《大学物理A》力学部分习题解答.pdf

第一章 第一章 1.2、质点在平面上运动，已知其位置矢量的表达式为 22 atbtrij（式中 a， b 为常数） ，则质点做 （A） 、匀速直线运动； （B） 、变速直线运动； （C） 、抛物线运动； （D） 、一般曲线运动。 解解： dd 22,22 dd atbtab tt rv vijaij， b a b a x y 2 2 tan为常数， 故质点做变速（加速度大小恒定，方向不变）直线运动，选（B） 。 1.4、某物体的运动规律为tkv dt dv 2 ，式中 k 为大于零的常数。当 t=0 时，其 初速度为 0 v，则速度 v 和时间 t 的函数的关系是 （A） 、 0 2 2 1 vktv； （B） 、 0 2 2 1 vktv； （C） 、 0 2 1 2 11 v kt v ； （D） 、 0 2 1 2 11 v kt v 。 解题思路解题思路：通过分离变量，可求得速度 v 和时间 t 的函数的关系 v v t v kt v tdtk v dv ktdt v dv tkv dt dv 0 0 2 0 22 2 1 2 11 ,，故选（D） 。 1.5、一个质点沿 X 轴作直线运动，其运动学方程为 32 12863tttX，则 （1）质点在0t 时刻的速度 0 v= ，加速度 0 a= ； （2）加速度为0时，该质点的速度v= 。 解解：（1） 2 6 1636vtt， 当 t=0 时， V0=6m/s；1672at， 加速度 a0= 2 /16sm （2）当0a 时，1672at，st22. 0 72 16 v =sm/8 . 7) 72 16 (36 72 16 166 2 1.7、一运动质点的速率v与路程s的关系为 2 1vs 。 （SI） ，则其切向加速度 以S来表达的表达式为：s来表达的表达式为： t a 。 解解： 23 222122 t dvds assvssss dtdt 。 1.10、一质点做半径为 0.1m 的圆周运动，其运动方程为 2 2 1 4 t （SI） ， 则切线加速度为 t a= 。 解解： dt dv aRv dt d t , ，)/( 1 . 011 . 0 2 2 2 sm dt d Rat 1.13、一质点从静止出发沿半径1Rcm的圆周运动，其角加速度随时间t的 变 化 规 律 是tt612 2 ,则 质 点 的 角 速 度= ， 切 向 加 速 度 t a = 。 解解： 232 00 12643 tt dttt dttt ，同理积分得： t aR= 2 126tt。 1.18、某质点作直线运动的运动学方程为 3 356xtt(SI)，则该质点作 （A）匀加速直线运动，加速度沿x轴正方向 （B）匀加速直线运动，加速度沿x轴负方向 （C）变加速直线运动，加速度沿x轴正方向 （D）变加速直线运动，加速度沿x轴负方向 解解： 2 153t dt dx , 2 2 300 d x at dt ， 故加速度沿x轴负方向，故选（D） 。 1.20、以下五种运动形式中， a保持不变的运动是 （A）单摆的运动 （B）匀速率圆周运动 （C）行星的椭圆轨道运动 （D）抛物运动 （E）圆锥摆运动 提示：提示：在（A） 、 （B） 、 （C） 、 （E）中a均有变化，只有（D）中ag保持不变。 1.21、下列说法那一条正确？ （A） 加速度恒定不变时，物体运动方向也不变； （B） 平均速率等于平均速度的大小； （C） 不管加速度如何，平均速率表达式总可以写成 2 21 VV V ； （D） 运动物体速率不变，速度可以变化。 提示：提示：对（A）在抛物运动中，a不变，但v变化； 对（B） s v t ， t r v，s r，所以不对； 对（C）只有匀加速运 动才有 12 2 vv v ， 对（D）在匀速率圆周运动中，其速率不变。