的切线斜率均大于0，则实数 的取值范围为（）A B C D3.(2017贵阳联考)已知函数f(x)的定义域为1，4，部分对应值如