1集合的概念与运算【讲义】

第一章 集合 集合是高中数学中最原始、最基础的概念，也是高中数学的起始单元，是整个高中数学的基础 合思想、集合语言和集合的符号在高中数学的很多章节如函数、数列、方程与不等式、立体几何与解析几何中都被广泛地使用 多问题可以用集合的语言加以叙述 是支撑现代数学大厦的基石之一，本章主要介绍集合思想在数学竞赛中出现的问题 . 合的概念与运算 【基础知识】 一集合的有关概念 1集合：具有某些共同属性的对象的全体，称为集合 集合的对象叫做这个集合的元素 . 2集合中元素的三个特征：确定性、互异性、无序性 . 3集合的分类：无限集、有限集、空集 . 4. 集合间的关系： 二集合的运算 1交集、并集、补集和差集 差集：记 A、 B 是两个集合，则所有属于 A 且不属于 B 的元素构成的集合记作 且 . (1) , (幂等律 ); (2) , (交换律 ); (3) )()( , )()( (结合律 ); (4) )()()( , )()()( (分配律 ); (5) )( , )( (吸收律 ); (6) )(对合律 ); (7) )()()( , )()()( (摩根律 ) (8) )()()( , )()()( . (1)两个集合中元素相同 ,即两个集合中各元素对应相等 ; (2)利用定义 ,证明两个集合互为子集 ; (3)若用描述法表示集合 ,则两个集合的属性能够相互推出 (互为充要条件 ),即等价 ; (4)对于 有限个元素的集合 ,则元素个数相等、各元素的和相等、各元素之积相等是两集合相等的必要条件 . 【典例精析】 【例 1】在集合 ,2,1 n 中 ,任意取出一个子集 ,计算它的各元素之和 . 分析已知 ,2,1 n 的所有的子集共有 ,2,1 ,显然 ,2,1 n中包含 i 的子集与集合 ,1,1,2,1 的子集个数相等 i 在集合,2,1 n 的所有子集中一共出现 12n 次 ,即对所有的 i 求和 ,可得 ).(211 】集合 ,2,1 n 的所有子集的元素之和为2 )1(2)21(2 11 = ( 1 说明本题的关键在于得出 ,2,1 n 中包含 i 的子集与集合 ,1,1,2,1 的子集个数相等 【例 2】 已知集合 034|,023| 222 ,求参数 分析首先确定 集合 A、 B,再利用 的关系进行分类讨论 . 【解】由已知易求得 0)3)(|,12| 当 0a 时 , 3| ,由 知无解 ; 当 0a 时 , B ,显然无解 ; 当 0a 时 , 3| ,由 解得 参数 a 的取值范围是 32,1. 说明本题中 ,集合的定义是一个二次三项式 ,那么寻于集合 才能通过条件求出参数的取值范围 . 【例 3】 已知 ,集合 1,2,1,1 2 A ,则 22 的值是 ( ) 解】 0)1( 2 x , 12 ,且 012 及集合中元素的互异性知 12 ,即 1x ,此时应有 而 从而在集合 B 中 , 由 ,得)3()2()1(121122)(3)解得 2,1 代入 (1)式知 2,1 满足 (1)式 . 222 说明本题主要考查集合相等的的概念 ,如果两个集合中的元素个数相等 ,那么两个集合中对应的元素应分别相等才能保证 两个集合相等 【例 4】 已知集合 |,|,0) , A ,求 )1()1(22 + )1(20082008 的值 . 分析从集合 A=则易于解决 . 【解】 ,0)|)根据元素的互异性 ,由 B 知 0,0 B0 且 , A0 ,故只有 0)从而 .1又由 A1 及 ,得 所以1|111其中 1 元素的互异性矛盾 ! 所以 ,1 入得 : )1()1( 22 + )1( 20082008 =( 2 )+2+( 2 )+2+ +( 2 )+2=0. 说明本题是例 4的拓展 ,也是考查集合相等的概念 ,所不同的是本题利用的是集合相等的必要条件 ,即两个集合相等 ,则两个集合中 ,各元素之和、各元素之积及元素个数相等 【例 5】 已知 A 为有限集 ,且 *,满足集合 A 中的所有元素之和与所有元素之积相等 ,写出所有这样的集合 A. 【解】设集合 A= )1(,21 n且 211,由 21 21, *)( n ,得 21 21 )!1( 即 )!1( 2n 或 3n (事实上 ,当 3n 时 ,有 )2)1()2)(1()!1( . 当 2n 时 , 1,2,2 1122121 而 1 22 当 3n 时 , 3,3213321321 21 由33 32 ,解得 ,1A 说明本题根据集合中元素之间的关系找到等式 ,从而求得集合 应注意分析题设条件中所给出的信息 ,根据条件建立方程或不等式进行求解 . 【例 6】 已知集合 02|,023| 22 若 ,求实数 a 的取值组成的集合 A. 【解】 21| 设 2)( 2 . 当 04)2( 2 即 10 a 时 , S ,满足 ; 当 04)2( 2 即 0a 或 1a 时 , 若 0a ,则 0S ,不满足 ,故舍去 ; 若 1a 时 ,则 1S ,满足 . 