但是，速度的 方向可以不断地发生变化。故选（D） 。 1.22、质点作曲线运动，r表示位置矢量，s表示路程， t a表示切向加速度， 下列表达是式中， （1）ddvta （2）ddrtv （3）ddstv （4）dd t tav （A）只（1） 、 （4）是对的。 （B）只有（2） 、 （4）是对的。 （C）只有（2）是对的。 （D）只有（3）是对的 D 提示提示： d dt v a， d d a t v a， d dt r v， d d v t r v， ds v dt ， t dv a dt 。 1.24、设质点的运动学方程为cos sin RtRtrij (式中R、皆为常 量) 则质点的v=_ 解解：cos sin RtRtrij ， dd(cossin) sincos dd RtRt tRt tt rij vij， 式中i和j为方向矢量。 129、某人骑自行车的速率V，向正西方向行驶， 图1.10 遇到由北向南的风（设风速的大小也为V） ，则他感到风是从 （A） 、东北方向吹来； 北 （B） 、东南方向吹来； （C） 、西北方向吹来； 西 人对地V 东 （D） 、西南方向吹来。 风对地V 风对人V 解答解答：这是一道速度矢量合成的题，依题意， 南 人感到风是以人作为参考系，地对人的运动方向与风速相反 图1.11 按矢量 地对人风对地风对人vvv作图1.11， 故（C） 、西北方向吹来，是正确答案。 130、在相对地面静止的坐标系内，A、B两船都以2m/s的速率匀速行驶。 A船沿X轴正向；B船沿Y轴正向。今在A船上设置与静止的坐标系方向相同 的坐标系（X、Y方向单位矢量用i和j表示） 。那么，A船看B船，它对A船的 速度为（速度的单位是m/s） Y （A） 、22ij； （B） 、22ij； BAV 地BV （C） 、22ij； （D） 、22ij。 解答解答：这也是一道速度矢量合成的题， AV地 0 地AV X 依题意作图，所以（B） 、22ij为正确答案。 图1.12 131、一质点沿X轴运动，其加速度a与坐标X的关系为 )(62 2 SIxa，如果质点在原点处的速度为零，试求其在任意位置处的速 度？ 解解： 2 26 dvdv dxdv avx dtdx dtdx ，利用分离变量积分解此题 xv dxxvdvdxxvdv 0 2 0 2 )62(,)62(， 故 )/(2 3 smxxv。 132、一质点沿半径为R的圆周运动，质点经过的弧长与时间的关系为 2 2 1 ctbtS，式中b、c是大于零的常数。求从0t 开始到达切线加速度与法 线加速度大小相等所经过的时间。 解解：c dt dv actb dt ctbtd dt dS v t , )2/( 2 ， R ctb R v an 22 )( 由已知条件： c b c R t R ctb caa nt , )( , 2 。 第二章第二章 2.6、一质量为M的质点沿x轴正向运动，假设该质点通过坐标为x的位置 时速 度的大小为kx (k为正值常量)，则此时作用于该质点上的力F =_，该 质点从x = x0点出发运动到x = x1处所经历的时间t =_ 解题思路解题思路：已知kx dt dx v， 1、求F： 2 dd dxdx ddx dd vv Fmammmkmkvmkkvmk v ttt 即xMkF 2 ； 2、求t：根据kx dt dx v得 dx kdt x 两边积分得： 12 01 d d xt xt x k t x 即 1 21 0 ln x k ttk t x 即有 0 1 ln 1 x x k t 。 2.17、质量为m的子弹一速度为 0 v水平射入沙土中，设子弹所受阻力与速度方 向相反，其大小与速度成正比，比例系数为k，忽略子弹的重力。