概率论与数理统计复习题答案.pdf

概率论与数理统计复习题 一填空题 1设, , A B C为三个事件,用, , A B C的运算关系式表示下列事件： , , A B C都发生_；, , A B C中不多于一个发生_. 解：ABC； ABBCACABCABCABCABC 2.一副扑克牌共 52 张，无大小王，从中随机地抽取 2 张牌，这 2 张牌花色不相同的概率为 解： 211 41313 2 52 13 17 C C C p C 或者 12 413 2 52 13 1 17 C C p C 3.同时掷甲、已两枚骰子，则甲的点数大于乙的点数的概率为 解： 155 ( , )| ,1,6, ( ) 3612 Si ji jAijP A 4.设随机事件A与B相互独立，( )0.5, ( )0.6P AP B，则()P AB ，()P AB 。 解：()()( ) ( )0.2P ABP ABP A P B, ()( )( )( ) ( )0.8P ABP AP BP A P B 5.已知 6 1 )(, 3 1 )|(, 4 1 )(BPABPAP，则()P AB_. 解： 111 ()( ) (|) 4312 P ABP A P B A， 1 ()( )( )() 3 P ABP AP BP AB 6.已知( )0.6, ()0.3P AP AB,且,A B独立,则()P AB . 解：()( ) ( )0.3( )0.5( )0.5P ABP A P BP BP B ()( )( )()( )( )( ) ( )0.8P ABP AP BP ABP AP BP A P B 7.已知 P(A)=0.4,P(B)=0.3,且 A,B 互不相容，则()_, ()_P ABP AB. 解：()( )()0.3, ()( )()0.3P ABP BP ABP ABP AP AB 或()()1( )( )0.3P ABP ABP AP B 8.在三次独立的实验中，事件 B 至少出现一次的概率为 19/27，若每次实验中B 出现的 概率均为 p, 则 p=_ 解：设 X 表示 3 次试验中事件 B 出现的次数，则(3, )XBp， 3 191 1 10 1 (1), 273 P XP Xpp 9.设( ),0XP ，则X的分布律为 解：,0,1,2, ! ke P Xkk k 10设随机变量X服从泊松分布，且已知12P XP X，那么4P X 。 解：由12P XP X即 2 2 1!2! ee ， 42 2 22 4 4!3 e P Xe 11.设随机变量(0,5)XU,则方程 2 2210XxXx (x为未知数)有实根的概率为 . 解： 2 3 0(2)4 2020 5 PPXXP XP X 12.设(1,3),(2,4)XNYN，X与Y相互独立，则23ZXY 解：( )2 ()3 ( )4,( )4()9( )48E ZE XE YVar ZVar XVar Y ,23( 4,48)ZXYN 13 设 10 件产品中有 4 件不合格品， 从中任取两件， 则其中至少有一件是不合格品的概率为 解： 2 6 2 10 12 11 33 C p C 14. 设随机变量),(YX的概率分布如 右表,则()E X ,()Var X 解： 22 12552 1, 2,(), ()3,()3 ( ) 33339 P XP XE XE XVar X 15.已知随机变量X服从1,3上的均匀分布，则()E X ,()Var X 。 解： 1 3 ()2 2 E X ， 2 (3 1)1 () 123 Var X 16.二维连续型随机变量(, )X Y的联合概率密度为( , )f x y，则( , )f x y dxdy 1 。 17设随机变量,X Y独立且,X Y的概率密度分别为 201, ( ) 0, X xx fx 其它, 4 ,02, ( ) 0, Y yy fy 其它, 则(, )X Y的联合概率密度为 。 解：X,Y 独立, 801,02 ( , )( )( ) 0, XY xyxy f x yfx fy 其它, 18.设随机变量序列 12 , n XXX相互独立，且服从同一分布， X Y 123 11/61/9 1/18 21/32/91/9 () k E X存在，则0 ，有 1 1 lim| n k n k PX n 0 。 19.设 n X是独立同分布的随机变量序列，(0,10),1,2,3, n XUn ，那么当n时 1 1 n i i XX n 依概率收敛于 0 105 2 20.设X、Y相互独立且 2( ) Xm， 2( ) Yn，则XY 2( )mn。 21设 22 1212 (, )(, )X YN ，则(, )Cov X Y 12 22.设 12 , n XXX是来自总体 2(10) 的样本，则统计量 1 n i i YX 2(10 ) n。 23.设总体X具有概率密度函数 1 0 ( ) 0 x ex f x else ，0为已知， 样本为 12 , n XXX，则()E X ，()Var X 。 解：()()E XE X， 2 () () Var X Var X nn 。 24.在总体 2 (52,6.3 )N中随机抽一容量为 36 的样本，则样本均值X落在50.8 到 53.8 之间的概率为 。 