西南交大概率论习题一答案.pdf

习题一 1. 用集合的形式写出下列随机试验的样本空间与随机事件 A： （1）掷两枚均匀骰子，观察朝上面的点数，事件 A 表示“点数之和为 7” ； （2）记录某电话总机一分钟内接到的呼唤次数，事件 A 表示“一分钟内呼唤次数不超 过 3 次” ； （3）从一批灯泡中随机抽取一只，测试它的寿命，事件 A 表示“寿命在 2 000 到 2 500 小时之间”. 解：(1) ),(),(),(),(， ),(),(A. (2) 记X为一分钟内接到的呼叫次数，则 , 2 , 1 , 0|kkX， 3 , 2 , 1 , 0|kkXA. (3) 记X为抽到的灯泡的寿命（单位：小时） ，则 ), 0(X， )2500,2000( XA. 2. 袋中有 10 个球， 分别编有号码 110， 从中任取 1球， 设A取得球的号码是偶数， B取得球的号码是奇数，C=取得球的号码小于 5，问下列运算表示什么事件： （1）AB； （2）AB； （3）AC； （4）AC； （5）CA； （6）BC； （7）AC . 解：(1) BA是必然事件；(2) AB是不可能事件； (3) AC取得球的号码是 2，4； (4) AC取得球的号码是 1，3，5，6，7，8，9，10； (5) CA取得球的号码为奇数，且不小于 5取得球的号码为 5，7，9； (6) CBCB取得球的号码是不小于 5 的偶数取得球的号码为 6， 8，10； (7) CACA取得球的号码是不小于 5 的偶数=取得球的号码为 6，8， 10 3. 在区间上任取一数，记 1 1 2 Axx ， 13 42 Bxx ，求下列事件的表 达式： （1）AB； （2）AB； （3）AB， （4）AB. 解：(1) 2 3 4 1 xxBA; (2) BxxxBA21 2 1 0或 2 3 1 2 1 4 1 xxxx; 2 , 0 (3) 因为BA，所以BA； (4) 2 2 3 4 1 0xxxABA或 2 2 3 1 2 1 4 1 0xxxx或或 4. 用事件 A，B，C 的运算关系式表示下列事件： （1）A 出现，B，C 都不出现； （2）A，B 都出现，C 不出现； （3）所有三个事件都出现； （4）三个事件中至少有一个出现； （5）三个事件都不出现； （6）不多于一个事件出现； （7）不多于二个事件出现； （8）三个事件中至少有二个出现. 解：(1)CBAE 1 ； (2)CABE 2 ； (3)ABCE 3 ； (4)CBAE 4 ； (5)CBAE 5 ； (6)CBACBACBACBAE 6 ； (7)CBAABCE 7 ；(8)BCACABE 8 . 5. 一批产品中有合格品和废品，从中有放回地抽取三个产品，设表示事件“第 次 抽到废品” ，试用的运算表示下列各个事件： （1）第一次、第二次中至少有一次抽到废品； （2）只有第一次抽到废品； （3）三次都抽到废品； （4）至少有一次抽到合格品； （5）只有两次抽到废品. 解：(1) 21 AA ； (2) 321 AAA； (3) 321 AAA； (4) 321 AAA； (5) 321321321 AAAAAAAAA. 6. 接连进行三次射击，设=第 i 次射击命中（i1，2，3） ，试用表示下 述事件： （1）A=前两次至少有一次击中目标； （2）B=三次射击恰好命中两次； （3）C=三次射击至少命中两次； （4）D=三次射击都未命中. 解： 321321321 AAAAAAAAAB， 323121 AAAAAAC。 7. 一口袋中有 5 个红球及 2 个白球.从这袋中任取一球，看过它的颜色后放回袋中，然 i Ai i A i A 321 ,AAA 后，再从这袋中任取一球.设每次取球时口袋中各个球被取到的可能性相同.求： （1）第一次、第二次都取到红球的概率； （2）第一次取到红球、第二次取到白球的概率； （3）两次取得的球为红、白各一的概率； （4）第二次取到红球的概率. 解：本题是有放回抽取模式，样本点总数 2 7n. 记(1)(2)(3)(4)题求概率的事件分别为 DCBA,. ()有利于A的样本点数 2 5 A k，故 49 25 7 5 )( 2 AP () 有利于B的样本点数25 B k，故 49 10 7 25 )( 2 BP () 有利于C的样本点数252 C k，故 49 20 )(CP () 有利于D的样本点数57 D k，故 7 5 49 35 7 57 )( 2 DP. 8. 一个口袋中装有 6 只球， 分别编上号码 16， 随机地从这个口袋中取 2 只球， 试求： （1）最小号码是 3 的概率； （2）最大号码是 3 的概率. 