北航概率统计试卷及答案解析.pdf

一、一、 选择题，根据题目要求，在题下选项中选出一个正确答案选择题，根据题目要求，在题下选项中选出一个正确答案（本题共本题共 3636 分，分， 每小题各每小题各 4 4 分分） 1、设总体 2 ( ,)XN , n xxx, 21 为来自X的样本，(2)n ； 记 1 1 n i i xx n ， 22 1 1 () 1 n i i sxx n 。 在未知方差 2 ，检验假设 0 H: 0 时，选取检验用的统计量是 A 。 A. 0 1 x Tt n s n ； B. 0 (0,1) x UN n ； C. 1 x Tt n s n ； D. 0 1 1 x Tt n s n 。 Answer: 作为统计量的一定不会是未知量，C 就是因为为未知量而不可行的。 又由于方差未知，所以选择 t 分布。 2 0 2 2 2 0 0 ( ,) (0,1) n (1) (1) 1 n n : (1) xN n x N ns n x Tt n s x Detailed T n 2 2 (1) s n 00 nn xxs s 2、设X为随机变量,且1 . 0, 1DXEX,则一定成立的是 B 。 A. 9 . 011XP ； B. 9 . 020 XP； C. 9 . 01 . 0|1|XP； D. 1 . 01 . 0|XP 。 Answer:此题考查的是切比雪夫不等式： A 卷 5 页-1 2 () (|()|) 0.1 (|1| 1)=0.1 1 (|1| 1)1-0.1=0.9 (02)0.9 D X PXE X PX PX PX 3、设 10021 ,XXX为总体)2 , 1 ( 2 NX的一个样本, 100 1 1 100 k k XX , 选取常数, a b，使得) 1 , 0( NbXaY,则选 。 A. 5,5ab ； B. 5,5ab ； C. 11 , 22 ab ； D. 11 , 22 ab 。 Answer: 2 2 2 2 2 (1,) 100 4 ( ,) 100 4 (,) 100 0 4 1 100 55 5-5 XN a aXN a a aXbN ab ab a aa bb 或 4、设 12 , n X XX为来自总体X的样本，(2)n ；总体均值EX， 总体方差 2 DX， 记 1 1 n k k XX n ， 2 2 1 1 () n k k BXX n , 下列表述中正确的结论是 。 A. 2 ( ,)XN n ； B. 2 2 2 (1) n Bn 。 C. 2 B是 2 的无偏估计量； D. 22 2 1 1 n k k BXX n ； Answer:本题 A 项陷阱在于，题目并未提及： 12 , n X XX服从正态分布，所以并不可以说 2 ( ,)XN n ，但是可以说X的均值为,方差为 2 n . A 卷 5 页-2 B 项与 A 项的毛病是相同的， 式子本身没错， 可是缺少了前提条件 12 , n X XX服从正态分布,注意这里 2 B 并不是 2 s. 2 B学名为 2 阶中心矩. C 项里应当是 2 s为 2 的无偏估计量. D 项推导过程如下: 2 2 1 2 2 1 2 2 1 2 2 1 1 2 2 11 2 1 2 22 1 1 2 2 1 1 () 1 (2) 1 (2) 1 (2) 2 1 1 2 () 1 n k k n kk k n kk k n kn k kk k nn kkn kk k k n kn k k k n k k BXX n XX XX n XX XX n X XXX nn XX XX nn X XX nn XX n 5、设随机变量X的概率密度为)(xf,分布函数为( )F x， 且当0( )00( )=0xf xxf x时，；当时，； 对01,设x是方程( )F x的解， 下列表述中正确的结论是 。 A. 1 22 1PxXx ； B. 2 1 33 1P xXx ； C. 1 2 | 1PXx ； D. 1 2 | 1PXx 。 Answer:此题有一处陷阱，与某年原题并不相同，当时，；当时，0( )00( )=0xf xxf x A 卷 5 页-3 意味着F(x)的图像只能是在 0+上的单调递增曲线,依图来看 即可得到答案：要注意 f(x)在左侧为 0，所以 11 222 0PxXxPXx 。 那么我们根据 f(x)在左侧为 0 的规律去掉选项中的无效区域，即以下新选项： A、 11 222 0 PxXxPXx B、 2 1 33 P xXx C、 1111 2222 |0 PXxPxXxPXx D、 1111 2222 | PXxP XxXxP Xx 求得去掉无效区域的选项后，我们如何求得题目要求的数据呢？ 2 1 33 P xXx 如果以图像表示则是这样的： 图中浅蓝部分的面积是: 2 3 ,浅蓝+深蓝部分的面积是: 1 1 3 ,所以夹在其 中的深蓝部分的面积即为:1 ,那么即 2 1 33 1 P xXx 6、设随机变量),(YX的分布函数为( , )F x y，对任意实数z， 则有 max , PX Yz 。 A. ( , )F z z ； B. P XzP Yz； C. 1 ( , )F z z ； D. ,P Xz Yz 。 