2013届高三数学一轮复习讲义 三角函数的图像与性质

升学助考一网通 第 - 1 - 页 版权所有 升学 e 网通 三角函数 的图象与性质 基础梳理 1 “五点法 ”描图 (1)y x 的图象在 0,2上的五个关键点的坐标为 (0,0) 2， 1 (， 0) 32， 1 (2， 0) (2)y x 的图象在 0,2上的五个关键点的坐标为 (0,1)， 2， 0 ， (， 1)， 32 ， 0 ， (2， 1) 函数 性质 y x y x y x 定义域 R R x|x2， k Z 图象 值域 1,1 1,1 R 对称性 对称轴： _ x 2(k Z)_ _； 对称中心： _ (0)(k Z)_ _ 对称轴： x k(k Z)_； 对称中心： _(2， 0) (k Z)_ 对称中心： _ 0 (k Z) _ 周期 2_ 2 单调性 单调增区间 _22， 22(k Z)_； 单调减区间 22，232 (k Z) _ 单调增区间 2，2(k Z) _； 单调减区间 22(k Z)_ 单调增区间 _(2，2)(k Z)_ 奇偶性 奇 函数 偶函数 奇函数 f(x)，如果存在一个非零的常数 T，使得当 x 取定义域内的每一个值时，都有 f(x T) f(x)，那么函数 f(x)就叫做周期函数，非零常数 T 叫做这个函数的周期，把所有周期中存在的最小正数，叫做最小正周期 (函数的周期一般指最小正周期 ) 升学助考一网通 第 - 2 - 页 版权所有 升学 e 网通 对函数周期性概念的理解 周期性是函数的整体性质，要求对于函数整个定义域范围的每一个 f(x T) f(x)，其中 如果只有个别的 f(x T) f(x)，或找到哪怕只有一个 f(x T) f(x)，都 不能说 f(x)的周期 . 函数 y x )和 y x )的最小正周期为 2| ， y x )的最小正周期为 | . 最值 )的方法： (1)利用 x、 关于正、余弦函数的有界性 由于正余弦函数的值域都是 1,1，因此对于 x R，恒有 1x1， 1x1，所以 1叫做 y x， y 1叫 做 y x， y (2)形式复杂的函数应化为 y x ) x 的范围，根据正弦函数单调性写出函数的值域； 含参数的最值问题，要讨论参数对最值的影响 . (3)换元法：把 x或 化为求函数在区间上的值域 (最值 )问题 利用换元法求三角函数最值时注意三角函数有界性，如： y 4x 5，令 t x(|t|1)，则 y (t 2)2 11，解法错误 . 先把函数式化成形如 y x ) (0)的形式，再根据基本三角函数的单调区间，求出 x 所在的区间 在函数的定义域内考虑 利用换元法求复合函数的单调区间 (要注意 x 系数的正负号 ) (1)y 2x 4 ； (2)y 4 2x . 热身练习 : 1函数 y x 3 ， x R( ) A是奇函数 B既不是奇函数也不是偶函数 C是偶函数 D既是奇函数又是偶函数 2函数 y 4 x 的定义域为 ( ) A. x x4 ， k Z B. x x24， k Z C. x x4 ， k Z D. x x24 ， k Z 3函数 y x 3)的图象的对称轴方程可能是 ( ) 升学助考一网通 第 - 3 - 页 版权所有 升学 e 网通 A x 6 B x 12 C x 6 D x 12 【解析】 令 2x 3 2，则 x 12(k Z) 当 k 0时， x 12，选 D. 4 y x 4 的图象的一个对称中心是 ( ) A ( ， 0) B. 34 ， 0 C. 32 ， 0 D. 2， 0 解析 y x 的对称中心为 (0)(k Z)， 令 x 4 k(k Z)， x 4(k Z)，由 k 1， x 34得 y x 4 的一个对称中心是 34 ， 0 . 答案 B 5下列区间是函数 y 2|x|的单调递减区间的是 ( ) A.(0， ) B. 2， 0 C. 32 ， 2 D. ， 2 6已知函数 f(x) x )，其中 为实数，若 f(x)|f(6)|对任意 x R 恒成立，且 f(2)f()，则 f(x)的单调递增区间是 ( ) A 3， 6(k Z) B 2(k Z) C 6， 23 (k Z) D 2， k Z) 【解析】 当 x f(x)|f(6)|恒成立， f(6) 3 ) 1 可得 26或 256， k Z f(2) ) f() ) 1 x 1， 00 x 1 0 8 0 x12，x 1，8 如图 利用单位圆得： 260，x 0，x 2， k Z 00， 0,00)来确定 ； 的确定：由函数 y x ) K 最开始与 x 轴的交点 (最靠近原点 )的横坐标为 (即令 x 0， x )确定 . 