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北京工商大学高等数学试题及答案（一） 一、选择题： 。 1 极限 x x x 2sin lim 等于 （ ） A0 B 2 1 C1 D2 2 设)(xf为连续函数，则 dxxf dx d )(等于 （ ） ACxf+)( BCxf+)( C)(xf D)(x f 3 设常数0k，则级数 = 1 2 ) 1( n n k n 为 （ ） A条件收敛 B绝对收敛 C发散 D收敛性与k有关 4 方程 22 yxz+=表示的二次曲面是 （ ） A椭球面 B柱面 C圆锥面 D抛物面 5 设函数)(xf在ba,上连续，在),(ba内可导，)()(bfaf=，则曲线)(xfy =在),(ba 内平行于x轴的切线 （ ） A仅有一条 B至少有一条 C不一定存在 D不存在 二填空题： 6 设)(, 1 )(xff x xf则= 7 极限 4 6 lim 2 2 2 + x xx x = 8 由曲线1, 1, 0, 3 =xxyxy所围图形的面积为 9 曲线xxxy= 23 3的拐点坐标为 10设 2 x为)(xf的一个原函数，则)(xf= 11设平面过点（1，0，1）且与平面0824=+zyx平行，则平面的方程 为 12设) 2 ln( x y xz+=，则 )0, 1( x z = 13交换二次积分次序： 1 00 ),( x dyyxfdx= 14幂级数 = 1 2 )2( n n x n 的收敛半径为 15微分方程0=+ yy的通解为 三、计算题： 16 计算 2 0 2 lim x ee xx x + 17 计算 x x x x 1 0 2 2 lim + 18 设函数 + = f ， 所以1=x为)(xf的极小值点 )(xf的极小值为 = 1 2 1 1 2 1 1 2 1 lnlndttttdt ) 12(ln 2 1 = 解法二 = x x dtttxf 2 1 2 1 ln)( )2ln1 ( 2 1 ln+=xxx， xxfln)(=， 令0)(= x f，得1=x 而01) 1 (, 1 )(= = f x xf， 所以1=x为)(xf的极小值点 )(xf的极小值为 ) 12(ln 2 1 )2ln1 ( 2 1 1) 1 (=+=f 27设曲线)(xfy =上任一点),(yx处的切线斜率为 2 x x y +，且该曲线经过点 2 1 , 1 （1）求函数)(xfy =； （2）求由曲线)(xfy =，1, 0=xy所围图形绕x轴旋转一周所得旋转体的体积 V 解： （1） 22 1 ,xy x yx x y dx dy =+=， + = Cdxexey dx x dx x ) 1 ( 2 ) 1 ( +=Cxx 2 2 1 ， 由 2 1 1=x y知0=C，故 3 2 1 )(xxf= （2） = 1 0 2 )(dxxfV = 1 0 6 284 dxx 28设平面薄板所占xOy平面上的区域 D 为0, 0, 41 22 +yyx，其面密度为 22 ),(yxyx+=求该薄板的质量m 解法一 = D dyxm),( += D dxdyyx)( 22 在极坐标系下，区域 D 可表示为： 21 , 2 0r 因此 = 2 1 3 2 0 drrdm 8 15 ) 12( 8 4 = 解法二 = D dyxm),( += += 22 2 4 0 22 2 1 4 1 22 1 0 22 )()( )( xx x D dyyxdxd