Answer:max , 1min , 1( , )PX YzPX YzF z z 7、设随机变量X的概率密度为 xx ee a xf )(, x ,（常数0a） ， A 卷 5 页-4 则 0ln 3PX 。 A. 6 1 ； B. 6 ； C. 12 1 ； D. 2 。 ln 3ln 3 00 ln 3ln 3 22 00 3 3 2 1 1 ( ) () 11 arctan 121 lim( )1 2 1 0ln 3 6 | xx x x xx x x a f x dxdx ee aea dxd e ee a dxax x f x dx a PX 由于 8、在半径为a的圆内,取定一直径，过此直径上任一点作垂直于此直径的弦, （常数0a） ， 则弦长小于a2的概率为 。 A. 2 2 ； B.12 ； C. 2 2 1； D.)22( a。 作图即可。属于几何概型。 9、设随机变量YX,的二阶矩 22 ,EXEY存在， 下列不等式中正确的结论是 。 A. 1 2 2 |()| ()E XEX ； B. 111 222 222 (| )()()E XYEXEY； C.|(, )|Cov X YDXDY ； D. 11 22 22 |()| ()()E XYEXEY。 这个记住结论就好。 D 项推导过程如下: 2222222 ()(2)()2 ()()(=*)E XtYE XtXYt YE YE XYttE X 由于 2 ()XtY0,所以 2 ()E XtY0,所以(*)式0.又由于 2 ()E Y0,所以(*)式代表的二次方程必然无解,即有 222 4()4 () ()0EXYE YE X 即： 要求区域 A 卷 5 页-5 22222 ()() ()()() ()EXYE XE YE XYE XE Y， 二、二、 填空题填空题（本题满分本题满分 3636 分，分，每小题每小题 4 4 分分） 1、设BA,为随机事件,85. 0)|(, 8 . 0)(, 6 . 0)(ABPBPAP,则)|(BAP 。 ( )1( )0.2 ( |)1( |)0.15 ()( |)( )0.15 0.4=0.06 ()( )()0.14 ()0.14 (| )0.7 0.2( ) P BP B P B AP B A P ABP B AP A P ABP BP AB P AB P A B P B 2、设在试验 E 中事件A发生的概率 )(AP (01), 把试验 E 独立地重复做下去, 令 n B “在前n次实验中事件A至少发生一次” ， 则lim () n n P B 。 Answer:一旦涉及到lim ( )? n P X 的题时，后面的不是 0 就是 1，根据经验判断即可。 n B不发生的概率会越来 越低，直到 0 为止。所以 n B趋于 1. 3、设总体),( 2 0 NX, 12 , n x xx 为来自总体X的一组样本值， 0 已知。 则参数 2 的极大似然估计 2 。 Answer:本题中与书上的不同之处在于 0 已知。这意味着在 2 表达式中不可以使用X来代替 0 2 2 0 0 2 2 1 () () 22 2 12 1 2 22 2 20 2 1 2 0 22 22 1 22 0 1 11 (,;) 2 (2 ) () () lnln(2 )ln() 222 1 ln()0 ()2()2() 1 () n i i i x x n n nn i n i i n i i n i i L x xxee xnn L n Lx x n 4、 设 n XXX, 21 为来自于总体X的样本； 总体均值EX， 总体方差 2 DX， 常数C,使得 2 1 1 1 )( i n i i XXC 为 2 的无偏估计,则C 。 A 卷 5 页-6 Answer: 11 222 111 11 1 22 11 1 1 2222 1 1 2 () (2) ()()2 () () 2(1)()() 2(1) 2(1) 1 2(1) nn iiiiii ii n iiii i n ii i E CXXCE XXXX CE XE XE XE X CnE XE Xn Cn C n 5、 设随机变量 n X的概率密度为 22 1 ( ) 1 n n fx n x , x,(1,2,)n 。 则对任意0，成立lim | | n n PX 。 Answer: 可以看到,当 n 越大时,( ) n fx越小，而| n PX在图形中指的是( ) n fx函数与 x 轴之间所夹的面积，所 以 n 越大时，其值越小，趋于 0 6、设一袋中有n个白球和m个黑球,现在从中无放回接连抽取N个球, 记 i A“第i次取时得黑球” ， (mnNi1)， 则() i P A 。 Answer: 本题需要对题目进行理解。这个问题可以参考一下抽签的问题。在我们并不知道前 i 次所取得的球颜色时，我 们取得某种球的概率和次数无关。这是抽签公平性的理论保障。所以() i m P A nm 7、设总体)4 , 1( 2 NX, 921 ,XXX为总体X的一个样本,X为样本均值, 则 1| XP 。 (已知9332. 0)5 . 1 ()。 