西南交通大学数理统计考试题.pdf

西南交通大学研究生 20152016 学年第(1)学期考试试卷 西南交通大学研究生 20152016 学年第(1)学期考试试卷 课程代码 课程名称 数理统计与多元统计 考试时间 150 分钟分钟 题号 一 二 三 四 五 六 七 八 总成绩 得分 阅卷教师签字： 11设 129 ,XXXL是来自正态总体X的简单随机样本，其中 116 1 () 6 YXX=+L， 2789 1 () 3 YXXX=+, 9 22 2 7 1 () 2 i i SXY = = ， 12 2()YY Z S = 试推断统计量Z的分布。 （10 分） （10 分） 解解：因为 129 ,XXXL相互独立且服从正态分布 2 ( ,)N ，则有 2 6 1 1 1 ( ,) 66 i i YXN = = ， 2 9 2 7 1 ( ,) 33 i i YXN = = -（2 分） 且相互独立， 222 12 (0,)(0,) 632 YYNN +=， 即 12 (0,1) /2 YY N - （3 分） 又因 2 S为样本方差，所以由定理得 2 2 2 2 (2) S ，-（2 分） 且 2 S与 1 Y与 2 Y相互独立，故与 12 YY也是相互独立的，于是由t分布定义知 12 12 22 2() /2 (2) 2/2 YY YY Zt S S =-（3 分） 即统计量Z服从自由度为 2 的t分布。 2. 设某种元件的使用寿命X的概率密度为 2() 2 ( ; ) 0 x ex f x x = 其中0为未知参数，又设 12 , n x xxL是X的一组样本观测值，(1)试 求参数的极大似然估计量 极；(2)求极大似然估计 极的方差。 （15 分） （15 分） 解解：(1)由X的概率密度函数，得似然函数 11 2() 11 2()22 ( )( ; )2 =22(1,2, ) i nn ii ii nn x i ii xxn nn i Lf xe eexin = = + = = L -（2 分） 取对数得： 1 ln ( )ln222(1,2, ) n ii i Lnxnxin = =+= L-（2 分） 再对求导得： ln ( ) 20(1,2, ) i dL nxin d =L- （1 分） 即( )L是单调增加的，虽然越大则( )L越大，但必须满足条件 (1,2, ) i xin=L 所以当取为 12 , n x xxL中最小值 (1) x时，( )L取得满足条件的最大值，所以的最大似 然估计值为 (1)12 min , n xx xx=L-（2 分） （2） 2() 1 ( ) 0 x ex F x x = -（1 分） 2 () (1) 1 ( )1 (1( ) 0 n x n ex FxF x x = = -（1 分） 2 () (1) (1) ( )2 ( ) 0 n x dFxnex fx dxx = -（1 分） 2 () (1) 1 2 2 n x EXx nedx n + =+ -（2 分） 22 ()2 (1) 1 22 n x E Xx nedx n + =+ -（2 分） 22 (1)(1)(1) 2 (21)11 4 n D XE XEX nnn =+-（1 分） 3. 假设 0.50，1.25，0.80，2.00 是来自总体X的简单随机样本值， 已知lnYX=服从正态分布( ,1)N。 （1）试求的置信度为0.95的置信 区间； （2）利用上述结果求X的数学期望()E X的置信度为0.95的置信 区间。 （15 分）（15 分） 解解： （1）因为 ln( ,1)YXN=，则 Y Xe=，其数学期望()E X为： 22 ()() 22 11 ()() 22 yy y Yy bE XE eeedyedy + = 22 ()1(1)1 2222 11 22 yy y edyeedye + + = （2）因为Y的方差为已知，即( )1D Y =，置信度为0.95时，样本均值 1 ( ,)YN n ， 则有 0.05/2 1 0.050.95 1/ Y Pz n = = ，即 0.05/20.05/20.05/2 0.95 zzz P YP YY nnn =+ ， 而由总体X的简单随机样本值计算 