求： （1）子弹射入沙土后，速度随时间变化的函数？ （2）子弹射入沙土的最大深度？ 解解： （1）阻力大小与速度成正比，即kvf ，由牛顿运动第二定律和分离变量 积分 dt m k v dv v m k dt dv kvma.,， 0 00 ,ln Vt V dvkvk dtt vmvm t m k evv 0 即为子弹射入沙土后，速度随时间变化的函数； （2） 、 00 000 ,(1) Xttkk tt mm k dxvdtv edtxve m ， t 时， x有最大值且为 max0 k xv m 。 第三章 第三章 3.1、一质量为1 kg的物体，置于水平地面上，物体与地面之间的静摩擦系 数0.20，滑动摩擦系数0.16，现对物体施一水平拉力Ft+0.96(SI)，则2 秒末物体的速度大小 v_。 题意分析题意分析：在01 s内, Fmg=1.96 ,未拉动物体.当拉力大于(克服)最大 静摩擦力后,物体开始运动,力对时间积累的效果称为：合外力对物体在dt时间内 的冲量。 解题思路：解题思路：从题意分析中得出解题思路：由力对时间的积累，即力对时间的 积分，求出冲量，再求速度。 解题：解题：在1 s2 s内, 2 1 12 sN89. 0)(d)96. 0(ttmgttI 由 mv 0=I， 可得 v = I/m=0.89 m/s 3.4、设作用在质量为1kg的物体上的力F=6t+3（SI） ，如果物体在这一力的 作用下，由静止开始沿直线运动，在0到2.0s的时间间隔内，这个力作用在物 体上的冲量大小I = 。 物体做直线运动，可标量运算 2 1 20 20 2 0 0 (63)(33 )18() t t IFdttdtttN . 3.5、一质量为m的物体，以初速 0 v成从地面抛出，抛射角 0 30，如忽略空 气阻力，则从抛出到刚要接触地面的过程中 （1） 物体动量增量的大小为 。 （2） ） 物体动量增量的方向为 。 提示提示： 21 ppp 00 00 sin30sin30pmvmv 0 mv 图3.1 物体动量增量的方向为垂直向下。 3.13、如图3.5，用传送带A输送煤粉，料斗口在A上方高h0.5 m处，煤粉 自料斗口自由落在A上 设料斗口连续卸煤的流量为skgqm/40，A以 v2.0 m/s 的水平速度匀速向右移动 求装煤的过程中， 煤粉对A的作用力的大小和方向（不 计相对传送带静止的煤粉重量） 解解 ： 煤 粉 自 料 斗 口 下 落 ， 接 触 传 送 带 前 具 有 竖 直 向 下 的 速 度 图3.5 gh2 0 v 设煤粉与A相互作用的t时间内，落于传送带上的煤 粉质为： tqm m 设A对煤粉的平均作用力为f， 由动量定理写分量式： 0vmtfx， )(0 0 vmtfy 将 tqm m 代入得 v mx qf ， 0 v my qf 图3.6 149 22 yx fff N，f与x轴正向夹角为 =arctg (fx/fy) =57.4由牛顿第三定律煤粉对A的作用力f= f = 149 N，方向与 图中f 相反。 3.17、 质量为m的物体， 初速极小， 在外力作用下从原点起沿x轴正向运动 所 受外力方向沿x轴正向，大小为F kx物体从原点运动到坐标为x0的点的过程 中所受外力冲量的大小为_ x y fy t tf fx t 0 30 0 30 p 0 mv 0 mv 解解： 因为 dt dx v 和 ddIF tmv 上式两边乘v mvdvkxdx 上式两边同时积分： 0 00 x v kxdxmvdv ， 22 0 kxmv， 所以 mkxv/ 2 0 故所受外力冲量 2 0 mkxmvI 第四章第四章 4.2、一个质点同时在几个力作用下的位移为： kjir 654 (SI) 其中一个力为恒力kjiF 953 (SI)，则此力在该位移过程中所作的功为 (A) 67 J (B) 17 J， (C) 67 J (D) 91 J 解解：功的定义为：AFr，则( 359 ) (456 )Aijkijk 由矢量代数知识可知：1110i ij jk ki ji kj k JA6769)5()5(4)3(，故（C）为正确答案。 