当 04)2( 2 ,满足 等价于方程 022 根介于 1 和 2 之间 . 即0340121100)2(0)1(22)2(10a . 综合 得 10 a ,即所求集合 A 10| 说明先讨论特殊情形 (S= ),再讨论一般情形 分类讨论 ,确定a 的取值范围 0 【例 7】 (2005年江苏预赛 )已知平面上两个点集 22 ( , ) | | 1 | 2 ( ) , ,M x y x y x y x y R, ( , ) | | | | 1 | 1 , ,N x y x a y x y R. 若 , 则 a 的取值范围是 【解】 由题意知 M 是以原点为焦点、直线 10 为准线的抛物线上及其凹口内侧的点集， N 是以 ( ,1)a 为中心的正方形及其内部的点集 (如图 ) 考察 时 , a 的取值范围 : 令 1y , 代入方程 22| 1 | 2 ( )x y x y , 得 2 4 2 0 ，解出得 26x 所以， 当 2 6 1 1 6a 时 , 令 2y ，代入方程 22| 1 | 2 ( )x y x y , 得 2 6 1 0 . 解出得 3 10x 所以，当 3 10a 时 , 因此 , 综合 与 可知 ，当 1 6 3 1 0a ，即 1 6 , 3 1 0 a 时 , 故填 1 6 , 3 1 0 . 【例 8】 已知集合 ,4321 , , 24232221 ,其中4321 , 4321 , , 41 , 1041 且 中的所有元素之和为 124,求集合 A、 B. 【解】 4321 ,且 , 41 , 211 ,又 1 ,所以 a 又 1041 可得 94 a ,并且 422 或 若 922 a ,即 32 a ,则有 ,12481931 233 3 3 a(舍 ) 此时有 5,9,1,9,5,3,1 若 923 a,即 33 a,此时应有 22 a ,则 中的所有元素之和为 100 综上可得 , 5,9,1,9,5,3,1 说明本题的难点在于依据已知条件推断集合 A、 同时上述解答中使用发分类讨论的思想 将问题分为多个部分 ,每一部分的难度比整体都要低 ,这样就使问题变得简单明了 . 【例 9】 满足条件 |4|)()(| 2121 的函数 )(成了一个集合 M,其中21, ,并且 1, 2221 求函数 )(23)( 2 与集合 M 的关系 . 1 4 6 7析求函数 23)( 2 合 M 的关系 ,即求该函数是否属于集合 M,也就是判断该函数是否满足集合 【解】 |3|)23()23(|)()(| 212122212121 取65,64 21 .|4|29|)()(| 212121 由此可见 , .)( 说明本题中 M 是一个关于函数的集合 (否属于 M,只要找至一个或几个特殊的(中的条件即可证明 .)( 【例 10】 对集合 2008,2,1 及每一个非空子集定义唯一“交替和”如下 :把子集中 的数按递减顺序排列 ,然后从最大数开始 ,交替地加减相继各数 ,如 9,6,4,2,1 的“交替和”是612469 ,集合 10,7 的“交替和”是 10 7=3,集合 5 的“交替和”是 5 等等 的所有的“交替和”的总和 ,2,1 n 求出所有的“交替和” . 分析集合 22008 个 ,显 然 ,要想逐个计算“交替和”然后相加是不可能的 替和”的特点 ,故可采用从一般到特殊的方法 1,2,3,4的非空子集共有 15个 ,共“交替和”分别为 :1 1;2 2 ;3 3;4 4;1,2 21,3 31,4 42,3 32,4 43,4 41,2,3 3;1,2,4 4; 1,3,4 4;2,3,4 4;1,2,3,4 4替和”可以发现 ,除 4以外 ,可以把 1,2,3,4的子集分为两类 :一类中包含 4,另一类不包含 4,并且构成这样的对应 :设1,2,3,4中一个不含有的子集 ,令4相对应 ,显然这两个集合的“交替和”的和为 4,由于这样的对应应有 7 对 ,再加上 4的“交替和”为 4,即 1,2,所有子集的“交替和”为 32. 【解】集合 2008,2,1 的子集中 ,除了集合 2008 ,还有 222008 个非空子集 第一类是含 2008的子集 ,第二类是不含 2008的子集 ,这两类所含的子集个数相同 则必有 2008如果则 ,还应 用 1,2, ,2007 中的数做其元素 ,即008 后不是空集 ,且是第二类中的 对的”集合的“交替和”求出来 ,都有 2008,从而可得 A 的所有子集的“交替和”为 2(21 2 0 0 72 0 0 8 同样可以分析 ,2,1 n ,因为 n 个元素集合的子集总数为 (含 ,定义其“交替和 ”为 0),其中包括最大元素 n 的子集有 12n 个 ,不包括 n 的子集的个数也是 12n 个 ,将两类子集一一对应 (相对应的子集只差一个元素 n ),设不含 n 的子集“交替和”为 S,则对应的含 n 子集的“交替和”为 ,两者相加和为 n 替和”为 说明本题中退到最简 ,从特殊到一般的思想及分类讨论思想、对应思想都有所体现 ,这种方法在数学竞赛中是常用的方法 ,在学习的过程中应注意强化 . 