0.50，1.25，0.80，2.00 得 11 ln0.5ln1.25ln0.8ln2ln10 44 y =+=，又上分位点 0.05/2 1.96z= 故得所求的置信度为0.95的置信区间为 0.05/2 111 ()(01.96)(01.96)( 0.98,0.98) 244 yz= （3）由于函数 y e的严格递增性质，可得 0.05/20.05/20.05/2 0.95 zzz P YP YY nnn =+ 0.05/ 20.05/ 20.05/ 20.05/ 2 11 1 22 2 zzzz YYYY nnnn P eeeP eee + + = 即得()() Y bE XE e=的置信度为0.95的置信区间为 0.05/ 20.05/ 2 11 0.481.4822 (,)(,) zz yy nn eeee + = 4.4.设总体 1216 XN,XXX?（ ,4）,为来自总体的样本，考虑检验问题： 01 :0:0HuHu=。取 0 H的拒绝域分别为： (1) 1 21.65WX= ； (2) 2 1.522.12WX= 计算这两种拒绝域下，此检验犯第一类错误的概率。 （10 分） （10 分） 解：(1) X n 由于服从标准正态分布，有由于 =2=16=02nX，所以 ?服从标准正态分布 第一类错误的概率=21.65|0PX =( 1.65)0.05= = (2) 第一类错误的概率 =1.522.12|0(2.12)(1.5)0.9830.93319PX= = 5.5.一家公司产品销售在 30 地区设有销售分公司，为研究产品销售（y）与该 公司的销售价格(x1)，各地区的年平均收入(x2)，广告费用(x3)之间的关系，收 集到 30 个地区的有关数据，得到下列回归结果 方差来源 自由度 平方和 均方 F统计量 显著 性 方差来源 自由度 平方和 均方 F统计量 显著 性 回归 A B 4008924.7 C 显著 残差 D E F 总的 29 13458586.7 参数估计表 估计值 标准误差 t-统计量 显著性 参数估计表 估计值 标准误差 t-统计量 显著性 截距 7589.1025 2445.0213 3.1039 显著 x1 的系数 -117.8861 31.8974 G 显著 x2的系数 80.6107 14.7676 H 显著 x3的系数 0.5021 0.1259 3.9814 显著 （1） 求出方差分析表和参数估计表中的各字母的值。 （2）计算样本复相关系数，和误差方差 2 的无偏估计。 （15 分） （15 分） （2） 2 12026774.1 =0.8936 13458586.7 R 样本复相关系数=R=0.8936 0.957 误差方差 2 的无偏估计=55069.7 7、已知两正态总体 G1和 G2，而且 1212 2411 6219 = = = = ， 其先验概率分别为 q1=q2=0.5,误判的代价为 4 (21), (12)Ce Ce= 试用 Bayes 判别法决定样本 3,5 T X = （）属于哪一个总体？ （10 分） 1 1 1212 2 1 1212 33 2 1 ( ) ( )exp()()exp(424) ( ) 391242 11 (),() 41162428 3 (1|2) ,()exp(2) 5(2|1) 3 5 T Bayes f x W xxxx fx q C de W xde q C X =+ =+= = = % 3、由判别知 其中， 2 G 8表中给出了五个样本两两之间的欧氏距离，根据系统聚类法， （1）类间用最短距离,进行聚类分析，并画出聚类图。 （2）类间用最长距离,进行聚类分析，并画出聚类图。 （10 分） （10 分） （1）类间用最短距离,进行聚类分析，并画出聚类图 Step1： （4）与（5）和并为类（6） Step2： （1）与（2）和并为类（7） 欧氏距离 欧氏距离 1 2 3 4 5 1 0 8.06 17.81 26.91 30.41 2 8.06 0 25.46 34.67 38.21 3 17.81 25.46 0 9.22 12.82 4 26.91 34.67 9.22 0 3.63 5 30.41 38.21 12.82 3.63 0