解：本题是无放回模式，样本点总数56n. () 最小号码为 3，只能从编号为 3，4，5，6 这四个球中取 2 只，且有一次抽到 3， 因而有利样本点数为32，所求概率为 5 1 56 32 . () 最大号码为 3，只能从 1，2，3 号球中取，且有一次取到 3，于是有利样本点数为 22，所求概率为 15 2 56 22 . 9. 一个盒子中装有 6 只晶体管，其中有 2 只是不合格品，现在作不放回抽样.接连取 2 次，每次随机地取 1 只，试求下列事件的概率： （1）2 只都是合格品； （2）1 只是合格品，一只是不合格品； （3）至少有 1 只是合格品. 解：分别记题(1)、(2)、(3)涉及的事件为CBA,，则 5 2 256 234 2 6 2 4 )( AP 15 8 56 224 2 6 1 2 1 4 )( BP 注意到BAC，且A与B互斥，因而由概率的可加性知 15 14 15 8 5 2 )()()(BPAPCP。 10. 掷两颗骰子，求下列事件的概率： （1）点数之和为 7； （2）点数之和不超过 5； （3）点数之和为偶数. 解：分别记题(1)、(2)、(3)的事件为CBA,样本点总数 2 6n ()A含样本点)2 , 5(),5 , 2(,(1,6),(6,1),(3,4),(4,3) 6 1 6 6 )( 2 AP ()B含样本点(1,1),(1,2),(2,1),(1,3),(3,1),(1,4),(4,1),(2,2),(2,3),(3,2) 18 5 6 10 )( 2 BP ( )C含 样 本 点(1,1),(1,3),(3,1),(1,5),(5,1);(2,2),(2,4),(4,2),(2,6),(6,2),(3,3), (3,5),(5,3);(4,4),(4,6),(6,4);(5,5);(6,6), 一共 18 个样本点。 2 1 36 18 )(CP 11. 总经理的五位秘书中有两位精通英语， 今偶遇其中的三位秘书， 求下列事件的概率： （1）事件 A=其中恰有一位精通英语； （2）事件 B=其中恰有两位精通英语； （3）事件 C=其中有人精通英语. 解：样本点总数为 3 5 (1) 5 3 10 6 345 ! 332 3 5 2 3 1 2 )( AP； (2) 10 3 345 ! 33 3 5 1 3 2 2 )( BP； (3) 因BAC，且A与B互斥，因而 10 9 10 3 5 3 )()()(BPAPCP. 12. 设一质点一定落在 xOy 平面内由 x 轴，y 轴及直线 x+y=1 所围成的三角形内，而落 在这三角形内各点处的可能性相等， 即落在这三角形内任何区域上的可能性与这区域的面积 成正比，计算这质点落在直线 x=的左边的概率. 解：记求概率的事件为A，则 A S 3 1 为图中阴影部分，而2/1|， 18 5 9 5 2 1 3 2 2 1 2 1 | 2 A S 最后由几何概型的概率计算公式可得 9 5 2/1 18/5 | | )( A S AP. 13. 已知BA，4 . 0)(AP，6 . 0)(BP，求： （1）)(),(BPAP； （2）()P AB； （3）)(ABP； （4）)(),(BAPABP； （5）)( BAP. 解：(1)6 . 04 . 01)(1)(APAP，4 . 06 . 01)(1)(BPBP； (2)6 . 0)()()()()()()()(BPAPBPAPABPBPAPBAP； (3)4 . 0)()(APABP；(4)0)()()(PBAPABP, ()()1()1 0.60.4P ABP ABP AB ； (5). 2 . 04 . 06 . 0)()(ABPBAP 14. 设 A， B 是两个事件， 已知 P （A） =0.5， P （B） =0.7，()P AB=0.8， 试求： P （A-B） 与 P（B-A）. 解 ： 注 意 到)()()()(ABPBPAPBAP， 因 而)()()(BPAPABP )(BAP4 . 08 . 07 . 05 . 0. 于 是 ，)()()()(ABPAPABAPBAP 1 . 04 . 05 . 0；3 . 04 . 07 . 0)()()()(ABPBPABBPABP. 15. 已知随机事件 A 的概率5 . 0)(AP，随机事件 B 的概率6 . 0)(BP及条件概率 8 . 0)(ABP，试求)(ABP及)( BAP. 解：4 . 08 . 05 . 0)|()()(ABPAPABP )()()(1)(1)()(ABPBPAPBAPBAPBAP 3 . 04 . 06 . 05 . 01 16. 某人有一笔资金，他投入基金的概率为 0.58，购买股票的概率为 0.28，两项投资都 做的概率为 0.19. （1）已知他已投入基金，再购买股票的概率是多少？ （2）已知他已购买股票，再投入基金的概率是多少？ 解：记A基金，B股票，则19. 