固体物理基础习题解答67章.pdf

声明声明 第一条第一条 佐正： 第 1 章第 5 题 “原子数、 面密度” 改为 “原 子数面密度” ；第 6 章第 6 题按照小生的理解来作解 答；第 6 章第 7 题“施” “受”主互换；第 7 章第 6 题“F”理解为“L” ；第 7 章第 7 题“原于量” 改为“原子量” 。 第二条第二条 本习题解答基于版本：固体物理基础-西安电子 科技大学出版社(曹全喜 雷天明 黄云霞 李桂芳 著) ，且仅限于习题解答，而不包含思考题部分； 第三条第三条 此版本只含有习题参考答案 （部分题目提供了多 种解法） ，而不含有思维分析，若要交流，请百度嗨 小生； 第四条第四条 本习题解答由“苏大师”整理/解答/编排而成； 第五条第五条 前五章链接： /view/bbbc2a2b6edb6f1af f001fc2.html 第六条第六条 纰漏难免，欢迎指正； 第七条第七条 不加水印 方便打印 版权所有 网传必究！ 38 第第 6 章章 晶体中的缺陷晶体中的缺陷 习题习题 1、 设有某个简单立方晶体， 熔点为 800， 由熔点结晶后， 晶粒大小为 L=1um 的立方体，晶格常数 =4，求结晶后，每个晶粒中的空位数。已知空位的形成 能 1eV。 解： 已知，熔点 T=800=1073.15K，L=1um=10-6m，=4=410-10m，u1=1eV 由 p257 式 6-7，有 1 B k T 1 nNe B 1 e V 63 1073.15 k 103 10 =e 10 （） （4） 3.18105 （个） 2、设有小角晶界，其上相邻两个位错的距离为 100 个原子间距，求此小角 晶界分出的两个镶嵌块的方向角。 解： 已知，d=100b 由 b d= 得 =0.010.57。 3、已知在 -Fe 中，碳的扩散激活能 =3.38104cal/mol，频率因子 D0=0.21cm2/s。 （1） 把 -Fe 放在富碳气氛中， 让碳原子扩散到晶体中去， 如果想要在 1200 下扩散 10h，使离铁晶体表面深 3mm 处碳的浓度达 1%（重量） ，试问表面需保 持的碳浓度的质量百分比为多少？ （2）在 T=1100下，要想在离表面 1mm 处的碳浓度达到表面碳浓度的一 半，问需要扩散多长时间？ 解： 已知，=3.38104cal/mol=3.381044.1868J/mol， D0=0.21cm2/s=2.110-5m2/s （1）又知，T=1200=1473.15K，t=10h=103600s x=3mm=310-3m 由 p272 式 6-29 得 39 扩散系数 B k T 0 D=D e （1） = 2.1 1052 exp3.38 104 1.1868/ (6.02 1023) 1473.15 (1.38 104) = 2.0 10102 再由 p268 式 6-19 有 0.01=C01- erf( 2) 解得 0.560.55 2 x z Dt 根据 p269 表 6-4 中的数据 解得 erf(z)=0.5633 进一步 得 0 0.0230.02C 注意：从量纲可知，要将 1mol 的能量换算成 1 个的能量。 （2）又知，T=1100=1375.15K，x=1mm=10-3m 且有 0 1 2 C C 同（1）得 z=0.55 即有 3 10 0.55 22 x DtDt （2） 现在需要求得 D 值。 同（1）可知，将 T=1373.15K 代入（1）式 得 D=8.610-11m2/s 现在将 D 值代入（2）时得 t9609.8s2.67h 4、同 3、 （1） 5、同 3、 （2） 6、 铝中的肖特基缺陷的形成能为 0.75eV， 弗伦克尔缺陷的形成能约为 3.0eV， 问当温度分别为 300K 和 900K 时，肖特基缺陷和弗伦克尔缺陷浓度之比分别为 何？ 解： 已知，1=0.75eV，1=2=3.0eV 40 （1）当 T=300K 时： 由 p257 式 6-7 和式 6-9 有 1 1 1 212 2 () 2 e = e B B nk T n N nk T n NN C C 1923 1923 0.75 1.6 10(1.38 10300) 3.0 1.6 10(2 1.38 10300) 12 e e 3.87 10 （2）当 T=900K 时： 将 T 值代入（1）中式子得 1 2 4 157061.6 10 n n C C 7、假定将一个钠原子由钠晶体内部移至表面所需要的能量为 1eV，试计算 300K 下肖特基缺陷的浓度。 