概率论与数理统计模拟卷附答案.pdf

概率论模拟卷概率论模拟卷 一 选择题（每题 3 分，共 21 分） 1. 已知 P(A)=P(B)=P(C) = 1 2 ,P(AB)=0,P(AC)=P(BC)= 1 6,求 ABC 全不发生的概率_. 2. 设随机变量 XB(2,p),YB(3,p),P(X1)= 5 9,则 P(Y1)=_. 3. 设平面区域 D 由曲线 y=1 及直线 y=0，x=1,x=e 2 围成，(X,Y)服从区域 D 上的均匀分 布，则(X,Y)关于 X 的边缘分布函数在 x=2 处的取值为_. 4. 设(X,Y) N(1,-1,22,32,0),则 Y 的概率密度函数为 fY(y)=_. 5. 有两个相互独立工作的电子装置，它们的寿命 Xk(k=1,2)服从同一指数分布，其概率 密度为: 1 ,0 ( ) 0,(0) x e f x x 现将这两个电子装置串联在电路中，则这两个装置组成的系统的寿命 N(以小时计算)的 数学期望为_. 6 设 X1,X2,X3,X4,是来自正太分布总体 N(0,22)的简单随机样本,则服从 _分布。 7设总体 X 的一个样本为(X1,X2,Xm)(m1),xP(),求 2的无偏估计量_. 二 选择题(本大题共 6 小题，共 18 分) _ |(|1,01,0,01,A(0)A BP AP BP AP BP B AP B设为随机事件则必有， _ . (|)(|)AP A BP A B _ . (|)(|)B P A BP A B . ()( )P(B)C P ABP A D.P(AB)P(A)P(B) 2.设 F1(X)和 F2(X)分别为随机变量 X1,X2的分布函数，为使 F(X)=aF1(X)-bF2(X)是某一随机 变量的分布函数，在下列给定的各组值中应该选择的是() Aa =3 5,b= 2 5 B.a= 2 3 , = 2 3 C. a = 1 2 ,b = 3 2 D.a = 1 2 , = 3 2 2 4 2 3 2 2 1 XXX X3 ( , )()(arctan)(arctan), ,(2,03)() 23 1357 16161616 xy F x yABCx yRA B CPxY ABCD 3.设且其中为常数，求 21 2 22 2 11 (4.,? )(| 1)(|)XN uYN uPXuPXu设随机变量 服从正态分布，随机变量 服从正态分布，且，则有() 12 A. 12 .B 12 .C uu 12 .Duu 2 1 5. ( ),Xt n Y X 设随机变量则() 2 ( )nA.Y ， 2 .(1)B Yn C.YF(n,1) D.YF(1,n) 6. 设随机变量 X1,X2.Xn相互独立，Sn=X1+X2+Xn,根据列为-林德伯格中心极限定 理，当 n 充分大时，Sn近似服从正态分布，只要 X1.Xn() A.有相同的数学期望 B.有相同的方差 C.服从同一指数分布 D.服从同一离散型分布 三.(本题 7 分) 在平面上画有等距离的一族平行线， 平行线间的距离为 2a， 向平面任意投掷一长为 2l(la, 此针与平行线不相交的概率 四(本题 8 分) 2 12n12n12n Y11 ()XY12 33 Z=XY 2X ,X,maxX ,X ,minX ,X , ,) X , ( Y P XYXX N Z u ZY 四.设， 的分布列为，且相互独立 1)求的分布 ）若独立同分布 令求联合分布函数. 五五本题满分本题满分( (1010 分分) ) 按规定,某车站每天 8:009:00,9:0010:00 都恰有一辆客车到站,但到站时刻是随机的,且两者 到站的时间相互独立。其规律为： 一旅客 8:20 到车站,求他候车时间的数学期望和方差. 六(本题满分 12 分) 设某种电器元件的寿命服从均值为 100 小时的指数分布，现随机取得 16 只，设它们的寿命 是相互独立的,求这 16 只元件的寿命的总和大于 1920 小时的概率。 ( (0.8) 0.7881,(0.81)0.7910,(0.9)0.8159) ) 七.(本题满分 12 分) 八.(本题满分 12 分) 假设 0.5,1.25,0.80,2.00 是来自总体 X 的简单随机样本值.已知 Y=lnX 服从正态分布 N(0,1) 1) 求 X 的数学期望 E(X),以及 u 的矩估计和极大似然估计. 2) 求 u 的置信度为 0.95 的置信区间. 3) 利用上式结果求 E(X)的置信度为 0.95 的置信区间. 到站时刻到站时刻 8:10 8:30 8:50 9:10 9:30 9:50 概率概率 1/6 3/6 2/6 答案答案 一 1. 答案:7/12 由全概率公式 _ _ _ _ P()P()1 ( )( )( ) 317 ()()()+P(AB)=1-2 4612 ABCABCP AP BP C P ABP BCP ACX 心得:注意全概率公式的应用，特别是涉及到 n 个事件的时候 2. 答案:19/27 002 2 54 P(1), (1) 99 (1)(0)(1) 1 0 3 19 (1)1(0) 27 XP X P XP XC PP PP P YP Y 心得:注意 X 为自然数随机变量 3. ln2/2 a) 先算出平面区域的面积,适当作出图像(略) 2 e 1 1 S=2 x dx b) 得出几何分布的概率密度函数为 F(x,y)=1/2 c) 之后算边缘概率密度 0 1 ( , )( , ) 2 x f x yf x y dyx d) 算关于 x 的边缘分布函数 21 1 2 ( ) 22 x n F xxdx 心得:学会用图像分析 4. 答案 2 (1) 18 1 ( )( , ) 3 2 y Y yf x y dxe f 2 12 (1) 18 1,1,0 1 ( )( , ) 3 2 y Y uu yf x y dxe 其中 为相关系数 而二维正态分布的边缘分布仍为正态分布 故f 5答案2 心得 6.