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数理统计数理统计复习复习题题 一、顺序统计量的分布一、顺序统计量的分布 例题例题 1 设 总 体设 总 体 n XXXUX, , 2 1 , 2 1 21 为为X的 样 本 ，的 样 本 ， )()2()1( , n XXX为其顺序统计量，试分别求为其顺序统计量，试分别求 )()1( , n XX的密度函数的密度函数 )(),( )()1( xfxf n . 解解 X的密度函数与分布函数分别为的密度函数与分布函数分别为 2/1 , 2/1 , 0 2/1 , 2/1 , 1 )( x x xf ， 2/1 , 1 2/12/1 , 2/1 , 0 )( x xx x xF . 因此因此 , 0 2/1 , 2/1 ,)2/1( )()(1 ()( 1 1 )1( 其他 xxn xfxFnxf n n , 0 2/1 , 2/1 ,)2/1 ( )()()( 1 1 )( 其他 xxn xfxFnxf n n n 二、参数的点估计二、参数的点估计- -极大似然估计法极大似然估计法 例题例题 2 设总体设总体 , 2 NX， 其中， 其中0 ,R是未知参数，是未知参数， n XXX, 21 为为 从从X中随机抽取的一个样本，中随机抽取的一个样本， n xxx, 21 是样本的一个观察值，求是样本的一个观察值，求 参数参数 2 ,及及 22 的极大似然估计。的极大似然估计。 解解 总体总体X的密度函数为的密度函数为 2 2 2 2 )( exp 2 1 ),( x xf 似然函数及对数似然函数分别为似然函数及对数似然函数分别为 n i i n i n i xxL 1 2 22/2 2 1 2 )( 2 1 exp )2( 1 )( 2 1 exp 2 1 ),( ， n i i x n L 1 2 2 22 )( 2 1 )2ln( 2 ),(ln . 对参数对参数 2 ,分别求导，得到似然方程组分别求导，得到似然方程组 n i i n i i x n L xL 1 2 42 2 2 1 2 2 0)( 2 1 2 ),(ln 0)( 1 ),(ln 解得解得X， * 2 2 M，所以参数，所以参数 2 ,的极大似然估计量为的极大似然估计量为 * 2 2 ,MX ，又由极大似然估计的不变性，可得，又由极大似然估计的不变性，可得 22 的极的极 大似然估计量为大似然估计量为 n i i x n MX 1 2 * 2 1 三、参数的区间估计三、参数的区间估计 例题例题 3 3 某厂生产的零件质量某厂生产的零件质量),( 2 NX，今从这批零件中随机抽取，今从这批零件中随机抽取 1212 个，测得其质量（单位：个，测得其质量（单位：g）为）为 31.131.1，31.331.3，31.431.4，31.531.5，31.331.3，31.731.7，31.431.4，31.3 31.3 ，31.631.6， 31.531.5，31.231.2，32.732.7 试在置信度试在置信度 0.950.95 下，求参数下，求参数 2 ,的区间估计（保留三位小数） 。的区间估计（保留三位小数） 。 解解 因为因为 201. 2)11( ,12 ,1709. 0 , 5 .31 975. 0 2 tnsx，算得，算得 2373.31201. 2 12 4134. 0 5 . 3) 1( 2/1 nt n s x ， 7627.31201. 2 12 4134. 0 5 . 3) 1( 2/1 nt n s x 所以参数所以参数的置信区间为的置信区间为)7627.31 ,2373.31(。 又又 92.21)11( ,82. 3)11( 2 975. 0 2 025. 0 ， 4921. 0 82. 3 8799. 1 ) 1( ) 1( ,0858. 0 92.21 8799. 1 ) 1( ) 1( 2 2/ 2 2 2/1 2 n sn n sn 所以参数所以参数 2 的置信区间为的置信区间为)0.4921 ,0858. 0(。 四、假设检验四、假设检验 例题例题 4 一灯泡制造商声称， 他们生产的某一等级的灯泡平均寿命在一灯泡制造商声称， 他们生产的某一等级的灯泡平均寿命在 一定的电压和温度条件下大于一定的电压和温度条件下大于 2000 kt。 现对这一等级的。 现对这一等级的 12 个灯个灯 泡组成的随机样本进行了测试，测得平均每个灯泡的寿命为泡组成的随机样本进行了测试，测得平均每个灯泡的寿命为 2009 kt， 样本标准差是， 样本标准差是 200 kt， 已知这种灯泡寿命服从正态分布， 已知这种灯泡寿命服从正态分布， 试试根据抽取的样本数据在显著性水平根据抽取的样本数据在显著性水平05. 0下判断该制造商的下判断该制造商的 产品是否与他所说的标准相符合。产品是否与他所说的标准相符合。 