例 4 若方程 3a 在 0,2上有两个不同的实数根 a 的取值范围，并求此时 值 【解析】 32x 6)， x 0,2， 作出 y 2x 6)在 0,2内的图象如图 由图象可知，当 1 a 2或 2 a 1时， 直线 y a与 y 2x 6)有两个交点， 故 a ( 2,1) (1,2) 当 1 a 2时， 6 6 . 23 . 升学助考一网通 第 - 7 - 页 版权所有 升学 e 网通 当 2 a 1时， 6 6 3， 83 . 【点评】利用三角函数图象形象直观，可使有些问题得到顺利、简捷的解决，因此我们必须准确把握三角函数 “形 ”的特征 例 4 已知函数 f(x) x )， x R(其中 A 0， 0， 0 2)的图象与 x 轴的交点中，相邻两个交点之间的距离为 2，且图象上一个最低点为 M(23 ， 2) (1)求 f(x)的解析式； (2)将函数 f(x)的图象向右平移 12个单位后，再将所得图象上各点的横坐标缩小到原来的 12，纵坐标不变，得到 y g(x)的图象，求函数 y g(x)的解析式，并求满足 g(x) 2且 x 0， 的实数 x 的取值范围 【解析】 (1)由函数图象的最低点为 M(23， 2)，得 A 2， 由 2，得 2，即 T ， 2 (23， 2)在图象上，得 223 ) 2， 即 3 ) 1， 故 43 22， k Z， 2116 ， 又 (0， 2)， f(x) 2x 6) (2)将 f(x) 2x 6)的图象向右平移 12个单位， 得到 f1(x) 2(x 12) 6，即 f1(x) 2 然后将 f1(x) 2图象上各点的横坐标缩小到原来的 12，纵坐标不变，得到 g(x)22x)，即 g(x) 2由 0xg x 22 得 0x22 . 则 0x244x234 k Z 即 0x16x16 k Z. 故 16x316 或 916x1116 . 题型 四 、三角函数的奇偶性与周期性及应用 例 1 已知函数 f(x) x )，其中 0， | 2. (1)若 0，求 的值； (2)在 (1)的条件下，若函数 f(x)的图象的相邻两条对称轴之间的距离等于 3，求函数 f(x)的解析式；并求最小正实数 m，使得函数 f(x)的图象向左平移 m 个单位后所对应的函数是偶函数 【解析】 (1)由 0 得 4 ) 0. |0)的函数的单调区间，可以通过解不等式的方法去解答 . 列不等式的原则是： 把 “x (0)”视为一个 “整体 ”； A0 (0)： 升学助考一网通 第 - 10 - 页 版权所有 升学 e 网通 若求 y f(x)的对称轴，只需令 x 2(k Z)，求出 x； 若求 y f(x)的对称中心的横坐标，只零令 x k(k Z)，求出 x； 若求 y f(x)的单调增区间，只需令 22x 22，求出 x； 若求 y f(x)的单调减区间，只需令 22x 232 ，求出 x. 题型 七 三角函数的对称性与奇偶性 例 3 (1)已知 f(x) x 3x(x R)，函数 y f(x ) |2 的图象关于直线 x 0 对称，则 的值为 _. (2)如果函数 y 3x )的图象关于点 43 ， 0 中心对称，那么 |的最小值为 ( ) A . 6 1)6 f (x) 2()3x ， y f(x ) 2)3x 图象关于 x 0 对称， 即 f(x )为偶函数 3 2 k Z， 即 6， k Z， 所以 当 k 0 时， 6. (2)A 3(2 )3 3(2 )3 3( ) 0 ,3 23 2， k Z， 6， k Z， 取 k 0，得 |的最小值为 探究提高 若 f(x) x )为偶函数，则当 x 0 时， f(x)取得最大或最小值 . 若 f(x) x )为奇函数，则当 x 0 时， f(x) 0. 如果求 f(x)的对称轴，只需令 x 2 k Z)，求 x. 