【例 11】 一支人数是 5 的倍数的且不少于 1000 人的游行队伍，若按每横排 4 人编队，最后差 3 人；若按每横排 3 人编队，最后差 2 人；若按每横排 2 人编队，最后差 1 人，求这支游行队伍的人数最少是多少？ 分析已知游行队伍 的总人数是 5的倍数，那么可设总人数为 “ 按每横排 4人编队，最后差 3人 ”，从它的反面去考虑，可理解为多 1人，同样按 3人、 2人编队都可理解为“多1人”，显然问题转化为同余问题 . 4、 3、 2 除时都余地，即 15 n 是 12 的倍数，再由总人数不少于 1000人的条件，即可求得问题的解 . 【解】设游行队伍的总人数为 )(5 则由题意知 别被 4、 3、 2 除时均余 1，即15 n 是 4、 3、 2 的公倍数，于是可令 )(1215 由此可得：5 112 使游行队伍人数最少，则式 中的 m 应为最少正整数且 112 m 为 5 的倍数，应为 (25 由此可得： 5121)25(1251 25605 所以 10002560 p ，4116p. 取 17p 代入 式，得 10452517605 n 故游行队伍的人数最少是 1045 人 . 说明本题利用了补集思想进行求解，对于题目中含有“至少”、“至多”、“最少”、“不都”、“都”等词语，可以根据补集思想方法，从词义气反面（反义词）考虑，对原命题做部分或全部的否定，用这种方法转化命题，常常能起到化繁为简、化难为易的作用，使之寻求到解题思想或方法，实现解题的目的 . 【例 12】 设 且 n 15， 都是 1， 2， 3， n 真子集， ，且 1，2， 3， n A 或者 B 中必有两个不同数的和为完全平方数 . 【 证明 】 由题设， 1， 2， 3， ， n 的任何元素必属于且只属于它的真子集 之一 . 假设结论不真，则存在如题设的 1， 2， 3， ， n 的真子集 ，使得无论是 A 还是 B 中的任两个不同的数的和都不是完全平方数 . 不妨设 1 A ，则 3 A ，否则 1+3= 2 ，与假设矛盾，所以 3 B B ，所以6 A ，这时 10 A ，即 10 B .因 n 15，而 15 或者在 A 中，或者在 B 中，但当 15 1 A ， 1+15= 24 ，矛盾；当 15 B 时，因 10 B ，于是有 10+15= 25 ，仍然矛盾 即结论成立 . 【赛向点拨】 集合又是数学的基础 刻理解集合的概念 ,熟练地进行集合运算是非常重要的 所以抓好概念的 理解和应用尤其重要 . 一般而言 ,一是考查集合本身的知识 ;二是考查集合语言和集合思想的应用 . 要正确理解其含义 ,弄清元素是什么 ,具有怎样的性质 ?这是解决集合问题的前提 . 所以在竞赛中 ,集合题是普遍而又基本的题型之一 . 【针对练习】 (A 组 ) 1.(2006 年江苏预赛 ) 设在 面上， 20 ， 10 x 所围成图形的面积为31，则集合 ,1),( 1),( 2 交集 所表示的图形面积为 ( ) (2006 年陕西预赛 ) 为实数 ,集合 M= :,0,1,表示把集合 M 中的元素 x 映射到集合 P 中仍为 x ,则 的值等于 ( ) A. 1 D. 1 3. (2004年全国联赛 )已知 M= 32|),( 22 N= |),( ，若对于所有的 ，均有 , b 的取值范围是 A 26,26 B.（26,26） C.（3 32,3 32） D.3 32,3 32 4. (2005年全国联赛 ) 记集合 ,6,5,4,3,2,1,0T ,4,3,2,1,|7777 4433221 中的元素按从大到小的顺序排列，则第 2005 个数是（ ） A432 73767575 B432 72767575 C432 74707171 D432 73707171 5. 集合 A,B 的并集 A B=a1,a2,当且仅当 A(A,B)与 (B,A)视为不同的对，则这样的 (A,B)对的个数有 ( ) =n|100 n 600,n N，则集合 A 中被 7 除余 2 且不能被 57 整除的数的个数为_. 7. 已知 2 4 3 0 , A x x x x R , 12 2 0 , 2 ( 7 ) 5 0 , xB x a x a x x R 且 ,则实数 a 的取值范围是 . 8. 设 M=1,2,3,1995 ， A 是 M 的子集且满足条件 : 当 x A 时 ,15x A，则 A 中元素的个数最多是 _. 9. (2006 年 集训试题 )设 n 是正整数，集合 M=1， 2， ， 2n求最小的正整数 k，使得对于 M 的任何一个 k 元子集，其中必有 4 个互不相同的元素之和等于 10. 设 A a |a 22, ,x y Z ， 求证： 21k A ()； 4 2 ( )k A k Z . 11.（ 2006