《应用数学基础》谢政著课后习题答案国防工业出社习题解答.pdfVIP

习题 1 1 1 1 答案 1.设A,B,C是三个集合，证明： (1) ()()ABCABC=； (2)()()()ABCABAC= 证明(1)()ABCx|xABxC=或 x|xAxBxC=或或 x|xAxCB=或 ()ABC=. (2)()xABC ， 有xA且xBC 若xB， 则xAB； 若xC， 则xAC，从而()()xABAC，即 ()()()ABCABAC. 又因为()A BAB C，()A CAB C，所以 ()()()ABACABC， 因此()()()ABCABAC= 2.检验下列集合对于所给定的线性运算是否构成上的线性空间： (1) 所有n阶实对称矩阵的集合，按矩阵的加法和数乘； (2) 2 2 d ( )0, ( ) d x x txx t t = 为实函数，按通常的函数加法和数乘； (3) 1 0 0,1( )d0ff xx= : : : : ，按通常的函数加法和数乘； (4) 全体奇函数的集合，按通常的函数加法和数乘； (5) 在 2 上定义如下的加法和数乘: : : : TTT 1212112211 ( ,)(,)(,)x xy yxy xyx y=+， T T2 12121 (1) ( ,), 2 x xxxx =+ 解 (1) 构成线性空间 课后答案网 (2) 构成线性空间(根据求导运算的性质) (3) 构成线性空间(根据积分运算的性质) (4) 不构成线性空间因为零函数不是奇函数，所以不存在零元素 (5) 不构成线性空间，因为不存在负元素 3. 设X是数域上的线性空间，试证：X的零元素是惟一的；X中每个元素的负 元素也是惟一的 证明假设 1 , 2 均为X的零元素，由公理(3)可知 121 +=， 122 +=， 则 12 =，因此X的零元素是惟一的 xX ，若 12 ,yyx 均为 的负元素，由公理(4)可知 1 0xy+=， 2 0xy+=， 则 111222 00yyyxyyy=+=+=+=， 因此X中每个元素的负元素也是惟一的 4. 证明线性空间X的任何两个子空间的交是X的子空间试举例说明X的两个子 空间的并不一定是X的子空间 证明 设 1 Y， 2 Y均为线性空间X的子空间，显然 1 0Y， 2 0Y，则 12 YY 12 ,x yYY， ，有 1 ,x yY，且 2 ,x yY，则 1 xyY+， 2 xyY+ 1 xY， 2 xY， 即 12 xyYY+， 12 xYY， 因此 12 YY为X子空间 在向量空间 2 中， T ( 0) |Xx,x= ， T (0) |Y,yy= 均为 2 上的线性 子空间，但XY对加法运算不封闭，故XY不是 2 上的线性子空间 5. 设 n S 为凸集， m n A A A A，证明 SAx xAx xAx xAx x是凸集 证明 12 , S yyAx xyyAx xyyAx xyyAx x， 121122 , s.t.,S = =xxyAxyAxxxyAxyAxxxyAxyAxxxyAxyAx， 由于S 课后答案网 为凸集，因此0,1 ，有 12 (1)S +xxxxxxxx，从而 1212 (1)(1) +=+yyAxAxyyAxAxyyAxAxyyAxAx 12 (1) S=+AxxAx xAxxAx xAxxAx xAxxAx x， 因此 SAx xAx xAx xAx x为凸集 6. 设 m n A A A A， m b b b b，证明, n =xAxb xxAxb xxAxb xxAxb x0 0 0 0是凸集 证明记, n K=xAxb xxAxb xxAxb xxAxb x0 0 0 0，则 12 ,K xxxxxxxx，0,1 ，有 1212 (1)(1)(1)+=+=AxxAxAxb+b = bAxxAxAxb+b = bAxxAxAxb+b = bAxxAxAxb+b = b， 12 (1)+xxxxxxxx0 0 0 0， 即 12 (1)K+xxxxxxxx，从而K是凸集 7. 设X是定义在上的全体实函数构成的线性空间，计算下列集合所生成的子空 间的基和维数： (1)1,e , e () axbx xab； (2) 2 1,cos2 ,sinxx 解(1) 当0a时， 显然1,e , e axbx x是1,e , e axbx x所生成的X的线性子空间上 一个线性无关集， 从而1,e , e axbx x为其一组基， 因此该线性子空间的维数为 3； 当0a= 时，1, e bx x为此该线性子空间的一组基，该该线性子空间的维数为 2 (2) 因 2 1cos22sinxx=+，且 2 cos2 ,2sinxx 线性无关，故 2 cos2 ,sinxx为 2 1,cos2 ,sinxx所生成的X的子空间的一组基，其维数为 2 8. 