张宇1000题版第二章习题详解.pdfVIP

27 【编者注编者注编者注编者注】 本习题详解是张宇老师主编的本习题详解是张宇老师主编的本习题详解是张宇老师主编的本习题详解是张宇老师主编的考研数学题源探析考研数学题源探析考研数学题源探析考研数学题源探析 1000100010001000 题题题题的的的的 赠送资料赠送资料赠送资料赠送资料，对对对对1000100010001000 题题题题中没有给出详解的题目做出解析中没有给出详解的题目做出解析中没有给出详解的题目做出解析中没有给出详解的题目做出解析，供同学供同学供同学供同学 们复习时参考们复习时参考们复习时参考们复习时参考。 第二章第二章第二章第二章 一元函数微分学一元函数微分学一元函数微分学一元函数微分学 【经典题答案与解析经典题答案与解析经典题答案与解析经典题答案与解析】 一一一一、 选择题选择题选择题选择题 1 【答案】D 【解】凑导数定义， ( )()()( ) () ( ) 00 limlim hh fahf af af ah fa hh + = . 2 【答案】 B 【解】凑导数定义， ()()()( )()( ) ( ) 00 limlim2 xx f axf axf axf af axf a fa xxx + =+= . 3 【答案】B 【解】在 0 xx=处，() 0 1 2 dyfxxx= = 4 【答案】D 【解】()10.1yx =，()( )121yf= ，故( )10.5 f = 5 【答案】D 【解】 ( )()()()()()()()()()()()()fxxb xc xdxaxc xdxaxb xdxaxb xc=+ 由( )()()()fkka kb kc=，故kd=. 6 【答案】D 【解】根据单调性的定义直接可以得出(D)选项正确 7 【答案】C 【解】 ( )( ) 3 3 24 ,0, 4,0, 0,0, 2,0, 12 ,0, x x xx f xfxx xx x x = 10 【答案】C 【解】排除法，(A)、(B)显然不对，x可小于 0，故不能选（D）. 11 【答案】C 【解】( )()()() 2 224 2Fxfxxxfx = 12 【答案】A 【解】 ( )()()( )()( ) xxxx Fxf eefxef efx = 13 【答案】C 【解】( ) 2 0 1 limsin00 x xf x =，( ) 222 000 111 sinsinsin 0limlimlim xxx x xxx f xxx + + = 不 存在. 14 【答案】D 【解】 ( )( )( ) 2 2 00000 1 1 cos 2 limlimlim0, limlim0 xxxxx x x f xf xx g x xx + =，从而 ( )( ) 0 lim00 x f xf =，( )f x在0x=处连续； 又 ( )( )( )( )( ) 2 0000 001 cos limlim0, limlim0 xxxx f xff xfx g xx xxxx x + =， 故( )f x在 0x=处可导. 15 【答案】D. 【解】 A 不一定，反例： 3 ( )f xx=，0x=时(0)0f=，此点非极值点； B 不一定，需加条件：( )fx在 0 x点两侧异号； C 此项所给的只是必要条件，即仅在子列上收敛，这是不够的. 16 【答案】B 【解】 ( )( )( ) ( ) ( ) 00 000,limlim00 xx f x FfF xf x = 29 17 【答案】A 【解】( )( )( )( ) ( ) ( )( ) 1 3 22,! n n fxf x fxfxfxnf x + = L 18 【答案】C 【解】 当0x = ，当 0 xx时，( )1fx，由拉格朗 日中值定理，( )()( )()() 0000 ,f xf xfxxxxxx=+，从而( )lim x f x + = +. 25 【答案】B 【解】考极限的局部保号性. 在xa=的某去心领域内，有 ( )( ) () 2 0 fxf a xa 在(0,)+单调增，( )0( )fxf x= 30 【答案】B 【解】()( )() 0 00 ,xU xf xf x = ， 0 x必是 ()fx的极小值点. 31 【答案】A 【解】( )06 f =，在点()0,1的切线方程为()160yx =，即61yx=+. 31 32 【答案】D 【解】两曲线在点()1, 1处相切可知两曲线在该点的导数相同，即切线相同. 