解解 设设X表示制造商生产的某一等级的灯泡的寿命（单位：表示制造商生产的某一等级的灯泡的寿命（单位：km） ，） ， 由题意知由题意知),( 2 NX，方差，方差 2 未知，未知，200 ,2009 ,12sxn， 设统计假设为：设统计假设为：2000 : ,2000 : 0100 HH， 当当05. 0时，时，796. 1)11() 1( 95. 01 tnt ，临界值，临界值 686.103796. 1 12 200 ) 1( 1 nt n s c 拒绝域为拒绝域为 686.103200 0 cXK 由于由于cX92000，所以接受，所以接受 0 H，拒绝，拒绝 1 H，即认为该制造商的，即认为该制造商的 产品与他所说的标准不相符合。产品与他所说的标准不相符合。 例题例题 5 5 某商场为了比较来自两个不同厂家的同一类商品的销量某商场为了比较来自两个不同厂家的同一类商品的销量 有无显著差异，随机抽取了商场有无显著差异，随机抽取了商场 9 9 周的该商品销量数据如周的该商品销量数据如下下： 甲厂商品销量甲厂商品销量 （X） 31.2 31.0 29.5 31.5 30.9 29.5 28.5 30.4 30.2 乙厂商品销量乙厂商品销量 （Y） 29.1 30.2 30.1 29.0 28.8 30.0 30.3 27.7 29.4 设该两组商品销量服从正态总体， 且两样本相互独立， 试在设该两组商品销量服从正态总体， 且两样本相互独立， 试在 显著性水平显著性水平05. 0下检验该两组下检验该两组商品的销量有无显著差异商品的销量有无显著差异？ 解解 由已知， 样本容量由已知， 样本容量9 nm，x30.3， 995. 0 2 X s ，4 .29y， 725. 0 2 Y s ， 84. 0 2 s ， 917. 0 s （1）首先检验“等方差”）首先检验“等方差”是否相等：是否相等： 假设：假设： 2 2 2 10 :H ， 2 2 2 11: H 用用F检验统计量检验统计量： 2 2 Y X S S F ， 拒绝域拒绝域： )8 , 8(or ),8 , 8( 2/12/ FFFFK 由于由于 317. 1 725. 0 995. 0 2 2 Y X s s f ， 另一方面，另一方面，226. 0)8 , 8( 025. 0 F，433. 4)8 , 8( 975. 0 F 433. 4317. 1226. 0，Kf ， 因此因此接受接受 0 H，即可认为两个正态总体的方差相等。，即可认为两个正态总体的方差相等。 （2）再再检验检验均值是否相等：均值是否相等： 假设假设： 210 :H ， 211: H ， 由于由于 2 1 ， 2 2 未知，采用未知，采用t检验法，检验法， 检验统计量检验统计量 )2( 11 | 2/1 nmt nm S YX T ， 拒绝域拒绝域)2( 2/1 nmtTK 。 由已知由已知 082. 2 3/2917. 0 |4 .293 .30| t120. 2)16( 975. 0 t ， 故故Kt，接受，接受 0 H，即认为两个正态总体的均值没有，即认为两个正态总体的均值没有显著差异。显著差异。 五、回归分析五、回归分析 例题例题 6 6 在研究我国人均消费水平的问题中，把全国人均消费金在研究我国人均消费水平的问题中，把全国人均消费金 额记作额记作Y（元） ， 把人均国民收入记作（元） ， 把人均国民收入记作X（元） ， 收集到（元） ， 收集到 19811981- -19931993 年间的样本数据年间的样本数据),( ii yx13 , , 2 , 1 ,i，由下表给出：，由下表给出： 年份 1981 1982 1983 1984 1985 1986 1987 1988 1999 1990 1991 1992 1993 人均收入 i x元 399.6 419.3 460.8 544.2 668.5 737.8 860.1 1068.8 1169.4 1250.7 1429.6 1725.9 2099.5 人均消费 i y元 248 266 289 329 407 452 514 645 699 714 804 948 1148 (1) 试确定人均消费额试确定人均消费额Y与人均国民收入与人均国民收入X之之间的回归关系，间的回归关系， (2) 取显著性水平取显著性水平05. 0，试用，试用F检验方法检验上述线性回归检验方法检验上述线性回归 方程的显著性方程的显著性. 解解 （1）首先计算首先计算样本均值样本均值 13 1 13 1 08.574 13 1 ,25.987 13 1 ii ii yyxx 再计算离差平方和再计算离差平方和 n i iixy n i ixx yyxxlxxl 1 2 1 1 .1798250)( , 8 .3408957)( 回归系数回归系数 3056.53 ,5275. 0 101 xy l l xx xy 从而得到回归方程从而得到回归方程 xy5275. 03056.53 由此可知，当国民收入由此可知，当国民收入x增加增加 1 1 元时，消费额元时，消费额y增加增加 0 0. .52755275 元元. . （2 2）用）用F检验法，取显著水平检验法，取显著水平05. 