1993年全国初中数学联合竞赛试题及解答.pdf

1 1993 年全国初中数学联合竞赛试题 第一试 一、选择题 本题共有 8 个小题， 每小题都给出了 A、 B、 C、 D 四个结论， 其中只有一个是正确的 请 把正确结论的代表字母写在题后的圆括号内 1多项式 126 1xx除以 2 1x 的余式是（ ） A1 B1 C1x D1x 2对于命题 内角相等的圆内接五边形是正五边形 内角相等的圆内接四边形是正四边形. 以下四个结论中正确的是（ ） A，都对 B对，错 C错，对 D，都错 3设x是实数，|1|1|yxx下列四个结论： y没有最小值； 只有一个x使y取到最小值； 有有限多个x（不止一个）使y取到最大值； 有无穷多个x使y取到最小值 其中正确的是（ ） A B C D 4实数 1 x， 2 x， 3 x， 4 x， 5 x满足方程组 1231 2342 3453 4514 5125. xxxa xxxa xxxa xxxa xxxa ， ， ， ， 其中 1 a， 2 a， 3 a， 4 a， 5 a是 实常数，且 12345 aaaaa，则 1 x， 2 x， 3 x， 4 x， 5 x的大小顺序是（） A 1245 xxxx B 42135 xxxxx C 31425 xxxxx D 53142 xxxxx 5不等式 2 1(1)37xxx 的整数解的个解（） A等于 4 B小于 4 C大于 5 D等于 5 2 6在ABC中，A是钝角，O是垂心，AOBC，则cos()OBCOCB的值是（ ） A 2 2 B 2 2 C 3 2 D 1 2 7 锐角三角形ABC的三边是a，b，c， 它的外心到三边的距离分别为m，n，p， 那么: :m n p 等于（ ） A 1 1 1 : a b c B: :a b c Ccos:cos:cosABC Dsin:sin:sinABC 8 1 3 333 421 3 999 可以化简成（ ） A 33 321 B 33 321 C 3 21 D 3 21 二、填空题 1当x变化时，分式 2 2 365 1 1 2 xx xx 的最小值是_ 2放有小球的 1993 个盒子从左到右排成一行，如果最左面的盒里有 7 个小球，且每四个相 邻的盒里共有 30 个小球，那么最右面的盒里有_个小球 3若方程 22 (1)(1)xxk有四个非零实根，且它们在数轴上对应的四个点等距排列，则 k _ 4锐角三角形ABC中，ABC中，30A 以BC边为直径作圆，与AB，AC分别交 于D，E，连接DE，把三角形ABC分成三角形ADE与四边形BDEC，设它们的面积分别 为 1 S， 2 S，则 12 :SS _ 第二试 一、设H是等腰三角形ABC垂心，在底边BC保持不变的情况下让顶点A至底边BC的距 离变小，这时乘积 ABCHBC SS 的值变小、变大，还是不变？证明你的结论 3 二、ABC中，5BC ，12AC ，13AB ， 在边AB，AC上分别取点D，E， 使线段DE 将ABC分成面积相等的两部分试求这样的线段DE的最小长度 三、已知方程 2 0xbxc及 2 0xcxb分别各有两个整数根 1 x， 2 x，及 1 x ， 2 x ，且 12 0x x ， 12 0x x （1）求证： 1 0x ， 2 0x ， 1 0x ， 2 0x （2）求证：11bcb ； （3）求b，c所有可能的值 4 1993 年全国初中数学联合竞赛试题 答案 第一试 一、选择题 1A 【解析】 12666 1(1)1xxxx 6242 (1)(1)1xxxx 所以余式为 1 2B 【解析】 命题正确，证明如下： 如左图，ABCDE为圆内接五边形，各内角相等，由AB ，知BCECEA 于是BCEA，同理可证BCDEABCDEA，故ABCDE是正五边形 命题不正确，反例如下：如右图，ABCD为圆内接矩形 90ABCD ，ABCD，BCDA，但ABBC， 显然，ABCD满足命题条件，但不是正四边形 3D 【解析】 因为|1|x，|1|x分别表示数轴上的点x到点和点1的距离， 因此，当11x 时，|1|1| 2yxx； 当1x 时，|1|1| 22|1| 2yxxx； 1x 时，|1|1| 22|1| 2yxxx 而在1与 1 之间有无穷个实数x，故有无穷多个x使y取到最小值 4C 【解析】 给定方程组中的方程按顺序两两相减分别得 1412 xxaa， 2523 xxaa， 3134 xxaa， 4245 xxaa 12345 aaaaa， 14 xx， 25 