解： 已知，1=1.0eV，T=300K 同第 6 题 有 1 1 17 1 6.6 10 B k T n n Ce N 8、金在硅中引入一个导带底下的 0.54eV 的施主能级和价带顶上 0.35eV 的 受主能级，在下列掺杂情况下的硅中，金能级将是什么电荷状态： （1）高浓度施主（相对于金浓度而言） ； （2）高受主原子浓度。 解： （参见 p277） 结论：当 NdNa 时，其为 n 型半导体，呈现负电荷状态； 当 NdNa 时，其为 p 型半导体，呈现正电荷状态。 41 第第 7 章章 晶体的导电性晶体的导电性 习题习题 1、晶格散射总是伴随着声子的吸收或发射，因此电子被格波的散射不是完 全的弹性散射，但近似是弹性散射。试就铝的情况说明之。已知铝的费米能级 EF12eV，德拜温度D428K。 证明： （可参考课外微扰理论的知识以加深理解） 我们知道，与电子和光子的碰撞类似，电子和声子的碰撞也遵守准动量守恒 和能量守恒定律。现在我们以单电子散射（即发生的电子与晶格交换一个声子） 过程来做分析证明。 类比 p119 的式 3-61（光子的情形）可知，有 E K =E K 产生一个声子 E K =E K 吸收一个声子 上式说明，电子在跃迁的时候，能量是不守恒的，也就是说，电子被格波的 散射不是完全的弹性散射；电子能量的增减显然是来自于晶格振动，而且由于长 声学波能量相对于电子的能量而言是极其微小的。 （可参见 p119 有关于声子 -光子的内容，以及 p316 有关 BCS 理论的内容。 ） 现在我们假设赋予声子以最大的能量作比较，由德拜理论可知，最高声子的 能量即是 21 max =k5.9 100.0370.003 BDF eVE （小于百倍， 可直接忽 略） 可知，声子能量最多为费米能的千分之几，很小，因此，散射可以近似为弹 性散射。 补充：晶格散射和电导的推导 我们知道，能带理论提供了解决散射机制的前提。在理想的完全按照规则排 列的原子的周期性势场中，电子将处于确定的K 态，不会发生跃迁。因此，不 会产生电阻。但是，在实际上我们知道，原子并不会静止不动的呆在格点上，由 于有不断地热振动，原子经常会偏离原来的格点位置，因而其会对周期场产生微 扰，从而会引起电子的跃迁，这样的散射机制被称为晶格散射。 首先具体考察在 n R 格点上的原子，位移为 n 时将引起怎样的微扰。令 V r 表示一个原子的势场，那么处于格点 n R上原子的场为 n V rR，当它的 42 位移为 n 时，假设势场本身并未变化，只是随原子位移了 n ，则势场应写为 nn V rR ，两者相减得到原子位移引起的势场的变化： nnnnnn VV rRV rRV rR （1） 其中，把V 在 n rR点的附近按 n 作级数展开，并保留到一级相。 原子的热振动采取格波的形式，具体考虑简单格子的情况，只有声学波。并 以弹性波近似代替声学波。原子的位移 n 用如下形式表示 cos nn Aeq Rt （2） 式中e 表示振动方向上的单位矢量。A 为振幅。在各向同性的介质中，存 在横波和纵波，对于横波eq，对于纵波|eq。弹性波具有恒定的速度，即对 于横波 C=Ct，对于纵波 C=Cl，根据式（1）和式（2） ，立刻可以写出一个格波引 起的整个晶格中的势场变化 cos nnnnn nnn HVV rRAq RteV rR 11 22 nn iq Riq Ri ti t nn nnnn AeeeV rRAeeeV rR （3） H可以看作是一个微扰， 根据量子力学的微扰理论， 将本征态之间的跃迁。 由式（3）得，从k 态到 k 态的跃迁几率可以写成 2 2 2 1 2 2 , 1 2 n n iq R n n iq R n n kAeeV rRkE kE k k k kAeeV rRkE kE k （4） 式中的 函数说明，电子的能量在跃迁中时不守恒的，或者说，电子被格波 的散射不是完全的弹性散射，即 E K =E K 产生一个声子 E K =E K 吸收一个声子 2、以硅为本底的 n 型半导体中只含有施主杂质，其浓度为 1015cm-3，在 40K 的温度下，测量这个 n 型半导体的多数载流子浓度，即电子浓度为 1012cm-3，试 估算电离能Ed。 （补充数据：在室温（300 K）硅的有效能级密度约为 2.8 43 1019cm-3。 ） 解： 已知，有 ND=1015cm-3，n=1012cm-3（T=40K） ，N-=2.81019cm-3（T=300K） ， 查资料知，在杂质激发的情况下，有导带中电子的数目 d d / / 11 4(/) 2/ B B Ek T D Ek T NNe n eN 但是，当温度相对很低时，有 d/2B Ek T D nN N e p257 式 6-9 （1） 又知有效能级密度，则由有效能级密度公式 *3/2 3 2(2) B m k T N h ， ，根据在 T=300 K 时 Si 的有效能级密度，可计算出 T=40K 时的有效能级密度 N-=1.361018cm-3 （2） 然后将（2）和 n、T=40K、ND代入公式(1)计算出施主杂质的电离能Ed， = 2 ln =1.1610-20J0.073eV 3、锑化铟的介电常数为 17，电子有效质量为 0.014m0。 （1）计算施主电离能。 （2）计算基态轨道半径。 （3）计算基态轨道开始重叠时的施主浓度。在此浓度下会出现什么效应？ 为什么？ 解： （1）利用氢原子基态电子的电离能 0= 1= 04 80 22= 13.6eV 可将计算浅施主杂质电离能的类氢模型表示为 *4* 0 2222 00 8 nn D rr m qm E E hm （p274） 带入锑化铟的相关数据 mn*=0.014m0和r=17，得 4 2 13.6 0.0146.59 10 eV 17 D E （2）利用氢原子基态电子的轨道半径 2 12 0 0 2 0 52.9 10m h r m q 44 可将浅施主杂质弱束缚电子的基态轨道半径表示为 2 12-8 0 d0 *2* 17 =52.9 106.4 10 m64nm 0.014 ro nr nn hm rr m qm a （3）我们设想施主杂质很均匀地排列成一个立方格子，而且立方格子的边 长即为 2ad，因此有， （令浓度为 C） (2ad)3C=1 20 3 d 1 C=4.77 10 2a （） m-3 解释： 当施主浓度越过这个数值时，相邻的施主上的基态电子轨道将会发生交叠， 这时杂质能级将会扩展成为一个杂质能带。即有，束缚于杂质上的电子，可以在 不同的原子之间转移，致使杂质带呈现出一定的导电性。 不过，与晶体能带中的电子相比，杂质带中的电子运动要困难很多，只是在 低温的情况下，当能带中的载流子对电导的贡献变得很有限时，杂质带中的导电 性才会明显表现出来。 4、如果 n 型半导体中的浓度为 1015cm-3，电子的迁移率是 1000cm2/Vs， 计算这个 n 型半导体的电阻率。 解： 已知，n=1015cm-3，=1000cm2/Vs 由 p298 式 7-49 有 =ne 得 11 =6.25cm ne 5、设晶体同时存在多种散射机制，试证明电子的迁移率 满足： i i 11 = 其中，i是第 i 种散射机制单独存在时的迁移率。 解： （参见 p299） 在任何时候都有可能有几种散射机制同时存在，因而在计算时，需要把各种 散射机制的散射概率相加，得到总的散射概率 P， 123 P=P +P +P + 45 P1,P2,P3等分别表示各种散射机制下的散射概率。则，平均自由时间为， 123 11 = PP +P +P + 即有， 123 123 1111 = P + P + P +=+ 除以 * e m ，得到， 123 1111 即有， i i 11 = 6、在二类超导体中，总的自由能等于磁场的能量加上超导电流表的能量， 证明二类超导体的超导相中的磁场满足伦敦方程： 22 L B=0 当外加磁场大于第一临界磁场时，磁通管会穿透进入超导体，由伦敦方程计 算磁通管的半径。假设伦敦长度 F 为 200nm，计算在磁通管外的超导电子浓度 ns。 解： （1）证明： （相关内容参见 p313 和 p314） 第二类超导体又称为伦敦超导体， 它常常包含一些过渡金属或者合金超导体。 此类超导体的电子有效质量很大，所以伦敦穿透深度也很大，L约为 2000 的量级。由于这类超导体的能带结构复杂，费米速度很小（ F 约为 105cm/s） ， 超导载流子的波包尺度 0F ，此时伦敦方程可以很好地解释超导体的迈斯 纳效应。 因此第二类超导体的超导相中的磁场更加应当满足伦敦方程。 （2）对于超导体，磁通线的中心是一个半径约为相干长度 的圆柱形正常 区， 它外面存在一半径约为穿透深度 L的磁场和超导电流构成的磁通管区域。 那么，有（参见 p314） 2 0 L s m n e 46 （3）知，伦敦长度为 L=200nm（即是题中的 F） 由 p314 式 7-103 有 1 2 2 0s L n e m 即有 323 7 10m s n 个 7、铝的德拜温度为 375K，超导临界温度为 1.2K。铝是 fcc 的晶体，属于A 族，原子量为 27，晶格常数为 0.405nm。用自由电子费米气体的模型估算铝的 费米面上的能态密度。 解： 现在计算电子浓度 n，由于题中所给的数据有重复，在此将呈现两种计算方 法： 方法一：查知铝的密度为 2.