概率论与数理统计试题及答案.pdfVIP

概率论与数理统计概率论与数理统计 B B 一单项选择题（每小题一单项选择题（每小题 3 3 分，共分，共 1515 分）分） 1 1设事件设事件 A A 和和 B B 的概率为的概率为 12 ( ), ( ) 23 P AP B则则()P AB可能为可能为(D(D） (A)(A) 0;0;(B)(B) 1;1;(C)(C) 0.6;0.6;(D)(D) 1/61/6 2.2. 从从 1 1、2 2、3 3、4 4、5 5 这五个数字中等可能地这五个数字中等可能地、有放回地接连抽取两有放回地接连抽取两 个数字个数字, ,则这两个数字不相同的概率为（则这两个数字不相同的概率为（D D） (A)(A) 1 2 ; ;(B)(B) 2 25 ; ;(C)(C) 4 25 ; ;(D)(D)以上都不对以上都不对 3 3投掷两个均匀的骰子，已知点数之和是偶数，则点数之和为投掷两个均匀的骰子，已知点数之和是偶数，则点数之和为 6 6 的的 概率为（概率为（A A ） (A)(A) 5 18 ; ;(B)(B) 1 3 ; ;(C)(C) 1 2 ; ;(D)(D)以上都不对以上都不对 4 4某一随机变量的分布函数为某一随机变量的分布函数为( ) 3 x x abe F x e ，(a=0,b=1)(a=0,b=1)则则 F F(0)(0)的值的值 为（为（C C ） (A)(A) 0.1;0.1;(B)(B) 0.5;0.5;(C)(C) 0.25;0.25;(D)(D)以上都不对以上都不对 5 5 一口袋中有一口袋中有 3 3 个红球和个红球和 2 2 个白球个白球， 某人从该口袋中随机摸出一球某人从该口袋中随机摸出一球， 摸得红球得摸得红球得 5 5 分分， 摸得白球得摸得白球得 2 2 分分， 则他所得分数的数学期望为则他所得分数的数学期望为 （C C ） (A)(A) 2.5;2.5;(B)(B) 3.5;3.5;(C)(C) 3.8;3.8;(D)(D)以上都不对以上都不对 二填空题（每小题二填空题（每小题 3 3 分，共分，共 1515 分）分） 1 1 设设 A A、 B B 是相互独立的随机事件是相互独立的随机事件， P P( (A A)=0.5,)=0.5, P P( (B B)=0.7,)=0.7, 则则()P AB= = 0.850.85 . .（A A 和和 B B 至少有一个发生）至少有一个发生） 2 2设随机变量设随机变量( , ), ( )3, ( )1.2B n pED，则，则 n n=_5_.EX=np=3=_5_.EX=np=3。 DX=np(1-p)=1.2DX=np(1-p)=1.2，所以，所以 n=5n=5p=0.6p=0.6 3 3随机变量随机变量的期望为的期望为( )5E，标准差为，标准差为( )2 ，则，则 2 ()E=_=_2929 （D(X)=D(X)=标准差的平方标准差的平方=EX2-(EX=EX2-(EX）2_.2_. 4 4甲、乙两射手射击一个目标，他们射中目标的概率分别是甲、乙两射手射击一个目标，他们射中目标的概率分别是 0.70.7 和和 0.8.0.8.先由甲射击先由甲射击， 若甲未射中再由乙射击若甲未射中再由乙射击。 设两人的射击是相互独立设两人的射击是相互独立 的，则目标被射中的概率为的，则目标被射中的概率为_0.94_._0.94_. 5 5 设连续型随机变量设连续型随机变量的概率分布密度为的概率分布密度为 2 ( ) 22 a f x xx ， a a 为常数为常数， 则则 P P( (0)=_0)=_3/4_3/4_._. 三三( (本题本题 1010 分分) )将将 4 4 个球随机地放在个球随机地放在 5 5 个盒子里，求下列事件的概个盒子里，求下列事件的概 率率 (1)(1)4 4 个球全在一个盒子里个球全在一个盒子里; ;p=5/54p=5/54 (2)(2) 恰有一个盒子有恰有一个盒子有 2 2 个球个球. . 30 2 4 1 5 CC 125 72 625 360 )(BP 四四( (本题本题 1010 分分) ) 设随机变量设随机变量的分布密度为的分布密度为 , 03 ( )1 0, x3 A x f xx 当 当或 (1)(1)求常数求常数 A A; ;(2)(2) 求求 P P( (1)1)；(3)(3) 求求的数学期望的数学期望. . 