33 【答案】B 【解】 当xe时，( )0fx，在()0,e和(), e +内( )f x 分别至多有一个零点，又( )( )( ) 0 0, lim, lim x x f ekf xf x + + = = ，故( )f x在 ()0 +，内有两个零点. 34 【答案】B 【解】 由拉格朗日中值定理，( )( )( )()( )()101 0,0,1ffff=，又 ( )0,0,1fxx ，故 ( )( )( )10fff . 35 【答案】B 36 【答案】C 【解】用洛必达法则， ( ) ( ) ( ) ( ) 0 32 000 2 limlimlim00 x xxx f t dt Fxf x f xxx = ，选择3k =. 其中 （1）( )( )( ) () ( ) 22 000 2 xxx Fxxf t dtt f t dtxf t dt = ； （2）洛必达法则的使用逻辑是“右推左” ，即，右边存在（或为无穷大） ，则左边存在（或 为无穷大） ，本题逻辑上好像是在“左推右” ，事实上不是，因为 ( ) ( ) 0 lim0 x f x f x =存在， 即，最右边的结果存在，所以洛必达法则成立. 37 【答案】C 【解】令( ) 11 42 cosf xxxx=+，则( )f x为偶函数，显然当1x 时，( )0f x ，故只 需判明在()0,1内( )0f x =的根的情况. ( )( )010,12cos10ff= ，当()0,1x 时，( )0fx，故在()0,+内( )0f x =有且仅有一个实根. 38 【答案】B 【解】 0 xx=是( )f x的驻点，() () 0 0 0 1 10 x fxe x = 39 【答案】C 【 解 】( )00 f =，( )fx可 导 ，( )( )( )( )12,010fxfx fxf= = ， 32 ( ) ( ) 0 0lim x fx f x =，由极限保号性知 ( )fx 在0x =左、右两侧异号. 40 【答案】C 【解】( )( )f af x，()( )( )xaf af x 在(),aa+内无法确定符号， 排除 （A） 、 （B） ，而 ( )( ) () ( )( ) () 22 lim0 ta f tf xf af x txax = . 41 【答案】C 【解】 2 22 lim1 x xx k x + = ， 2 lim(22) x bxxx =+= 2 22 lim 22 x x xxx + + =1，选（C） 42 【答案】A 【解】 0 1 lim sin0 x x x = 43 【答案】D 【解】 2 2 1 lim1 1 x x x e e + = ， 2 2 0 1 lim1 1 x x x e e + = 44 【答案】C 【解】 ()() 2 1 2 1 limarctan 124 x x xx e xx + = + ， ()() 2 1 2 1 1 limarctan 122 x x xxe e xx + + = + ， ()() 2 1 2 1 1 limarctan 122 x x xxe e xx + = + 45 【答案】C 【解】 () 2 2 61813yxx = + 46 【答案】A 【解】令( )( )F xf xx= 由已知可得， ()1,1x时，( )( )10Fxfx= ， ()1,1x时，( )( )10Fxfx = ，则存在0M ，当xM时， ( ) 2 k fx ( ) 2 xx MM k fx dxdx 得 ( )()() 2 k f xxMf M+ 与( )f x在()0,+内有界矛盾. 二二二二、填空题填空题填空题填空题 48 【答案】21yx=+ 【解】 () 1 21 lim2 x x xe x =， () 1 21 lim22 x x xe x =， 49 【答案】 1 ln2 ， 【解】令()22 ln221ln20 xxx yxx = +=+=，解得， 1 . ln2 x = 50 【答案】 1 (1) 42 yx = ； 2(1) 4 yx = 【解】1x =时， . 4 y = 11 2 11 12 xx y x = = + ，可得出切线方程() 1 1 42 yx = ，法线 方程() 21 4 yx = 51 【答案】 2 (21) t te+ 【解】 2 2 2 11 lim1lim1 t txx t xx ttte xx +=+= 52 【答案】-1 【解】 ()( )()( ) ( ) 00 333311 limlim31 222 hh fhffhf f hh = = = 53 【答案】!n 【解】( )( ) () ()( ) ()() () 00 1 .0 00,0limlim12 . 