Answer: 2 2 41( 1) ( 1,4 ),( 1,), 11()(0) 4 9 3 (1.5)(0)0.93320.50000.4332 XNXNPX 8、设随机变量),(YX的概率密度为 其它, 0 20 , 10 ,2 ),( xyxxy yxf， 则Y的边沿概率密度)(yfY 。 Answer: Y的边沿密度应当是与y有关的，而与x并无关系，要把握这一点。所以，为了求导，在题目上是 A 卷 5 页-7 2,01,02 ( , ) 0, xyxyx f x y 其它 的形式，我们需要把它变成下列形式： 2,02,1 ( , )2 0, y xyyx f x y 其它 ,通过对 x 积分求出在02,y上( ) Y fy的函数表达式， 求( ) Y fy过程如下： 当02,y 1 3 2 2 1 ( )2 4 2 Y y y fyxydxx yy y ; 其余，0； 9、某一射手向一目标射击,每次击中的概率都是) 10( pp,现连续向目标射击, 直到第一次击中为止,设子弹的消耗量为X，则EX 。 Answer: 列出分布表，我们可以看到实际上这是一个级数求和的问题 X 1 2 3 n P p (1)pp 2 (1)pp 1 (1)npp 1 1 0 lim(1) n k n k EXkpp 可以看出EX实际上可以这么写 1 11 1 2 (1),lim(1)lim(1)() (1) (1) (lim)(1) lim(01) 1 (1) () 1 1 (1) (1) 11 1 1 nn kk nn kk nn k nn k px EXkx xxx xx xxxx x x x x x x xp EX p 设为 三三、 （满分、 （满分 8 8 分）分）接连不断地掷一颗匀称的骰子,直到出现小于 5 的点数为止, 以X表示最后一次掷出的点数,以Y表示掷骰子的次数。 试求： （1）求二维随机变量),(YX的分布律； （2） 求),(YX关于X的边沿分布律； 求),(YX关于Y的边沿分布律。 A 卷 5 页-8 四四、 （满分 20 分） （此题此题学学概率统计概率统计 A A的学生做，的学生做，学学概率统计概率统计 B B的的学生不做学生不做） 设随机过程)cos()(tatX,),(t,其中 )0(,a 是实常数, 服从区间)2 , 0(上的均匀分布, 试求： （1）写出的概率密度( )f； (2)( )E X t； （3）( )()E X t X t； A 卷 5 页-9 （4） 1 ( , ) 2 lim l l l X e t dt l ； （5） 1 ( , )( ,) 2 lim l l l X e t X e tdt l 。 四、 （满分 20 分） （此题学概率统计 B的学生做；学概率统计 A的学生不做） 设 12 , n X XX为来自总体X的样本； 总体均值EX， 总体方差 2 DX， 记 1 1 n nk k YX n ，(1,2,)n 。 试求： （1） n EY， n DY； （2）试证 n Y以概率收敛于； （3） 2 | n E Y； （4） 2 | n E Y ； （5）试证 22 lim| 0 n n E Y 。 一、一、单项选择题（每小题单项选择题（每小题 4 4 分，满分分，满分 3636 分）分） 1、A ；2、B； 3、A ；4、D； 5、B ；6、C；7、A ； 8、C； 9、D。 二、填空题（每小题二、填空题（每小题 4 4 分，满分分，满分 3636 分）分） A 卷 5 页-10 1、7 . 0)|(BAP； 2、lim ( )1 n n P B 。 3、 n i i x n 1 2 0 2 )( 1 ； 4、 ) 1(2 1 n C； 5、0； 6、 mn m A AA AP N mn m N mn i 11 1 )( 。 7 7、 、0.4332； 8、 其它, 0 20), 4 1 ( )( 2 y y y yfY； 9、 1 EX p 。 三、 （满分 8 分） 解 解 (1)依题意知X的可能取值为 1,2,3,4;Y 的可能取值为 , 3 , 2 , 1; 于是),(YX的分布律为 11 ) 3 1 ( 6 1 6 1 ) 6 2 (, jj jYiXP ,4 , 3 , 2 , 1i; , 2 , 1j . 4 分 (2) 1 , j jYiXPiXP 4 1 3 1 1 1 6 1 ) 3 1 ( 6 1 1 1 j j ,4 , 3 , 2 , 1i; 6 分 4 1 , i jYiXPjYP 111 4 1 ) 3 1 ( 3 2 ) 3 1 ( 6 1 4) 3 1 ( 6 1 jjj i , , 2 , 1j 。 8 分 四四、（满分 20 分） （此题学此题学概率统计概率统计 A A的学生做，的学生做，学学概率统计概率统计 B B的的学生不做学生不做） 解 （1） 1 ,02 ( )2 0, f 其它 ；4分 （2）)(tXE)cos(taEcos() ( )atfd 0 2 1 )cos( 2 0 dta ；8分 （3）)(cos()cos()()(tataEtXtXE A 卷 5 页-11 21 (cos()2 )cos) 2 E att 2 (cos()2 )(cos) 2 a EttE cos 2 2 a ；12分 （4）时间均值 l l l dtteX l