答案 t(3) 00 01 )( )2 , 1( x xe xF kX x k 的分布函数为的分布函数为解解 2 2 )()( 0 2 min dxe x dxxxfNE x 12 min(,)NX X 00 01 )(1 1)( 2 2 min x xe xFxF x 00 0 2 )( 2 min x xe xf N x 的概率密度为的概率密度为于是于是 的分布函数为 )3() 2 X () 2 X () 2 X (, )1 , 0(N 2 X 22423221 )3( t 3/ ) 2 X () 2 X () 2 X ( 2 X 2 4 2 3 2 2 1 7. 心得:对估计值的公式要十分熟悉 二. 1.C _ _ _ _ () (|) ( ) ()( )() (|) 1( ) (A) (|)(|) ()( ) ( ),C P AB P B A P A P B AP BP BA P B A P A P P B AP B A P ABP A P B 化简得选 心得:一定知道条件概率的公式 2.A F(X)作为某一随机变量分布函数，应该满足 l i m F ( x ) = a - b = 1 ; l i m( )000A x x F xab 故选 3.A P(2 X +, 0 Y 3) = )(XEX m i i XX m 1 2 2 1 22 1 2 )() 1 ( XEX m E m i i 1),( F , 1) 2 ( ) 2 ( CBA ,0) 2 ( ) 2 (),( CBAF ,0) 2 ( ) 2 (),( CBAF ) 42 ( ) 22 ( 1 2 由分布函数的特征性质知 . 16 1 ()()()(),3,02,32,0FFFF 4. A 心得:注意理解正态分布的特性 5. C 2 22 22 2 U (0,1) V 1 ( ). (1) 1 ( ,1) UN U V n VnY xU U YF nC x 由题设知X=其中 于是 这里根据定义可知 故选 6. C 列为林德伯格定律:即独立同分布中心极限定理 P93 其成立的条件:独立同分布，且期望方差均存在故 AB 均错误 并且离散型分布期望和方差不定存在，故排除 D 三 解 以 M 表示针的中点，以 x 表示针投在平面上之后点 M 到 最近的一条平行线的距离，以表示针与此直线的交角. , x): 0 ，0x a 相交=A =, x: 0 ，0x l sin 1) 1 (21|(| 1) 1 (21|(| 2 2 1 1 ） ）解： YP XP ) 1 () 1 ( 21 21 2a x M a l a l A AP 2 dsin )( 0 的面积的面积 的面积的面积 a o x =l 2) 如图 设题设事件为 B 22 2( arcsin) ( ) a alal l P B a 心得：这题的构造十分巧妙，属于几何概率，读者有兴趣看下蒲丰投针问题 四 22 22 ()() 22 1) ( )()(1) (|1)+P(1) (|1) 12 (Z|Y=-1)+P(XZ) 33 12 (1()() 33 12 ()() 33 z 12 ( )( ) 3 23 2 2) z z uz u z F zP XYzP YP XYZ YYP XYZ Y PX zuzu zuzu fZF Zee yz 由全概率公式得 所以 为连续型随机变量，其概率密度 时，显 1212 121212 11 2 y ( , )(max ,. y,min ,. ) = (max ,. y)(max ,. y,min ,. ) =P(,.)(,.) ( ( )( ( )( ) ( , ) nn nnn nn nn z F y zPx xxx xxz Px xxPx xxx xxz xyxyP zxyzxy F yF yF z F f x y 然有f(y,z)=0;当时 22 2 ()() 2 2 ( , )(1) ()() 2 x uy u y zn nyuzu e y z 心得:数学是符号的游戏 五， 解:设旅客的候车时间为 X（以分计） ，其分布律为 a o x =l sin 同理 D(X)=E(X2)-E2(X)=536.85 分 心得:注意 8.50 以后的概率要重新考虑，这点十分易错 六， 心得:中心极限定理要了解 七， 心得:了解各种分布及其性质 分分22.27 36 2 90 36 3 70 36 1 50 6 2 30 6 3 10)( XE X 10 30 50 70 90 P 3 6 2 6 1 36 3 36 2 36 192011920P XP X 1216 16,XX解：记 只电器元件的寿命分别为X 16 1 16 i i X 则只电器元件的寿命总和为X, 2 100,100 ii E XD X由题设 16 1 16 100 1600 0,1 4 100400 i i X X N 根据独立同分布的中心极限定理: Y近似服从 10.80.2119 的数学期望为的数学期望为候车时间候车时间到站到站 第二班车第二班车为事件为事件到站到站第一班车第一班车为事件为事件其中其中 X BA “.30:9 “,“10:8“ 1,2, i i X Yin 解：(1)作变换 12 ,0,1 1,2, ni Y YYYNin显然相互独立，且 222 11 () nn i i ii X Yn 2 于是 2 22 12 12 2 () (2)(0,2),(1) 2 XX XXN 2 22 345 345 2 (2) 2(0,6),(1) 6 XXX XXXN 12345 22 2 34512 22 (2)() (2) 26 XXXXX XXXXX 与2相互独立， 故 2 2 1 , 2 1 , 6 2. a b k 八 22 2 2 1 t=y-u ()1 + 222 - 1 _ 2 () 2 Y () 2 1 2 1 x,( ,1) 11 ()e 22 1 x=ln, 2 1 f ( ) 2 1 ( )()() 2 () ln ( )ln2 22 ln ( ) n i Y y ut u yt u u y u y u n n i i n i e YN u E Xeedyedte eux ye L yf ye nyu L y L y y n 令 故 计算矩估计，解得计算无偏估计 1 1 1 lnL(y) u n i i n i i n i i nu y u n y n 时