0 xx x xxnf ffx xxxnn x + =+= ! 34 54 【答案】31yx= 【解】 ( ) ( ) 2 2 666 3sincos3 , 3cossin3 ttt y ttt y x ttt = = 法线方程为： 13 3 3 88 yx = 整理可得31yx=. 55 【答案】 1 tan 2 1111 (tanseccos) x e xxxx + 【解】 111 tantantan 22 111111 sintanseccos xxx yeee xxxxxx = = + 1 tan 2 1111 (tanseccos) x e xxxx = + 56 【答案】 3 sincos 4 ttt t 【解】 ( ) ( ) sin 2 y tdyt dxx tt = ， ( ) ( ) ( ) 2 23 sincos 4 y t d x t d yttt dt dxx tt = 57 【答案】 3ln3 1 3 x x dx + 【解】复合函数求导 ln3 3 1 3 x x y = + 58 【答案】 22 (,) 22 【解】 222 2 2,24. xxx yxeyex e = = + 令0y ，解得 22 . 22 x，解得 1 0 4 x 63 【答案】 222 22 2 cos() 2 cos()2 x yexxy yxyxy + + 【解】方程两边同时对x求导，可得 () 222 sin2220 x dydy xyxyeyxy dxdx += . 解得 222 22 2 cos() 2 cos()2 x dyyexxy dxyxyxy + = + 64 【答案】 2 2 (65)(1)d ytt dxt + = 【解】 ( ) ( )()() 2 2 2 1 1 1 321 32 t y tdytt t dxx tttttt + + = + + ， ( ) ( ) ( ) 2 2 (65)(1) y t d x t d ytt dt dxx tt + = 65 【答案】3sin3(cos3 )xfx 【解】( ) () ()() cos3 0 cos33sin33sin3(cos3 ) x dy f t dtfxxxfx dx = 66 【答案】 2 0 224 cos2cos x t dtxx 【解】 ()2 2 2 0 0 2 2 0 224 cos cos cos2cos x x x d xt dt dxt dt t dtxx dxdx = 36 67 【答案】 222 2 112 2 sin()sinsincos()xxx xxx 【解】 ()()() 222222 22 1111112 sin2sincos2sincos2 sin()sinsincos()yxxxxxx xxxxxxx = + = 68 【答案】370xy= 【解】 ( ) ( ) 2 222 3 3 2 ttt y tdyt dxx tt = = ；2,t =可得5,8xy=.根据点斜式可得直线方程 370xy= 69 【答案】 1 3 【解】 21 33 222 21 1 32 xxx yxexee = +=+ 1 3 22 00 211 1 323 xx xx yxee = =+= 70 【答案】 2 xye += 【解】 coscos sinsin xe ye = = ，点 2, 2 e 的直角坐标为( ) 2 0,e，曲线在点 2, 2 e 处的切线的斜率为 22 , 22 sincos 1 cossin ee ee y ee + = , 故所求切线方程为() 2 0yex = ，即 2 xye +=. 71 【答案】 1 2 【解】 () () 2 222 2 22 2 2 1 321 1111 11 111211 1 2 1 x xx xxxxx y xxxxx x x + + + = = + + + () ()() 2 2 321 1 2 1 1 xx xx + = + 0 1 2 x y = = 37 72 【答案】 1 yx e =+ 【解】 1 ln lim1, x xe x k x + = 1 ln1 1 limlnlim 1 xx e x bxex x x + =+= () 1 00 ln111 limlim t x tt et tete = + = + 令 . 73 【答案】210yx