任意取定 2 2 中的非零元素 0 ab cd = A A A A，定义映射 2 2 0 , T =XA XXXA XXXA XXXA XX (1) 证明T是 2 2 上的线性变换； (2) 求T关于基 10010000 , , , 00001001 的矩阵 解(1) 令 2 2 KT = X XX XX XX X|，则K为 2 2 的线性子空间，T为 2 2 K 上 课后答案网 的映射，且有 2 2 12 , XXXXXXXX，0,1 ，有 12012 ()()T+=+XXA XXXXA XXXXA XXXXA XX 010212 TT=+=+A XA XXXA XA XXXA XA XXXA XA XXX， 101011 ()=TT XAXA XXXAXA XXXAXA XXXAXA XX， 因此T为 2 2 上的线性变换 (2) 记 11122122 10010000 , 00001001 = EEEEEEEEEEEEEEEE， 则 11011 01000 00010 a Tac c =+ EA EEA EEA EEA E 12012 00100 00001 a Tac c =+ EA EEA EEA EEA E， 21021 01000 00010 b Tbd d =+ EA EEA EEA EEA E， 22022 00100 00001 b Tbd d =+ EA EEA EEA EEA E， 即 11122122 ,TTTTEEEEEEEEEEEEEEEE关于基 11122122 ,EEEEEEEEEEEEEEEE的坐标依次为 00 00 , 00 00 ab ab cd cd ， 因此T关于基 11122122 ,EEEEEEEEEEEEEEEE的矩阵为 00 00 00 00 ab ab cd cd 9. 设T是三维线性空间X上的线性变换，它关于基 123 ,e e e的矩阵是 课后答案网 123 103 215 = A A A A， 令 11 be=， 212 bee=+， 3123 beee=+，证明 123 ,b b b是线性空间X的基，并求T 关于基 123 ,b b b的矩阵 证明注意到 123123 111 ( ,)( ,) 011 , 001 b b be e e = 且 111 0110 001 ， 因此 123 ,b b b为线性空间X的基于是 123123123 111111 ( ,)( ,) 011( ,)011 001001 T b b bT e e ee e e = A A A A 1 123 111123111 ( ,) 011103011 001215001 b b b = 123 244 ( ,)346 238 b b b = ， 因此T关于基 123 ,b b b的矩阵为 244 346 238 10. 设X和Y是同一个数域上的两个线性空间，若TXY: : : : 是线性算子，且T 课后答案网 是满射，证明： (1) 逆映射 1 TYX : : : : 存在的充要条件是00Txx=； (2) 若逆映射 1 T 存在，则 1 T 也是线性算子 证明(1) 由于T是满射，则( )TY=R 必要性 假设T的逆映射 1 TYX : : : : 存在， 则T为单射 若0Tx=， 则由00T= 以及T为单射可知0x= 充分性 12 , xxX， 若 12 xx， 则 12 0xx，从而由假设知 12 ()0T xx， 即 12 TxTx，因此T为单射，则T的逆映射 1 TYX : : : : 存在 (2) 12 , yyY，由于T是满射， 121122 , , s.t.,xxXTxyTxy = =，则 11111 1212121212 ()()()TyyTTxTxT T xxxxTyTy +=+=+=+=+， 1111 11111 ()()()TyTTxT TxxTy =， ， 因此， 1 T 也是线性算子 11. 设T是线性空间X到线性空间Y上的线性同构映射，证明：X的子集 12 , k x xx线性无关，当且仅当Y的子集 12 , k Tx TxTx线性无关 证明由同构映射的定义可知，T是X到Y上的双射 Y的子集 12 , k Tx TxTx线性相关，当且仅当存在一组不全为零的数 12 , k ，使得 1 1221122 ()0 kkkk TxxxTxTxTx+=+=， 由于T是单射，因此这又等价于 1 122 0 kk xxx+=， 即X的子集 12 , k x xx线性相关这就证明了 12 , k x xx线性无关当且仅当 12 , k Tx TxTx线性无关 12. 设 T4 (1, i,1 i,2)=+x x x x， 求 1 |x x x x， 2 |x x x x和|x x x x， 这三种范数已在例 1.15 中定义 解由例 1.15 中的定义可知 1 1i1 i242= + + =+x x x x| | | | |； 2222 2 1(i)(1 i)22 2=+ +=x x x x| | | |； 课后答案网 14 max2 i i x =x x x x| | | | 13. 