解解： （1 1） 3 0 4ln 1 , 4ln 1 )(AAdx x A dxxf-3-3 分分 （2 2） 1 0 2 1 2ln 1 ) 1(Adx x A P-6-6 分分 （3 3） 3 3 0 0 ( )( )ln(1) 1 Ax Exf x dxdxA xx x 13 (3ln4)1 ln4ln4 五五( (本题本题 1010 分分) ) 设二维随机变量设二维随机变量( (, ,) )的联合分布是的联合分布是 1 1 =2=2 4 4 5 5 0 0 0.050.050.120.12 0.150.150.070.07 1 1 0.030.030.100.10 0.080.080.110.11 2 2 0.070.070.010.01 0.110.110.100.10 (1)(1)与与是否相互独立是否相互独立? ?(2)(2) 求求 的分布及的分布及()E ； 六六( (本题本题 1010 分分) )有有 1010 盒种子，其中盒种子，其中 1 1 盒发芽率为盒发芽率为 9090，其他，其他 9 9 盒盒 为为 2020. .随机选取其中随机选取其中 1 1 盒盒，从中取出从中取出 1 1 粒种子粒种子，该种子能发芽的概该种子能发芽的概 率为多少？若该种子能发芽，则它来自发芽率高的率为多少？若该种子能发芽，则它来自发芽率高的 1 1 盒的概率是多盒的概率是多 少？少？ 解：由全概率公式及解：由全概率公式及 BayesBayes 公式公式 P P( (该种子能发芽该种子能发芽) )0.10.10.9+0.90.9+0.90.20.2 0.27-50.27-5 分分 P P( ( 该 种 子 来 自 发 芽 率 高 的 一 盒该 种 子 来 自 发 芽 率 高 的 一 盒 ) ) (0.1(0.1 0.9)/0.270.9)/0.27 1/3-101/3-10 分分 七七 ( (本题本题 1212 分分) ) 某射手参加一种游戏某射手参加一种游戏， 他有他有 4 4 次机会射击一个目标次机会射击一个目标. . 每射击一次须付费每射击一次须付费 1010 元元. . 若他射中目标，则得奖金若他射中目标，则得奖金 100100 元，且游戏元，且游戏 停止停止. . 若若 4 4 次都未射中目标次都未射中目标， 则游戏停止且他要付罚款则游戏停止且他要付罚款 100100 元元. . 若他若他 每次击中目标的概率为每次击中目标的概率为 0.3,0.3,求他在此游戏中的收益的期望求他在此游戏中的收益的期望. . 解：解：令令 A Ak k=在第在第 k k 次射击时击中目标次射击时击中目标 ，A A0 0=4=4 次都未击中目标次都未击中目标 。 于是于是 P P(A(A1 1)=0.3;)=0.3; P P(A(A2 2)=0.7)=0.70.3=0.21;0.3=0.21; P P(A(A3 3)=0.7)=0.7 2 2 0.3=0.1470.3=0.147 P P(A(A4 4)=)=0.70.7 3 3 0.3=0.1029;0.3=0.1029; P P(A(A0 0)=0.7)=0.7 4 4=0.2401-6 =0.2401-6 分分 在这在这 5 5 种情行下种情行下，他的收益他的收益分别为分别为 9090 元元，8080 元元，7070 元元，6060 元元， -140-140元。元。 - -8-8 分分 因此，因此， 65.26)140(2401 . 0 601029 . 0 70147. 08021 . 0 903 . 0)( E -12-12 分分 八八( (本题本题 1212 分分) )某工厂生产的零件废品率为某工厂生产的零件废品率为 5 5，某人要采购一批，某人要采购一批 零件，他希望以零件，他希望以 9595的概率保证其中有的概率保证其中有 20002000 个合格品个合格品. .问他至少应问他至少应 购买多少零件？购买多少零件？ ( (注：注：(1.28)0.90, ,(1.65)0.95) ) 解解：设他至少应购买设他至少应购买 n n 个零件个零件，则则 n n20002000，设该批零件中合格零件设该批零件中合格零件 数数服从二项分布服从二项分布 B(n,p),B(n,p), p=0.95.p=0.95. 