第三章作业答案.pdf

信号与系统第三章作业（信号与系统第三章作业（P122-129）笔一部分）笔一部分 3.1-3.7 3.1 已知某 LTI 系统对e的特征值 H(j)如图所示，求系统对下列输入信号的响应： jwt (1) 直流信号Etx=)(； (2) = = 0 10 10 ,)( 0 weatx tikw k k 题 3.1 图 5-5 H(j) 1 解： =5, 5 1)(ww k jwH （1）因为：，Etx=)(0 0 =，由图得 H(j0)1 故：响应为：EEjHEjHty=)0()()( 0 （2）当输入为，由已知条件 tjk kk eatx =)(4k时，H(jw)不为零，而5k，H(jw)=0 故响应为： tjk k tjk kk ea k eajkHty ) 5 1 ()()(=，4k 当5k时，激励产生的响应为0（由于 tjk kk eatx =)(5k时，0)(=jkH） ，因 此有 = 4 4 ) 5 1 ( k ke a k = = 4 4 )()( tjk k k tyty 3.2. 求下列信号的傅里叶级数： (1)xttt4sin2cos)(+=； (2)x如图 3-31(a)所示; )(t (3)如图 3-31(b)所示; (4)x如图 3-31(c)所示; )(tx)(t (5) 如图 3-31(d)所示。 )(tx 解（1）方法一：根据欧拉公式直接写出指数如下的形式： 2244422 11111 ( )()() 22222 j tj tj tj tj tj tj tj t4 1 2 x teeeeeee jj =+= +e j 显然：w 2 0 = 2 1 2 j a= ； 2 1 1= a；0 0 =a 2 1 1= a； 2 1 2 j a = 方法二：因为周期为=T，2 0 =，傅立叶级数为： tjtjtjtj e j e j eetx 4422 2 1 2 1 2 1 2 1 )( +=； (2)如图 3-31(a)所示 )(tx 解：的周期为)(txT，有 T 2 0 = -E/2 题 3.2 图(a) t x(t) E/2 -2/T2/T 在一个周期内有： = 0 2 , 2 2 0 , 2 )( t T E T t E tx 设，其中 = = k tjk ke atx 0 )( = 2 2 0 )( 1 T T tjk k dtetx T a 0k时， =+= kj E dte E T dte E T a k T tjk T tjk k 2 ) 1(1 2 1 ) 2 ( 1 2 0 0 2 00 0=k时，； 0 0 =a (3)如图 3-31(b)所示 )(tx t T -T x1(t) E -T 4/T 题3.2图(b) -4/T 题 3.2 图(b) t x(t) E/2 -4/T -E/2 4/T T -T 解： 如图（b）与(b)，可设 2 )()( 1 E txtx+= 则为周期矩形脉冲，其周期为)( 1 txT，脉冲宽度为2T，脉冲幅度为E（其 Fourier 级数 我们已经在教材 P81 页求周期方波时求过，只不过幅度不同。 ） 若，则有k时， = = k tjk ke atx 0 11 )(0) 2 ( 2 ) 4 ( 4 0 0 1 k Sa ET kSa TE k =a， 2 10 E a= 设，则有 = = k tjk ke atx 0 )() 2 ( 2 1 k Sa E a kk =a，而0 2 100 = E aa 题 3.2 图(c) t x(t) E/2 -E/2 T -T 4/T -2/T2/T (4)如图 3-31(c)所示 )(tx 解：的周期为)(txT 当 22 T t T 时，t T E tx=)( 设 = = k tjk ke atx 0 )( 则有k时，0 = k Ej dtte T E T dtetx T a k T T T T tjktjk k 2 ) 1(1 )( 1 2 2 2 2 00 当时，0=k0 0 =a (5) 如图 3-31(d)所示。 )(tx -4 -2 54216 1 2 如图的周期为 4，设，在一个周期内 )(tx = = k tjk ke atx 0 )( 解：方法一(直接计算，因为该题特别简单，被积函数是 1 或 2，直接计算也很容易)： ; 2 ) 1(2 22 2 1 2 4 1 2 2 1 2 4 1 )( 1 2 22 2 1 2 1 0 2 2 1 4 2 1 0 4 2 0 2 + = + = + = += = = = = kj e eee kj jk e jk e dtedtedtetx T a k jk jk jk jk t t tjk t t tjk tjktjkTt T jk k 当时，0=k 4 3 0 =a 方法二：令)()()( 21 txtxtx+=，其中， = 41 0 10 1 )( 1 t t tx = 42 0 20 1 )( 2 t t tx )( 1 tx与都是周期为 4 的周期信号，设， )( 2 tx = = k tjk ke ctx 0 11 )( = = k tjk ke ctx 0 22 )( 则有 = = += k tjk kk k tjk k eccectx 00 )()( 21 当时，0k = kj e c k j k 2 1 2 1 ， kj e jk k 2 1 2 =c， 即有 =+= kj ee ccc jk k j kkk 2 2 2 21 ，其中 4 3 0 =c； 3.3 (1)求冲激串的傅里叶变换； = = k T nTtt)()( (2)已知某一 LTI 系统的单位冲激响应 h(t)，如图 3-32 所示，求该系统对冲激串响 应 y(t)的傅里叶级数。 )(t T T/4-T/4 图(b) h(t) t 图(a) y(t) x(t) h(t) 图3-32 题 3.3 图 0 解：(1)答案为 = = = kk kk T jX)()( 2 )( 000 可有 2 种方法，一是直接计算， 如教材 P95，式（3-80） ；二是如下应用频移性质 由于，是周期为 = = k T nTtt)()(T的周期信号 设，其中 = = k tjk kT ect 0 )( T dtet T c T T tjk k 1 )( 1 2 2 0 = 即 = = k tjk T e T t 0 1 )( （其中 T 2 0 =） 由于1 )(2FT 根据傅立叶变换的频域平移性质有， )(2 0 0 ke FTtjk 因此有)()()( 2 )( 0 0000 = = =kk FT T kk T t； (2) 由于系统的单位冲激响应 h(t)已知，可以据此而求出其频谱。因为 h(t)是方波脉冲，直 接由典型信号的频谱得： ) 4 ( 2 )()( T Sa T jHth FT = 由于激励 = = k tjk T e T t 0 1 )( ，为复指数信号，由系统特征函数的概念，可得响应 y(t)的 傅里叶级数形式为： = = = = k tjk k tjk k tjk e k Sae Tk Sa T T ejkH T ty 000 ) 2 ( 2 1 ) 4 ( 2 1 )( 1 )( 0 0 3.4 （1）如果以 T 为周期的信号 x(t)同时满足 ) 2 ()( T txtx=，则称 x(t)为奇谐信号，证 明奇谐信号的傅里叶级数中只包含奇次谐波分量 （2）如果 x(t)是周期为 2 的奇谐信号，且 x(t)=t，0t1，画出 x(t)的波形，并求出它的 傅里叶级数系数。 (4/)(4/)(4/) 2 2 0 2 111 ( )( )( ) T T jNT tjNT tjNT t T N T ax t edtx t edtx t edt TTT =+ 解： （1）只需要证明奇谐信号的傅里叶级数中偶次谐波分量的系数为 0。 (4/)(4/) 2 0 2 1 ( )() 2 T T jNT tjNT t T T )x t edtx tedt T =+ (4/)(4/) 22 00 1 ( )( ) TT jNT tjNT t x t edtx t edt T =+ 0= 故只含奇次谐波分量 （2）， = 10 01 1 )( tt tt tx 设 = = k tjk ke ctx 0 )( 有 = 2 2 0 )( 1 T T tjk k dtetx T c ， ) 2 1 ( 2 ) 1(1 2 1 ) 1( 2 1 1 0 0 1 + =+= jkkj dttedtetc k tjktjk k 当为偶数时，c，当k为奇数时，k0= k ) 2 1 ( 1 jkjk ck+=； 3.5 利用傅里叶变换公式，求下列信号的傅里叶变换 （1）e （2）)2( )2(2 tu t 32 t e （3）)()(+tt （4）)2()2(+tutu dt d （5）； （6）)1()()(= tutuetx t + = 其他, 0 1,cos1 )( tt tx 解： （1） j e jX j + = 2 )( 2 （答案） j e j e dte dteedtetuedtetxjX j t t tj tj tjttjttj + = + = = = = + + + + + + 2)2( )2()()( 2 2 4)2( 2 4)2( 2 )2(2)2(2 （2） 2 333 4 4 22 )( + = + + = jjj e j e j e jX（答案） 2 333 3 6)2( 3 6)2( 3 6)2( 3 6)2( 3 )3(2 3 )3(2 32 4 4 22)2()2( )()( + = + + = + + = += += = = + = = + + + + + jjj t t tj t t tj tjtj tjttjttj t tj e j e j e j e j e dtedte dteedteedteedtetxjX （3）cos2)(=jX（答案） cos2)()()()(=+=+= jjtjtj eedtettdtetxjX （4）2sin2)(jjX=（答案） )2()2()2()2(+=+tttutu dt d 2sin2)2()2()()( 22 jeedtettdtetxjX jjtjtj =+= （5） + = + j e jX j 1 1 )( )1( （答案） j e dtedtetxjX j tjtj + = + + 1 1 )()( )1( 1 0 )1( ； （6）)()()(2)(+=SaSaSajX（答案） )()()(2)cos1 ()()( 1 1 +=+= SaSaSadtetdtetxjX tjtj ； 3.6 利用傅里叶反变换公式，求下列反变换 （1）)2()3()(+=jX （2） ) 2 3 ( )3()3(2)( + += j euujX 解： （1） 3 11 ( ) 22 jtjt2 x tee =+（答案） tjtj tjtj ee dedejXtx 23 2 1 2 1 )2()3( 2 1 )( 2 1 )( += += （2） 33 33()() 22 33 3 2sin3() 11 2 ( )2 3 2 () 2 jj t j t t x teeded t + = = （答案） ) 2 3 (3 6 ) 2 3 ( ) 2 3 (3sin2 ) 2 3 ( 1 )2( 2 1 2 2 1 )3()3(2 2 1 )( 2 1 )( 3 3 ) 2 3 ( 3 3 ) 2 3 (3 3 ) 2 3 ( ) 2 3 ( = = = = = + = = = = + + tSa t t tj e dedee deeuudejXtx tj tj tj j tj j tj 3.7 已知x(t)的傅里叶变换为)(jX， 试将P124图3-33所示各信号的傅里叶变换用)(jX 来表示。 3 5 1 图(c) x2(t) t 0 1 1.