设 101 210 i11 i = A A A A， 求 1 |A A A A和|A A A A这两种范数已在例 1.16 中定义 解由例 1.16 中的定义可知 max2,3,22=22 = +A A A A| | |； 1 max4,2,124=+=A A A A| | | 14. 设(,| | ) n i是赋范线性空间， m n A A A A且矩阵A A A A的秩为n，证明 =xAxxAxxAxxAx| | | | | |， n x x x x 所定义的 i | | |也是 n 上的范数 证明只需验证范数的三条公理，, n x y， ，有 (1)0 =xAxxAxxAxxAx| | | | | |，由A A A A的秩为n知0 = x x x x| | | |=AxAxAxAx0 0 0 0 =x x x x0 0 0 0； (2) =xAxAxxxAxAxxxAxAxxxAxAxx| | | | | | | | | | | | | |； (3)() +=+=+xyA xyAxAyxyxyA xyAxAyxyxyA xyAxAyxyxyA xyAxAyxy| | | | | | | | | | | | | | | 15. 设X和Y是同一个数域上的两个线性空间，若线性算子TXY: : : : 保持范 数，即xX ，有Txx=| | | | | | |，证明T是单射 证明若0Tx=，则0xTx=| | | | = | | |，从而根据范数的非负性公理有0x=，因 此T是单射 16. 设| |pi和| |i是例 1.15 所定义的 n 上的范数，证明 lim | , n p p = xxxxxxxxxxxx 证明由例 1.15 所定义的 n 上的范数， n x x x x，有 () 11 11 max np pp p pii ii n xx = = xxxxxxxx| | | | | | |， 课后答案网 () 11 1 11 max np pp pp pii ii n xnxn = = xxxxxxxx| | | | | | |， 因此有 1 limlim() p p pp n =xxxxxxxxxxxxxxxx| | | | | | | | | | | | |， 即知lim p p =xxxxxxxx 17. 设| |pi和| |i是例 1.15 所定义的 n 上的范数，证明： n x x x x，有 1 |n xxxxxxxxxxxx： 212 |nxxxxxxxxxxxx； 2 |n xxxxxxxxxxxx 证明 n x x x x，有 1 111 maxmax n iii ii ni n xxnxn = =xxxxxxxxxxxx| | | | | | | | | | |； 又由 2 11 nn ii ii xx = 2 | 和 Hlder 不等式可知 11 1 22 2 2 12 111 1 nnn ii iii xxn = = xxxxxxxx 2 | | | | | | |， 因此有 212 nxxxxxxxxxxxx| | | | | | | | | | |； 而 () 11 2 22 111 maxmax n iii ii ni n xxnxn = = xxxxxxxx 2 | | | | | | |， 即 2 n xxxxxxxxxxxx| | | | | | | | | | 18. 设0k T 12 ( , , , ) n x xx =x x x x， T 12 ( , , , ) n n y yy=y y y y，定义 课后答案网 1 , n ii k i kx y = =x yx yx yx y, 证明, k i i是 n 上的内积 证明, , n x y zx y zx y zx y z，, ，有 (1) 2 11 ,0 nn iii k ii kx xkx = = x xx xx xx x，且 ,00(1,2, ) i k xin=x xx =x xx =x xx =x xx =0 0 0 0； (2) 11 , nn iiii kk ii kx yky x = = x yy xx yy xx yy xx yy x； (3) 1 ,() n iii k i kxy z = =+ x+y zx+y zx+y zx+y z 11 , nn iiii kk ii kx zky z = =+=+ x zy zx zy zx zy zx zy z 综上，, k i i满足正定性， 共轭对称性以及对第一变元的线性性， 于是, k i i是 n 上的内积 19., n n ij n nij n n ab =ABABABAB，定义 11 , nn ijij ij a b = =A BA BA BA B， 1 , n iiii i a b = =A BA BA BA B， 11 , () nn ijij ij ij a b = =+ A BA BA BA B 判断, i i，, i i，, i i是否为 n n 上的内积 证 明(1),1,2, i jn， 有 2 0 