解：()52E X ， 2 6.3 () 36 Var X ， 2 2 6.3 (52,)(52,1.05 ) 36 XNN， 53.85250.852 50.853.8()() 1.051.05 (1.71)( 1.14)0.9564(1 0.8729)0.8293 PX 25.设 12 , n XXX是来自总体X的样本且 2 (),()E XVar X， 2 , 未知， 则的矩估计量为 ， 2 的矩估计量为 解： 11 222222 221 () ()() () E X E XVar XE X 2 22 1 1 , n i i XXX n 26. 随机抽查某校的 7 名学生，测得他们的裸眼视力分别为：1.0,1.3,0.6,1.2,0.9, 1.5,2.0，则总体均值及方差 2 的矩估计值分别为 ， 2 解：由上 2 22 11 11 1.2143,0.1755 nn ii ii xxxx nn 27设 1210 ,XXX是来自总体 2 (0,0.3 )N的样本，则 10 2 1 1.44 i i PX 解： 10 2222 1 1 (0,1),()(1),(10) 0.30.30.09 ii i i XX NX 101010 2222 0.90 111 11 1.44161160.90,(10)15.987) 0.090.09 iii iii PXPXPX 28.设 1210 ,XXX是来自总体 2( ) Xn的样本，()E X ,()Var X , 2 ()E S . 解：()()E XE Xn， ()2 () 10105 Var Xnn Var X , 2 ()()2E SVar Xn 29.设在总体 2 ( ,)N 中抽取一容量为 16 的样本，这里 2 , 为未知参数， 2 S为样本方差。 则 2 2 2.041 S P ， 2 ()Var S 解： 2 2 2 (1) (1),16 nS nn 22 22 15 2.04130.615 SS PP 2 0.99 0.99,(15)30.57830.615) 222244 22 222 15152 ()()()()2 15 15151515 SS Var SVarVar 30.铅的密度测量值服从正态分布 2 ( ,)N ，测量 16 次，算得2.705x ，0.029s ， 则的置信水平为0.95的双侧置信区间为 。 解：10.95,0.05， 2 未知,的置信区间为 0.9750.975 11 22 0.0290.029 (1),(1)(2.705(15),2.705(15) 1616 0.0290.029 (2.7052.1314,2.7052.1314)( 2.6895,2.7205) 1616 SS XtnXtntt nn 二计算题 1.设某人按如下原则决定某日的活动：如该天天下雨，则以0.2 的概率外出购物，以 0.8 的概率去探访朋 友；如该天天不下雨，则以 0.9 的概率外出购物， 以 0.1 的概率去探访朋友， 设某地下雨的概率是 0.3。 （以 下要求用字母表示随机事件，写出计算公式） (1)试求那天此人外出购物的概率。(2)已知此人那天外出购物，试求那天下雨的概率。 解：设 A:下雨，B: 购物 C:会友 则( )0.3P A ，( )0.7P A ，(|)0.2, (|)0.8P B AP C A，(|)0.9, (|)0.1P B AP C A （1）( )()(|) ( )(|) ( )0.69P BP BABAP B A P AP B A P A （2） ()(|) ( )0.2 0.32 (|) ( )( )0.6923 P ABP B A P A P A B P BP B 2.设随机变量(1,4)XN，现对X进行三次独立观察，求至少有两次观察值大于1的概率。 解： 1 1 1 11 1() 2 P XP X 1 (1(1)0.8413 ， 设 Y 表示三次观察中观察值大于-1 的次数，则(3,0.8413)YB,则 32 21011 (1 0.8413)3 0.8413(1 0.8413)0.9403P YP YP Y 。 3某地抽查结果表明，考生的外语成绩（百分制）X 近似服从正态分布),( 2 N，平均成绩为 72，96 分 以上的考生占 2.3%,求：(1)标准差的值.(2)考生成绩在 60 分到 84 分之间的概率。 解：72, 9 67 2 2 . 3 %9 61()1 2P X 84726072 6084()()2 (1) 10.6828 1212 PX 4.设随机变量X的概率密度为 4 01 ( ) 0 xcx f x else 。 求（1）常数c。 （2）X的分布函数。 （3） 13 24 Px,（4）21YX的概率密度函数。 解： （1）由 1 4 0 1( ),5 5 c f x dxcx dxc （2） 45 0 00 ( )( )501 11 xx x F xf x dxt dtxx x （3） 55 133131 ( )( )( )( ) 244242 PxFF。 （4）当01x, 1213yx 时 11 ( )21() 22 YX yy FyP YyPXyP XF 4 5 (1)13111 ( )( )()() ()32 222 00 YYXX yyyyy fyFyFf 5.