0， 1 .2717 2 1 222 xxyyRTE llSSS ，7166.15 11 1 .2717 2 2 n SE 临界值临界值00035. 0 )2, 1 ( 1 2 xx l nF c ，拒绝域，拒绝域 00035. 0 2 10 K ， 而而 00035. 02783. 05275. 0 22 1 ， 故拒绝故拒绝 0 H，即认为家庭收入，即认为家庭收入x对消费支出对消费支出y有显著影响。有显著影响。 六、方差分析六、方差分析 例题例题 7 7 一化工厂为了提高某化工产品的转化率，选了三种不同一化工厂为了提高某化工产品的转化率，选了三种不同 的浓度和四种不同温度条件下做试验， 为考虑浓度与温度的交互的浓度和四种不同温度条件下做试验， 为考虑浓度与温度的交互 作用， 在浓度与温度的每一种水平组合下各做作用， 在浓度与温度的每一种水平组合下各做 3 3 次试验， 得转化次试验， 得转化 率如下表所示率如下表所示 浓度 温度 1 B 2 B 3 B 1 A 90，86，85 85，83，80 80，86，83 2 A 86，86，85 84，82，80 90，85，80 3 A 88，85，86 85，81，80 81，80，80 4 A 86，85，82 80，82，80 80，85，90 对给定显著性水平对给定显著性水平05. 0，试分析，试分析 （1 1）不同浓度对转化率是否有显著影响？不同浓度对转化率是否有显著影响？ （2 2）不同温度对转化率是否有显著影响？不同温度对转化率是否有显著影响？ （3 3）浓度和温度之间的交互作用对转化率是否有显著影响？浓度和温度之间的交互作用对转化率是否有显著影响？ 解解 本题中视温度为因素本题中视温度为因素 A A，浓度为因素，浓度为因素 B B, ,则则 , 3 , 3 , 4tsr t k ijk ijsjriX t 1 ), 2 , 1 , 2 , 1( 1 X ， -各水平组合重复试验均值 ), 2 , 1( 1 11 riX st X s j t k ijk i ， -第i行因素（A）均值 r i t k ijk jsjX rt X 11 ), 2 , 1( 1 ， -第j列因素（B）均值 r i s j t k ijk T XrstXS 11 2 1 2 344， -总离差平方和 r i i A XXstS 1 2 0 .12)(， -行间离差平方和 0 .98)( 1 2 s j j B XXrtS， -列间离差平方和 r i s j ijij BA XXXXtS 11 2 0 .50)( ， -行列交互离差平方和 0 .184 BABATE SSSSS， -组内（误差）平方和 查表得查表得 51. 2)24 , 6( ,01. 3)24 , 3( ,40. 3)24 , 2( 95. 095. 095. 0 FFF， 由于由于 01. 3)24 , 3(52. 0 )1(/( ) 1/( 95. 0 F trsS rS F E A A ， 40. 3)24 , 2(39. 6 )1(/( ) 1/( 95. 0 F trsS sS F E B B 51. 2)24 , 6(087. 1 )1(/( )1)(1/( 95. 0 F trsS srS F E BA BA 因此， 不同浓度对转化率有显著影响， 不同温度对转化率没有因此， 不同浓度对转化率有显著影响， 不同温度对转化率没有 显著影响，浓度与温度之间的交互作用对转化率没有显著影响。显著影响，浓度与温度之间的交互作用对转化率没有显著影响。 （excelexcel 表见方差分析表见方差分析-习题习题 6 6 ） ） 注：双因素等重复试验方差分析的解题程序：注：双因素等重复试验方差分析的解题程序： 1.1. 试验数据表试验数据表 因素 B 因素 A 1 B 2 B s B 1 A t XXX 11112111 , t XXX 12122121 , stss XXX 12111 , 2 A t XXX 21212211 , t XXX 22222221 , stss XXX 22212 , r A trrr XXX 11211 , trrr XXX 22221 , rstrsrs XXX, 21 2.2.计算均值表计算均值表 因素 B 因素 A 1 B 2 B s B 1 A 11X 12X sX1 1X 2 A 21X 22X sX2 2X r A 1rX 2rX rsX rX 1X 2X sX X 其中，其中， r-行数，s-列数，t-每一组合重复试验次数； r i s j t k ijk X rst X 111 1 -所有试验数据的总平均值 t k ijk ijsjriX t 1 ), 2 , 1 , 2 , 1( 1 X ， -各水平组合重复试验数据均值 ), 2 , 1( 1 11 riX st X s j t k ijk i ， -第i行因素（ i A）数据均值 r i t k ijk jsjX rt X 11 ), 2 , 1( 1 ， -第i列因素（ j B）数据均值 3.3.