ijijij a aa=|， 从 而 ij n n a =A A A A， 课后答案网 ij n n b =B B B B， n n ij n n c =C C C C，, ，有 11 , 0 nn ijij ij a a = = A AA AA AA A， 且 , 00( ,1,2, ) ij ai jn =A AAA AAA AAA AA0 0 0 0； 1111 , , nnnn ijijijij ijij a bb a = = A BB AA BB AA BB AA BB A； 11 , (+) nn ijijij ij ab c = +=AB CAB CAB CAB C 1111 , , nnnn ij ijij ij ijij a cb c = =+=+ A CB CA CB CA CB CA CB C， 于是, i i是为 n n 上的内积 (2) 由于,00(1,2, ) ii ain =A AA AA AA A，因此这并不能得出A=A=A=A=0 0 0 0，于是 , i i不是为 n n 上的内积 (3) 与(1)类似，, i i满足正定性、共轭对称性及对第一变元线性性，于是, i i 是为 n n 上的内积 20. 设( , , )Xi i是内积空间，证明：内积,XX: : : : i i是连续映射 证明设 n x和 n y是X中分别收敛于x和y的任意序列， 则由 Schwarz 不等式知当n时，有 , nnnnnn xyx yxyx yx yx y=+ , nnnn xyx yx yx y+ , nnn xx yx yy=+ nnn xxyxyy=+| | | | | | | | | | |0， 因此内积是XX到的连续映射 课后答案网 21. 设( , , )Xi i是内积空间，, u vX，证明： (1) 若xX ，有, , x ux v=，则uv=； (2) 若xX ，有, 0x u=，则0u= 证明(1) 由条件知xX ，有, 0x uv=，从而,0uv uv=，根据内积的 正定性，0uv=，即uv= (2) 由条件知,0x ux=，从而由(1)得0u= 22. 设A，B是内积空间X的子集，证明 (1) 若AB，则BA ； (2)()AA 证明(1)aAB ，xB ，有,0a x=，从而xA，即得BA (2)aA ，xA ，有,0a x=，故()aA ，从而()AA 23. 在 Euclid 空间 4 上，求与向量组 TTT 123 (1, 1, 1, 1) , (1, 1, 1, 1) , (2, 1, 1, 3)=xxxxxxxxxxxx 正交的单位向量 解对 123 ,x xxx xxx xxx xx进行施密特正交化，然后单位化.过程如下： () T T 1 11 111 1,1, 1, 1, 22 222 = = e e e e； () T 22211 ,1, 1, 1,1= vxx e evxx e evxx e evxx e e， () T T 2 1111 1 1, 1, 1,1, 2222 2 = = e e e e； T 33311322312 1333 ,2,2 2222 =+= vxx e ex eexeevxx e ex eexeevxx e ex eexeevxx e ex eexee， T T 3 2333 2 2 2 3 2 2 2 ,2,2, 522105105 = e e e e； 123 e ,e ,ee ,e ,ee ,e ,ee ,e ,e即为所求 24. 利用内积的 Schwarz 不等式证明： i a (1, 2, )in=，有 课后答案网 2 2 11 1 nn ii ii aa n = 证明取 TT 12 (,),(1,1,1) nn n a aax =e =x =e =x =e =x =e =，则 2 11 ,( ) nn ii ii aan = = x ex xe ex ex xe ex ex xe ex ex xe e 由根据 Schwarz 不等式，有 ,x ex xe ex ex xe ex ex xe ex ex xe e， 从而 2 ,x ex xe ex ex xe ex ex xe ex ex xe e 将( )代入上述不等式，可得结论 25. 将下面向量组化成 3 的标准正交基： TTT 123 , , (1, 1, 0) , (i, 0, 1) , (i, i, 1) =x xxx xxx xxx xx 解易知 123 ,x xxx xxx xxx xx线性无关对 123 ,x xxx xxx xxx xx进行施密特正交化，然后单位化.过程如 下： () T T 1 222 1,1,0,0 222 = e =e =e =e =； T 22211 ii ,1 22 = vxx e evxx e evxx e evxx e e， T T 2 2ii66 ,1i,i,2 32266 = e e e e； 333113223 ,=vxx e ex eexv