如果求 f(x)的对称中心的横坐标，只需令 x k Z)即可 . 变式训练 3 (1)已知函数 f(x) x 的图象的 一条对称轴是 x 53 ，则函数 g(x) x x 的最大值是 ( ) 3 3 3 由题意得 f(0) f 10()3， a 32 a 33 , g(x) 33 x x 2 33 ()3x ， 升学助考一网通 第 - 11 - 页 版权所有 升学 e 网通 g(x)2 33 . (2)若函数 f(x) x x (00， |0)和 g(x) 2x ) 1 的图象的对称轴完全相同 .若 x 0， 升学助考一网通 第 - 16 - 页 版权所有 升学 e 网通 2，则 f(x)的取值范围是 _ 32， 3 _. 4函数 f(x) 2x( 0)在 0， 4 上单调递增，且在这个区间上的最大值是 3，那么 等于 _ 解析 因为 f(x) 2x( 0)在 0， 4 上单调递增，且在这个区间上的最大值是3，所以 23，且 0 4 2，因此 43. 答案 43 f(x) 4 2x 3 (x R)，有下列命题： 由 f( f( 0 可得 是 的整数倍； y f(x)的表达式可改写为 y 4 2x 6 ； y f(x)的图象关于点 6， 0 对 称； y f(x)的图象关于直线 x 6对称 . 其中正确命题的序号是 _. 解析 函数 f(x) 4 2x 3 的最小正周期 T ，由相邻两个零点的横坐标间的距离是 2知 错 利用诱导公式得 f(x) 4 2 2x 3 4 6 2x 4 2x 6 ， 知 正确 由于曲线 f(x)与 x 轴的每个交点都是它的对称中心，将 x 6代入得 f(x)4 2 6 3 4 0， 因此点 6， 0 是 f(x)图象的一个对称中心，故命题 正确曲线 f(x)的对称轴必经过图象的最高点或最低点，且与 y 轴平行，而 x 6时 y 0，点 6， 0 不是最高点也不是最低点，故直线 x 6不是图象的对称轴，因此命题 不正确 答案 三、解答题 升学助考一网通 第 - 17 - 页 版权所有 升学 e 网通 f(x) )2x ( 0)在区间 3， 4 上的最小值是 2，则 的最小值等于 ( ) f(x) x 52 x 是 ( ) 二、填空题 0， 2)上的函数 y 6x 的图象与 y 5x 的图象交于点 P，过点 P 作 x 轴的垂线，垂足为 线 函数 y x 的图象交于点 线段 长 为 _23_. f(x) 2x(0)在 0， 4 上单调递增，且在这个区间上的最大值是 3，那么 _43_. 解析 因为 f(x) 2x( 0)在 0， 4 上单调递增，且在这个区间上的最大值是 3，所以 23，且 0 4 2，因此 43 函数 y 23x 2 是奇函数； 存在实数 ，使得 32； 若 、 是第一象限角且 0)的图象与直线 y m 相切，并且切点的横坐标依次成公差为 2的 等差数列 . (1)求 m 的值； (2)若点 A( y f(x)图象的对称中心，且 0， 2 ，求点 A 的坐标 . (1)f(x) 12(1 12 12( 12 22 24 12. y f(x)的图象与 y m 相切， 升学助考一网通 第 - 19 - 页 版权所有 升学 e 网通 m 为 f(x)的最大值或最小值， 即 m 1 22 或 m 1 22 . (2) 切点的横坐标依次成公差为 2的等差数列， f(x)的最小正周期为 2. T 2|2a| 2， a0， a 2， 即 f(x) 22 4x 4 12. 由题意知 44 0，则 44 k Z)， 16 (k Z). 由 0 16 2 (k Z)得 k 1 或 2， 因此点 A 的坐标为 316， 12 ， 716， 12 . 三角函数的图象与性质 练习四 一、选择题 1函数 f(x) 2x 是 ( ) A最小正周期为 2 的奇函数 B最小正周期为 2 的偶函数 C最小正周期为 的奇函数 D最小正周期为 的偶函数 解析 f(x) 2x x. f(x)是最小正周期为 的奇函数 答案 C 2函数 y x 1 的 值域为 ( ) A 1,1 B. 54， 1 C. 54， 1 D. 1， 54 解析 (数形结合法 )y x 1，令 x t，则有 y t 1， t 1,1，画出函数图象如图所示，从图象可以看出，当 t 12及 t 1 时， 函数取最值，代入 y t 1 可得 y 54， 1 . 