计算偏差平方和计算偏差平方和 r i s j t k ijkT XXS 11 2 1 )(， -总离差平方和 r i i A XXstS 1 2 )(， -行间偏差平方和 s j j B XXrtS 1 2 )(， -列间偏差平方和 r i s j jiij BA XXXXtS 11 2 )( ， -行列交互偏差平方和 BABATE SSSSS ， -组内（误差）平方和 上述各偏差平方和的简便算法：上述各偏差平方和的简便算法： r i s j t k ijkT XrstXS 11 2 2 1 )(， -总离差平方和 r i i A XrstXstS 1 2 2 )(， -行间偏差平方和 s j j B XrstXrtS 1 2 2 )(， -列间偏差平方和 r i s j jiij BA XXXXtS 11 2 )( ， -行列交互偏差平方和 BABATE SSSSS ， -组内（误差）平方和 4.4.计算计算 F F 检验统计量，及查检验统计量，及查 F F 分布分布临界值临界值 )1(/( ) 1/( trsS rS F E A A ， )1(, 1( 1 trsrF )1(/( ) 1/( trsS sS F E B B ， )1(, 1( 1 trssF )1(/( )1)(1/( trsS srS F E BA BA ， )1(),1)(1( 1 trssrF 5.5.比较比较 F F 检验统计量的观察值与检验统计量的观察值与 F F 分布分布临界值，写出结论。临界值，写出结论。 七七、 试验设计试验设计 提高某化工产品转化率的试验提高某化工产品转化率的试验 例题例题 8 8 某化工产品的转化率可能与反应温度某化工产品的转化率可能与反应温度 A A、反应时间、反应时间 B B、某、某 两种原料之配比两种原料之配比 C C、真空度、真空度 D D 有关。为寻找最优的生产条件，以有关。为寻找最优的生产条件，以 提高该化工产品的转化率，因此考虑对提高该化工产品的转化率，因此考虑对 A A、B B、C C、D D 这四个因素这四个因素 进行试验，根据以往经验，确定每个因素只需考虑三个水平，数进行试验，根据以往经验，确定每个因素只需考虑三个水平，数 据如下表所示据如下表所示 表一表一 因数水平表因数水平表 水水 平平 因因 数数 1 2 3 3 A A：反应温度：反应温度/ / C C 60 70 80 B B：反应时间：反应时间/h /h 2.5 3.0 3.5 C: C: 原料配比原料配比 1.1:1 1.15:1 1.2:1 D D：真空度：真空度/mmHg/mmHg 500 550 600 本案例为本案例为 4 4 因素因素 3 3 水平试验，选正交表水平试验，选正交表)3( 4 9 L安排试验。安排试验。 表二表二 表头设计表头设计 因因 数数 A B C DA B C D 列列 号号 1 2 3 4 表三表三 试验方案表试验方案表 列号列号 试验号试验号 1 A 2 B 3 C 4 空列空列 指标值指标值 1 1 1 1 1 1 42 2 2 1 2 2 2 65 3 3 1 3 3 3 49 4 4 2 1 2 3 64 5 5 2 2 3 1 60 6 6 2 3 1 2 53 7 7 3 1 3 2 68 8 8 3 2 1 3 73 9 9 3 3 2 1 75 A B C 指标值指标值 j T1 120 147 138 147 j T2 147 159 171 150 j T3 183 144 141 153 （1 1）试进行极差分析，给出满意的水平搭配（选望小指标） ；试进行极差分析，给出满意的水平搭配（选望小指标） ； （2 2）试进行方差分析，并给出方差分析表，）试进行方差分析，并给出方差分析表，)05. 0(； （3 3）对以上两钟分析结果进行比较。）对以上两钟分析结果进行比较。 解解 这里这里 3 1 2 2 1 , ,minmax , 3 , 3 , 9 i ijj i ijij i ij i j p T T r STTTTR n p rnp 经计算得下表经计算得下表 A B C j T1 120 147 138 147 j T2 147 159 171 150 j T3 183 144 141 153 j R 63 15 33 6 j S 666 42 222 6 （1）极差分析：）极差分析： 主次 BCA 较好的因素水平搭配为 311 BCA （2）方差分析表：）方差分析表： 方差来 源 平方和 j S 自由度 j f jj fS / ee jj j fS fS F / / 显著性 A 666 2 333 111 * B 42 2 21 7 不显著 C 222 2 111 37 * e 6 2 3 查表得19)2 , 2( 05. 0 F，因此因素 A, C 作用高度显著，而