将 2 个球随机地放入 2 个盒子中，若X、Y分别表示放入第 1 个，第 2 个盒子中球的个数， 求(1)(, )X Y的联合分布律和边缘分布律.(2) 求1|1P XY (3) X、Y是否独立? 解： （1） Y X 0 1 2 PY=j 0 0 0 1 4 1 4 1 0 1 2 0 1 2 2 1 4 0 0 1 4 PX=i 1 4 1 2 1 4 1 (2) 1,1 1|11 1 P XY P XY P Y (3) 1 1|1 11 2 P XYP X ,X,Y 不独立。 6.设 X,Y 是独立同分布的随机变量， 1 3 P XiP Yi,1,2,3i ,max(, )MX Y , min(, )NX Y,求(M,N)的联合分布律和各自的边缘分布律并求出P XY. 解： X,Y 独立且 X 1 2 3 Y 1 2 3 k p 1 3 1 3 1 3 k p 1 3 1 3 1 3 1 , , ,1,2,3 9 P Xi YjP Xi P Yii j，所以 (X,Y) (1,1) (1,2) (1,3) (2,1) (2,2) (2,3) (3,1) (3,2) (3,3) M 1 2 3 2 2 3 3 3 3 N 1 1 1 1 2 2 1 2 3 k p 1 9 1 9 1 9 1 9 1 9 1 9 1 9 1 9 1 9 故 M,N 的联合分布律为 N M 1 2 3 PN=j 1 1/9 2/9 2/9 5/9 2 0 1/9 2/9 1/3 3 0 0 1/9 1/9 PM=i 1/9 1/3 5/9 1 并且 3 1 1 , 3 i P XYP Xi Yi 。 7.已知随机向量(, )X Y的概率密度函数为 301 ( , ) 0 xyx f x y 其它 。 试求：(1) ( ) Y fy (2 | ( | ) X Y fx y (3) (),(),(, )E X Var X Cov X Y (4) 1P XY。 解： （1） 1 2 3 3(1)01 ( )( , )2 0 y Y xdxyy fyf x y dx else （2）当( )0 Y fy 即01y时 2 | 2 1 ( , ) 1( | ) ( ) 0 X Y Y x yx f x y yfx y fy else （3） 11 3 000 3 ()( , )(3)3 4 x E Xxf x y dxdyxxdy dxx dx 11 2224 000 3 ()( , )(3)3 5 x E Xx f x y dxdyxxdy dxx dx 222 333 ()() ()( ) 5480 Var XE XE X 11 3 000 33 ( )( , )(3) 28 x E Yyf x y dxdyyxdy dxx dx 11 4 000 33 ()( , )(3) 210 x E XYxyf x y dxdyxyxdy dxx dx 33 33 (, )()() ( ) 104 8160 Cov X YE XYE X E Y (4) 1 2 11 2 x yx yx x , 1 1 2 0 11 2 22 0 0 1(3) 333 (1 2 )()| 228 y y P XYxdx dy y dyyy . 8设二维随机变量(, )X Y的概率密度为 (23 ) 60,0 ( , ) 0 xy exy f x y else 。 试求(1)(, )X Y 落在三角形区域:0,0,236D xyxy内的概率。 (2) ( ) Y fy, | ( | ) X Y fx y （3）(),( ),(, )E X Var Y Cov X Y。 解(1) 6 26 2 33 (23 )23 33 0 000 (, )62()| xx xyxy PX YDedydxeedx 3 2262636 0 0 2(1)(2)|1 7 xxx eedxee xe (2) (23 )3 0 630 ( )( , ) 0 xyy Y edxey fyf x y dx else ,即 Y 服从参数为3 的指数分布. 当0y 时, 2 | 20( , ) ( | ) ( )0 x X Y Y exf x y fx y fyelse . (3)观察得出 X,Y 独立,则 2 20 ( ) 0 x X ex fx else .即 X 服从参数为 2 的指数分布. 2 111 (),( )( ),(, )0 239 E XVar YCov X Y 9.设随机变量X 的分布如下，已知()0.9,()0.49E XVar X，试求 a,b,c 的值。 X 0 1 2 P a b c 解： 222 1, ()20.9,()()( ()40.90.49abcE XbcVar XE XE Xbc， 得0.3,0.5,0.2abc 10.设总体的概率密度函数为 1 1 1 ( ) 01 x ex f x x 。为未知参数， 12 , n XXX是一个样本。 (1)试求的最大似然估计量和矩估计。(2)试问 * X是的无偏估计吗，为什么？ 解：(1) 最大似然估计: 1 1 11 (1) () 11 1 ( )( , ) n i i i x nnx n nx nn i ii Lf xeee 1 ln( ( )ln()Lnnnx 2 1 ln( ( )()0 dn L