因因 n n 很大，故很大，故 B(n,p)B(n,p)近似近似与与 N N( (npnp, ,npqnpq) ) -4-4 分分 由条件有由条件有 2000 (2000)1()0.95 np P npq - -8-8 分分 因因(1.65)0.95，故，故 200 1.65 np npq ，解得，解得 n=2123,n=2123, 即至少要购买即至少要购买21232123个零件个零件. . - -12-12 分分 九九( (本题本题 6 6 分分) )设事件设事件 A A、B B、C C 相互独立，试证明相互独立，试证明AB与与 C C 相互独相互独 立立. . 证：因证：因 A A、B B、C C 相互独立，故相互独立，故 P(AC)=P(A)P(C),P(AC)=P(A)P(C), P(BC)=P(B)P(C),P(BC)=P(B)P(C), P(AB)=P(A)P(B),P(AB)=P(A)P(B), P(ABC)=P(A)P(ABC)=P(A) P(B)P(C).P(B)P(C). () )()()()()P AB CP ACBCP ACP BCP ABC-2-2 分分 ( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( )P A P CP B P CP A P B P C-4 4 分分 ( )( )( ) ( ) ( )() ( )P AP BP A P B P CP AB P C 故故AB与与 C C 相互独立相互独立. . 某班有某班有 5050 名学生名学生，其中其中 1717 岁岁 5 5 人人，1818 岁岁 1515 人人，1919 岁岁 2222 人人，2020 岁岁 8 8 人，则该班学生年龄的样本均值为人，则该班学生年龄的样本均值为_._. 十十测量某冶炼炉内的温度测量某冶炼炉内的温度，重复测量重复测量 5 5 次次，数据如下数据如下（单位单位：） ： 18201820，18341834，18311831，18161816，18241824 假定重复测量所得温度假定重复测量所得温度 2 ( ,)N . .估计估计10， 求总体温度真值求总体温度真值的的 0.950.95 的置信区间的置信区间. . ( (注：注：(1.96)0.975, ,(1.65)0.95) ) 概率论与数理统计概率论与数理统计 B B 答案答案 一一1 1 （D D） 、2.2.（D D） 、3.3.（A A） 、4.4.（C C） 、5.5.（C C） 二二1 10.850.85、2.2. n n=5=5、3.3. 2 ()E=29=29、4.4. 0.940.94、5.5.3/43/4 三把三把 4 4 个球随机放入个球随机放入 5 5 个盒子中共有个盒子中共有 5 5 4 4=625 =625 种等可能结果种等可能结果 -3-3 分分 （1 1）A=4A=4 个球全在一个盒子里个球全在一个盒子里 共有共有 5 5 种等可能结果种等可能结果, ,故故 P P( (A A)=5/625=1/125-)=5/625=1/125- -5-5 分分 (2)(2) 5 5 个盒子中选一个放两个球，再选两个各放一球有个盒子中选一个放两个球，再选两个各放一球有 30 2 4 1 5 CC种方法种方法 -7-7 分分 4 4 个球中取个球中取 2 2 个放在一个盒子里，其他个放在一个盒子里，其他 2 2 个各放在一个盒子里有个各放在一个盒子里有 1 12 2 种方法种方法 因此因此， B=B=恰有一个盒子有恰有一个盒子有 2 2 个球个球 共有共有 4 43 3 X X 12=36012=360 种等可能结果种等可能结果. . 故故 125 72 625 360 )(BP- -10-10 分分 四四 解解： （1 1） 3 0 4ln 1 , 4ln 1 )(AAdx x A dxxf-3 3 分分 （2 2） 1 0 2 1 2ln 1 ) 1(Adx x A P-6-6 分分 （3 3） 3 3 0 0 ( )( )ln(1) 1 Ax Exf x dxdxA xx x 13 (3ln4)1 ln4ln4 - -10-10 分分 五五解解： （1 1）的边缘分布为的边缘分布为 29 . 0 32 . 0 39 .