xx， 31 xx， 42 xx， 于是有 31425 xxxxx 5 5A 【解析】 注意到 2 (2)(1)0 1(1)371126 (1)(6)0 xx xxxxx xx 或， 于是原不等式的整数解是介于1与 6 之间且不等于 1，2 的整数，即 0，3，4，5 四个整数 6A 【解析】 设ABC的三条高AD，BE，CF相交于点O因ABC为钝角三角形，故垂心 O在ABC的外部（如图） B，D，F，O四点共圆， 故12 又由题设OABC， 知RtRtOAFBCF， OFBF， 于是45BOF 而180135OBCOCBBOF， 2 cos()cos135 2 OBCOCB 7C 【解析】 如图，设O是ABC的外心，OAOBOCR， 1 coscos 2 m BOCA R ， cosmRA 同理cosnRB，cospRC : :cos:cos:cosm n pABC 8D 【解析】 原式 1 1 121 3 333 1 3221 9 1 3 1 3 1 3 3 1 3 21 32121 21 二、填空题 14 【解析】 22 222 2 3656121022 66 1 2422(1)1 1 2 xxxx xxxxx xx 当1x 时，公式取最小值 4 C n m p O B A F E D O A B C 6 27 【解析】 设从左到右小盒里的球数为 7， 2 a， 3 a， 1993 a 234 730aaa， 2345 30aaaa 5 7a ， 同理 91317411993 7 k aaaaa 3 4 7 【解析】 设 2 xy，原方程变为 2 540yyk，设此方程有根，()x，则原 方程的四个根为，由于它们的在数轴对应的四个点等距排列， ，故9 又由韦达定理可得：5 综上课解得： 1 2 ， 9 2 ，于是 9 4 4 k， 7 4 k 43 【解析】 如图，BC 为圆的直径， 18090AEBBCE 3 coscos30 2 AE A AB 又ADEABC， 3 2 ADAE ACAB 由此可知 2 1 sin 3 2 1 4 sin 2 AED AEB AD AEA SAE SAB AB ACA 因而四边形DBCE面积 2 1 4 ABC SS 12 :3SS C E D B A 7 第二试 一、 【解析】 解法一：不妨设角A是锐角，连接AH并延长交BC于D点，延长BH，CH分别 交AC于E，交AB于F，如图 BHDAHE， HBDHAE 因为RtRtBDHADC， ADDC BDHD 又 1 2 BDDCBC， 2 1 4 AD HDBD CDBC 4 111 : 2216 ABCHBC SSBC ADBC HDBC 当90A时，同理可证上式也成立，由于BC是不变的，所以当A点至BC的距 离变小时，乘积 ABCHBC SS 保持不变 解法二：作图如解法一，再延长AD至G，使DGDH，并分别连接BG，GC 8 由HBDGBD， CBGCBHCAG， 因而，A，B，G，C四点共圆，由相交弦定理， 得AD HDAD DGBD DC 2 1 4 BC 因此， ABCHBC SS 11 22 AD BCHD BC 4 1 16 BC 由于BC是不变的，所以当点A至BC的距离变小时，乘积 ABCHBC SS 保持不变 二、 【解析】 由于 222 51213，知ABC是直角三角形，如题图 1 5 1230 2 ABC S ， 设ADx，AEy， 由于 1 sin 2 ADE SxyA 15， 5 sin 13 A， 知78xy 由余弦定理知： 2222 2cos()2(1 cos )DExyxyAxyxyA 2 12 ()2781 13 xy 2 ()1212xy， 当xy时，上式的等号成立，此时122 3DE 达到最小值 三、 【解析】 （1）假如 1 0x ，由 12 0x x ，知 2 0x ，对于已知两个方程用韦达定理得 1212 0xxb x x ，这与已知 12 0x x 矛盾，因此， 1 0x 同理 2 0x ， 1 0x ， 2 0x （2）由韦达定理及 1 0x ， 2 0x 且 12 ,x x都为整数，有 1212 (1)1cbx xxx 12 (1)(1)0xx， 所以1cb 对于方程 2 0xcxb进行同样讨论，得1bc 综合以上结果，有11bcb （3）根据 2 的结果可分下列情况讨论： 当1cb时，由韦达定理有 1212 1x xxx ，从而 12 (1)(1)2xx由于 1 x， A EC B D 9 2 x都是负整数