4.5、 质量m2 kg的质点在力12tFi(SI)的作用下， 从静止出发沿x轴正 向作直线运动，求前三秒内该力所作的功 解题思路解题思路：应用变量变换积分法求解 drdx v dtdt ， d121212dAtdxtdxtv t Frii 而质点的速度与时间的关系为 dv a dt 有 F dvadtdt m 2 000 0 12 ddd3 2 v ttt F dva ttt tt m 即 2 3vt 所以力F 所作的功为 3 0 3 3 0 2 d36d)3(12tttttA=729 J 4.14、一链条总长为l，质量为m，放在桌面上，并使其部分下垂，下垂一 段的长度为a设链条与桌面之间的滑动摩擦系数为令链条由静止开始运动， 则 (1)到链条刚离开桌面的过程中，摩擦力对链条作了多少功？ (2)链条刚离开桌面时的速率是多少？ 解解：(1)建立坐标. 某一时刻桌面上全链条长为y, 则摩擦力大小为： g l y mf 摩擦力的功 00 dd alal f ygy l m yfW= 02 2 al y l mg = 2 )( 2 al l mg (2)以链条为对象，应用质点的动能定理 W 2 0 2 2 1 2 1 vvmm 其中 W = W PWf ，v0 = 0 ， WP = l a xPd= l almg xx l mg l a 2 )( d 22 由上问知 l almg Wf 2 )( 2 ，所以 22 22 2 1 )( 22 )( vmal l mg l almg 得 2 1 222 )()(alal l g v 4.21、一质量为m的质点，在半径为R的半球形容器中，由静止开始自边缘上 的A点滑下，到达最低点B时，它对容器的正压力为N则质点自A滑到B的 过程中，摩擦力对其作的功为 ： (A) )3( 2 1 mgNR； (B) )3( 2 1 NmgR (C) )( 2 1 mgNR； (D) )2( 2 1 mgNR 图4.12 由静止从A点下滑到B点，机械能的改变转化为摩擦力的功。 R mg O A B Y Fn N 解题思路解题思路： 分析质点运动过程， 应用功能原理 解题时，只考虑质点所处的始末状态。作图如图 4.12所示。 1、题意分析 质量为m的质点，在半径为R的 半球形容器中，由静止开始自边缘上的A点的距 离为R，其势能为mgR，到达最低点B时，最低 点B其动能为： 2 2 1 mv 2、应用物理学原理： mgN R v mFn 2 （1） mgRmvA 2 2 1 （2） 3、数理逻辑推理，联立上述方程解题： RmgNmv)( 2 1 2 1 2 （3） 4、结论结论：摩擦力对其作的功为 ： )3( 2 1 )( 2 1 ) 2 1 ( 2 mgNRmgRmgNRmvmgRA (A)为正确答案。 4.24、解释下列现象： （1）逆流航行的船只，行到水流很急的岸边时，就会自动地向岸边靠拢； （2）打开的门窗，如果有大风平行门面吹过，门窗会自动地闭合，然后又 打开； （3）烟囱越高，通风效果越好，即把烟从火炉中排出的本领越大； （4）汽车驶过时，路旁的纸屑常被吸向汽车。 答： （1）因为船只一侧与岸边所形成的水流管道变窄，流速变大，根据同一水平面上 的伯努利方程 2 1 2 vP恒量可知，这个水流管道内的压强减小，而船只另一侧的压强 不变，这样，在压强差的作用下，船只就会被自动地挤向岸边。 （2）当大风平行门面吹过时，门窗外空气的流速变大，根据同一水平面上的伯努利方 程 2 1 2 vP恒量可知，压强减少，而屋内的压强不变，即屋内的压强大于门窗外空气 的压强，在压强差的作用下，门窗会自动闭合；而与此相反的是，大风过后，门窗外空气的 流速变小，压强增大，门又会慢慢打开。 （3）从火炉口到烟囱口连成的流管中，火炉口的压强和烟囱口的压强相等，都等于大 气压 0 P，根据伯努利方程， 2 1 2 vgh恒量，烟囱口的位置高，h大，烟在这里流速 慢，火炉口位置低，烟的流速大，即把烟从火炉中排出本领大， “拔”火能力强。 （4）因为在汽车驶过时，汽车尾部的空气流动加快，流速增大，根据同一水平面上的 伯努利方程， 2 1 2 vP恒量，空气流所在位置的压强减小，而路旁空气的压强不变； 这样，形成了压强差，于是，路旁的纸屑就被“吸”向汽车。 4.26、有一水桶截面甚大，桶内水深0.5m，在桶底开一面积为 32 0.5 10 m 的小孔， 使水能连续流出，问水的流量Q为多少？ 解：根据小孔流速公式，水能连续流出小孔时的流速为2vgh 流量： 333 0.5 102 9.8 0.5 1.565 10/QvSms 第五章第五章 5.2、质量为m的质点以速度v沿一直线 运动，则它相对直线外垂直距离为d的一点 o的角动量大小是 。 提示提示：sinLrmvmvd 5. 5、X轴沿水平方向，Y轴竖直向下，在0t时刻将质量为m的质点由a 处（距离坐标原点O为b）静止释放，让它自由下落，则在任意时刻t，质点所 受的对原点O的力矩M ，在任意时刻t，质点对原点O的角动 量L .。 提示：MrFbimg jmgbk dL rFM dt Lrmvbimgt jmgbtk 或 0 t LMdtmgbtk 5.9、有两个力作用在一个有固定转轴的刚体上： （1）这两个力都平行于轴作用时，它们对轴的合力矩一定是零； （2）这两个力都垂直于轴作用时，它们对轴的合力矩可能是零； （3）当这两个力的合力为零时，它们对轴的合力矩也一定是零； （4）当这两个力对轴的合力矩为零时，它们的合力也一定是零。 在上述说法中， （A）只有（1）是正确的。 （B） （1） 、 （2）正确， （3） 、 （4）错误。 （C） （1） 、 （2） 、 （3）都正确， （4）错误。 （D） （1） 、 （2） 、 （3） 、 （4）都正确。 解解： 力作用在一个有固定转轴的刚体上， 其力矩垂直于轴作用时才能产生转 动， （1）和（2）是正确的；但是，当两个力的合力为零时，它们对轴的合力矩 不一定是零，同理当这两个力对轴的合力矩为零时，它们的合力也不一定是零， 所以（3）和（4）是错误的。故选（B） 。 5.13、有一半径为R的水平圆转台，可绕过其中心的竖直固定光滑轴转动， 转动惯量为J。开始时，转台以角速度0转动，此时有一质量为M的人站在转 台中心，随后人沿半径向外跑去。当人到达转台边缘时，转台的角速度为 O y x mg r a 0 P mv d r （A） 、 2 0 MRJ J ； （B） 、 2 0 )(RMJ J ； （C） 、 2 0 MR J ； （D） 、0。 解解：根据题意可知：人沿半径向外跑去，系统所受合外力矩为零，系统的角 动量守恒，即 )( 2 0 MRJJ， 2 0 MRJ J （当人到达转台边缘时，系统的转动惯量为 2 MRJ ） ，故选（A） 。 5.16、一长为L的轻质细杆，两端分别固定质量为M和2M的小球，此系 统在竖直平面内可绕过其中心点O且与杆垂直的水平固定轴转动。开始时，杆 与水平成60角，处于静止状态，无初速度地释放后，杆球系统绕 O 转动，杆与 两小球为一刚体，绕 O 轴转动惯量J 。释放后当杆转到水平位 置时，刚体受到的合外力矩M ，角速度 。 解解：对 O 点杆球系统的转动惯量为： 2m 222 4 3 ) 2 (