答案 C 3若函数 f(x) x( 0)在区间 0， 3 上单调递增，在区间 3， 2 上单调递减，则 ( ) C 2 D 3 解析 由题意知 f(x)的一条对称轴为 x 3，和它相邻的一个对称中心为原点，则 f(x) 升学助考一网通 第 - 20 - 页 版权所有 升学 e 网通 的周期 T 43 ，从而 32. 答案 B 4函数 f(x) (1 3x)x 的最小正周期为 ( ) A 2 C 析 依题意，得 f(x) x 3x 2 x 6 . 答案 A 5下列函数中，周期为 ，且在 4， 2 上为减函数的是 ( ) A y 2x 2 B y 2x 2 C y x 2 D y x 2 解析 (筛选法 ) 函数的周期为 . 排除 C、 D， 函数在 4， 2 上是减函数， 排除 B. 答案 A 【点评】 本题采用了筛选法，体现了筛选法的方便、快捷、 准确性，在解选择题时应注意应用 . 6已知函数 f(x) x 2 (x R)，下面结论错误的是 ( ) A函数 f(x)的最小正周期为 2 B函数 f(x)在区间 0， 2 上是增函数 C函数 f(x)的图象关于直线 x 0 对称 D函数 f(x)是奇函数 解析 y x 2 x， T 2，在 0， 2 上是增函数，图象关于 y 轴对称，为偶函数 答案 D 二、 填空题 |x+4） |的单调增区间为 _ 4， 4（ k Z） _. 42co 图象，可以将 函数 y = 3 x 的图象向左平移 _8 _单位 . 与函数 ( ) x x 和 ( ) x x 的图像分别交于 两点，则 升学助考一网通 第 - 21 - 页 版权所有 升学 e 网通 最大值为 _ 2 _. 10 函数 f(x)= s i n 13 2 c o s 2 s i ( 02x ) 的值域是 _ _. ) s i n ( 0 )3 6 3f x x f f ，且 ()，有最小值，无最大值，则 _ 14312、 给出下面的 3个命题：（ 1）函数 |)32 （ 2）函数 )23 23, 上单调递增；（ 3）45252 其中正确命题的序号是 13若函数 f(x) 2 x ( 0)的最小正周期为 ，则 的值为 _ 解析 f(x) 2 x x 12x， T 22 . 1. 答案 1 14函数 y 2x 4 的图象与 x 轴交点的坐标是 _ 解析 由 2x 4 k Z，得： x 8， k Z， 故交点坐标为 8， 0 (k Z) 答案 8， 0 (k Z) 15已知函数 f(x) x ) 3x ) 2， 2 是偶函数，则 的值为 _ 解析 (回顾检验法 )据已知可得 f(x) 2 x 3 ，若函数为偶函数，则必有 3 2(k Z)，又由于 2， 2 ，故有 3 2，解得 6，经代入检验符合题意 答案 6 三、解答题 16已知 f(x) x 2 x . (1)若 0， ，且 13，求 f()的值； (2)若 x 0， ，求 f(x)的单调递增区间 解 (1)由题设知 f() . 升学助考一网通 第 - 22 - 页 版权所有 升学 e 网通 13 2 0， 0， ， 0， 2 ， 0. 由 ( )2 1 2 43，得 23 3， f() 23 3. (2)由 (1)知 f(x) 2 x 4 ，又 0x， f(x)的单调递增区间为 0， 4 . 17设函数 f(x) x )( 0)， y f(x)图象的一条对称轴是直线 x 8. (1)求 ； (2)求函数 y f(x)的单调增区间 解 (1)令 28 2， k Z， 4， k Z， 又 0，则 54 k 14， k Z， k 1，则 34 . (2)由 (1)得： f(x) 2x 34 ， 令 2 2x 34 2 2k Z，可解得 8 kx58 k Z， 因此 y f(x)的单调增区间为 8 58 k Z. 18、设函数 2( ) s i n ( ) 2 c o s 14 6 8 （ 1）求 () （ 2）若函数 ()y g x 与 ()y f x 的图像关于直线 1x 对称，求当 40, 3x时 ()y g x 的最大值 解：（ ） ()s i n c o s c o s s i n c o 4 6 4x x