0)(,28. 0)(,58. 0)(ABPBPAP x O 1/3 1 1 A S h 图 1 (1) .327. 0 58. 0 19. 0 )( )( )|( AP ABP ABP (2) 678. 0 28. 0 19. 0 )( )( )|( BP ABP BAP. 17. 给定5 . 0)(AP，3 . 0)(BP，15. 0)(ABP，验证下面四个等式： )()(APBAP；)()(APBAP；)()(BPABP；)()(BPABP. 解：)( 2 1 3 . 0 15. 0 )( )( )|(AP BP ABP BAP )(5 . 0 7 . 0 35. 0 7 . 0 15. 05 . 0 )(1 )()( )( )( )|(AP BP ABPAP BP BAP BAP )(3 . 0 5 . 0 15. 0 )( )( )|(BP AP ABP ABP )( 5 . 0 15. 0 5 . 0 15. 03 . 0 )(1 )()( )( )( )|(BP AP ABPBP AP BAP ABP 18. 已知甲袋中装有 6 只红球，4 只白球，乙袋中装有 8 只红球，6 只白球.求下列事件 的概率： （1）随机地取一只袋，再从该袋中随机地取一只球，该球是红球； （2）合并两只口 袋，从中随机地取 1 只球，该球是红球. 解： (1) 记B该球是红球， 1 A取自甲袋， 2 A取自乙袋， 已知10/6)|( 1 ABP， 14/8)|( 2 ABP，所以 70 41 14 8 2 1 10 6 2 1 )|()()|()()( 2211 ABPAPABPAPBP (2) 12 7 24 14 )(BP。 19. 设某一工厂有 A，B，C 三间车间，它们生产同一种螺钉，每个车间的产量，分别 占该厂生产螺钉总产量的 25、35、40，每个车间成品中次货的螺钉占该车间出产量 的百分比分别为 5、4、2.如果从全厂总产品中抽取一件产品， （1）求抽取的产品是次 品的概率； （2）已知得到的是次品，求它依次是车间 A，B，C 生产的概率. 解：为方便计，记事件CBA,为CBA,车间生产的产品，事件D次品，因此 )|()()|()()|()()(CDPCPBDPBPADPAPDP 02. 04 . 004. 035. 005. 025. 0 0345. 0008. 0014. 00125. 0 362. 0 0345. 0 05. 025. 0 )( )|()( )|( DP ADPAP DAP 406. 0 0345. 0 04. 035. 0 )( )|()( )|( DP BDPBP DBP 232. 0 0345. 0 02. 04 . 0 )( )|()( )|( DP CDPCP DCP 20. 发报台分别以概率 0.6 和 0.4 发出信号“*”和“”.由于通信系统受到干扰， 当发出信号 “*” 时， 收报台未必收到信号 “*” ， 而是分别以概率 0.8 和 0.2 收到信号 “*” 和“”.同样，当发出信号“”时，收报台分别以概率 0.9 和 0.1 收到信号“”和 “*”.求： （1）收报台收到信号“*”的概率； （2）当收报台收到信号“*”时，发报台 确是发出信号“*”的概率. 解：记B收到信号“*”，A发出信号“*” (1) )|()()|()()(ABPAPABPAPBP 52. 004. 048. 01 . 04 . 08 . 06 . 0； (2) 13 12 52. 0 8 . 06 . 0 )( )|()( )|( BP ABPAP BAP。 21. 设事件A与B相互独立，且pAP)(，qBP)(.求下列事件的概率： (), (), ().P AB P AB P AB 解：pqqpBPAPBPAPBAP)()()()()( pqqqpqpBPAPBPAPBAP1)1 (1)()()()()( pqBPAPABPBAP1)()(1)()( 22. 已知事件A与B相互独立，且 9 1 )(BAP，)()(BAPBAP.求：)(),(BPAP. 解：因)()(BAPBAP，由独立性有)()()()(BPAPBPAP 从而)()()()()()(BPAPBPBPAPAP导致)()(BPAP 再由9/1)(BAP，有 2 )(1 ()(1)(1 ()()(9/1APBPAPBPAP 所以3/1)(1AP，最后得到( )( )2/3P BP A。 23. 三个人独立破译一密码，他们能独立译出的概率分别为 0.25，0.35，0.4，求此密码 被译出的概率. 解：记 A译出密码， i A第i人译出，. 3 , 2 , 1i 则 3 123 1 ( )1() () () 1 0.75 0.65 0.61 0.29250.7075 i i P APAP A