南通市2017届高三数学最后一卷---参考答案与评分建议.pdf

数学参考答案及评分建议 第 1 页 （共 14 页） 高三练习卷 数学参考答案与评分建议 一、填空题：本大题共 14 小题，每小题 5 分，共计 70 分请把答案填写在答题卡相应位置上 1 已知集合11Axx ，02Bxx，则AB 【答案】12xx 2 设复数 2 (2i)z （i为虚数单位） ，则z的共轭复数为 【答案】34i 3 根据如图所示的伪代码，当输入x的值为e（e为自然对数的底数） 时，则输出的 y 的值为 【答案】1 4 甲、乙两组数据的茎叶图如图所示，则平均数较小的一组数 为 （选填“甲”或“乙” ） 【答案】甲 5 在ABC 中，角ABC， ，的对边分别为abc， ，已知75A ，45B ，3 2c ，则边b 的值为 【答案】2 3 6 口袋中有形状大小都相同的 2 只白球和 1 只黑球先从口袋中摸出 1 只球，记下颜色后放回 口袋，然后再摸出 1 只球，则出现“1 只白球，1 只黑球”的概率为 【答案】 4 9 7 在平面直角坐标系xOy中， 已知双曲线的渐近线方程为xy， 且它的一个焦点与抛物线 2 8xy 的焦点重合，则该双曲线的方程为 【答案】 22 2yx 8 已知( )yf x是定义在(0)(0) ，上的奇函数，且当(0)x ，时，( )12xf x ，则 当(0)x ，时，( )f x的解析式为( )f x 【答案】21 x 9 一个封闭的正三棱柱容器，高为 8，内装水若干（如图甲，底面处于水平状态） 将容器放倒 Read x If x0 Then yx1 Else ylnx End If Print y （第 3 题） （第 4 题） 甲 乙 8 1 9 9 1 2 3 7 2 5 3 3 5 数学参考答案及评分建议 第 2 页 （共 14 页） A D C B M （第 10 题） （如图乙，一个侧面处于水平状态） ，这时水面所在的平面与各棱交点 11 EFFE，分别为 所在棱的中点，则图甲中水面的高度为 【答案】6 10如图，ABC 中，M是中线AD的中点若2AB ，3AC ，60BAC，则AM BM 的值为 【答案】 9 16 11已知数列 n a中， 1 1a ， 2 4a ， 3 10a 若 1 nn aa 是等比数列，则 10 1 i i a 【答案】3049 12已知abR，ab，若 22 240aabb，则2ab的最小值为 【答案】8 3 13在平面直角坐标系xOy中，已知点(0 1)P，在圆 C： 222 22410xymxymm 内若 存在过点 P 的直线交圆 C 于 A，B 两点，且PBC 的面积是PAC 面积的 2 倍，则实数 m 的 取值范围是 【答案】 4 4 9 ， 14设函数( )()21f xxa xax xa（0a ） 若存在 0 1 1x ，使 0 ()0f x，则a的 取值范围是 【答案】322 ， 二、解答题：本大题共 6 小题，共计 90 分请在答题卡指定区域 内作答解答时应写出文字说明、 证明过程或演算步骤 15 （本小题满分 14 分） 已知向量(sin1)(13cos) 22 xx ， ，mn，函数( )f x m n （1）求函数( )f x的最小正周期； C A B C1A1 B1 B B1 C A C1 A1 F E E1 F1 （第 9 题甲） （第 9 题乙） 数学参考答案及评分建议 第 3 页 （共 14 页） （第 16 题） C A D B P E F （2）若 22 () 33 f ，求(2) 3 f 的值 【解】 （1）( )sin3cos 22 xx f x m n+ 2 分 31 2( sincos ) 2222 xx + 2(sincoscossin) 2323 xx + 2sin 23 x ， 4 分 所以函数( )f x的最小正周期为 2 4 1 2 T 6 分 （2）由 22 () 33 f ，得 2 2sin 23 ，即 1 sin 23 8 分 所以(2)2sin() 32 f 10 分 2cos 2 2(12sin) 2 14 9 14 分 16 （本小题满分 14 分） 在四棱锥PABCD中，底面 ABCD 为直角梯形，90BADADC ，22DCABAD， BCPD，E，F 分别是 PB，BC 的中点 求证： （1）PC平面 DEF； （2）平面PBC 平面PBD 【证】 （1）因为 E，F 分别是 PB，BC 的中点， 所以 PCEF 2 分 又PC平面 DEF，EF平面 DEF， 所以PC平面 DEF 4 分 （2）由22DCABAD，不妨设1ABAD，则2DC 在ABD 中，90BAD，1ABAD， 则2BD 6 分 过点 B 作 BMAD 交 DC 于 M， 因为四边形 ABCD 为直角梯形， 所以四边形ABMD为矩形， 所以BMDC， 所以1BM ，1DM ， 因为2DC ，所以1CM ，2BC 8 分 在BCD 中，因为 222 BDBCCD， C A D B P E F M 数学参考答案及评分建议 第 4 页 （共 14 页） 所以BCBD 10 分 因为BCPD,BDPDD,BD 平面 PBD，PD 平面 PBD, 所以BC 平面 PBD 12 分 因为BC 平面 PBC， 所以平面PBC 平面PBD 14 分 17 （本小题满分 14 分） 为建设美丽乡村，政府欲将一块长 12 百米，宽 5 百米的矩形空地 ABCD 建成生态休闲园，园区 内有一景观湖 EFG（图中阴影部分） 以 AB 所在直线为 x 轴，AB 的垂直平分线为 y 轴，建立 平面直角坐标系xOy（如图所示） 景观湖的边界曲线符合函数 1 (0)yxx x 模型园区服务 中心 P 在 x 轴正半轴上，PO= 4 3 百米 （1）若在点 O 和景观湖边界曲线上一点 M 之间修建一条休闲长廊 OM，求 OM 的最短长度； （2）若在线段 DE 上设置一园区出口 Q，试确定 Q 的位置，使通道 PQ 最短 【解】 （1） （方法一）设 11 1 1 M xx x ， 1 0x ， 则 2 2 11 1 1 OMxx x 2 1 2 1 1 22x x 2 分 2 2+2， 4 分 当且仅当 2 1 2 1 1 2=x x ，即 4 1 1 2 x 时取等号 所以OM的最小值为2 2+2百米 6 分 （方法二）设直线OMykx：（其中k一定存在） ，代入 1 yx x ， 得 1 kxx x ，化简为 2 (1)1kx 设 11 (,)M x y ，则 1 1 1 x k ， （1k ） 2 分 所以 22222 1111 OMxyxk x 2 211 1 11 k k kk ， 4 分 F CD ABOP GE M （第 17 题） y x 数学参考答案及评分建议 第 5 页 （共 14 页） 令1(0)tkt，则 22 1222 2 1 ktt t ktt 2 22， 当且仅当2t 等号成立，即21k 时成立 综上，OM的最短长度为22 2百米 6 分 （2） （方法一）当直线PQ与边界曲线相切时，PQ最短 8 分 设切点为 22 2 1 T xx x ，由 1 yx x 得 2 1 1y x ， 所以切线的方程为 22 2 2 2 11 1yxxx x x 因为P在x轴正半轴上，且 PO= 4 3 ，所以P点坐标为 4 (0) 3 ， 因为切线过点 4 (0) 3 P，所以 22 2 2 2 1 1 14 3 x xx x ， 10 分 整理得 2 22 2320xx，解得 2 1 2 x ，或 2 2x 因为0x ，所以 2 1 2 x ，此时切点为 15 (,) 22 ，切线方程为34yx 12 分 令5y ，得 1 3 x ，即点Q在线段DE上且距离y轴1 3 百米 答：当点Q在线段DE上且距离y轴1 3 百米，通道 PQ 最短 14 分 （方法二）当直线PQ与边界曲线相切时，PQ最短 8 分 若直线PQ斜率不存在，则直线方程为 4 3 x ，不符合题意； 若直线PQ斜率存在，设PQ方程为 4 () 3 yk x，代入 1 yx x ， 化简得 24 (1)10 3 kxkx 当1k 时，方程有唯一解 3 4 x （舍去） ， 10 分 当1k 时，因为直线与曲线相切，所以 24 ()4(1)0 3 kk ， 解得3k 或 3 4 k （舍去） ， 此时直线PQ方程为34yx ， 12 分 令5y ，得 1 3 x ，即点Q在线段DE上且距离y轴1 3 百米 答：当点Q在线段DE上且距离y轴1 3 百米，通道 PQ 最短 14 分 18. （本小题满分 16 分） 数学参考答案及评分建议 第 6 页 （共 14 页） 在平面直角坐标系xOy中，椭圆 2 2 22 1 y x ab （0ab）的离心率为e，D为右准线上一点 （1）若 1 2 e ，点D的横坐标为 4，求椭圆的方程； （2）设斜率存在的直线l经过点 3 (0) 4 a P，且与椭圆交于AB，两点若OAOBOD ， DPl，求椭圆的离心率e的值 【解】 （1）由题意， 2 1 2 4 c a a c ， ， 2 分 解得2a ，1c 又因为 222 abc，所以3b ， 所以椭圆C方程为 2 2 1 43 y x 4 分 （2） （方法一）设直线l的方程为 3 () 4 yk xa，显然0k 代入 2 2 22 1 y x ab ，得 22222223 () 4 b xa kxaa b， 即为 222223422239 ()0 216 a kbxk a xa ka b 6 分 设 1122 ()()A xyB xy，则 23 22 12 2 3 2 k a x a kb x ， 所以 121 2 222 2 3 23 () 2 yyk xxa akb a k k b ， 因为OAOBOD ，所以 232 222222) 3 ( 3 22 D k aakb a kba kb ， 8 分 因为DPl，所以1 ABPD kk ，即 2 222 23 222 1 3 3 2 3 2 4 akb a kb k k a a a kb ， 化简为 22222221 () 2 b ka kba k，即 22222 2a kbc k 12 分 因为点D在右准线上，所以 23 2 222 3 2 k a a kb a c ，即 22223 2 a kbk ac 14 分 所以 2223 2 2 c kk ac，即 3 4 ca， l D B A PO （第 18 题） y x 数学参考答案及评分建议 第 7 页 （共 14 页） 所以 3 4 e 16 分 （方法二）设 2 11220 ()()() a A xyB xyDy c ， 由题意知， 1212 00xxxx， 则 22 11 22 22 22 22 1 1 xy ab xy ab ， ， 两式相减，得 12121212 22 (+)()(+)() 0 xxxxyyyy ab ， 所以 2 1212 2 12 12 (+) (+) yybxx xx ayy 8 分 因为OAOBOD ，所以 2 12120 + a xxyyy c ， 所以 2 2 2 2 0 0 AB a b bc k cy a y 12 分 因为DPl，所以1 ABPD kk ，即 2 0 2 0 1 3 4 y b cy aa c ， 14 分 化简得 223 4 aacb，即 3 4 ca， 所以 3 4 e 16 分 19 （本小题满分 16 分） 设区间 3 3D ，定义在D上的函数 3 ( )1f xaxbx（0abR，） ，集合 |( )0AaxDf x ， （1）若 1 6 b ，求集合A； （2）设常数0b 讨论( )f x的单调性； 若1b ，求证：A 【解】 （1）当 1 6 b 时， 31 ( )1 6 f xaxx，则 21 ( )3 6 fxax 由0a 可知( )0fx恒成立，故函数( )f x在 3 3 ，上单调递增， 2 分 所以 min 1 ( )( 3)270 2 f xfa ，解得 1 0 54 a， 所以集合 1 |0 54 Aaa 4 分 （2） 由 3 ( )1f xaxbx得 2 ( )3fxaxb， 数学参考答案及评分建议 第 8 页 （共 14 页） 因为00ab，则由( )0fx，得 1,212 () 3 b xxx a 在R上列表如下： x 1 (,)x 1 x 12 ( ,)x x 2 x 2 (,)x ( )fx 0 0 ( )f x 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增 （）当 2 3x ，即0 27 b a时， 则 12 3 3xx，所以( )f x在 3 3 ，上单调递减； 6 分 （）当 2 3x ，即 27 b a 时，此时 1 3x ， ( )f x在 1 3x ，和 2 3x ，上单调递增；在 12 ()xx，上单调递减 综上，当0 27 b a时，( )f x在 3 3 ，上单调递减； 当 27 b a 时，( )f x在3 3 b a ，3 3 b a ，上单调递增； 在 33 bb aa ，上单调递减 8 分 （方法一）当1b 时，由可知， （）当0 27 b a时，( )f x在 3 3 ，上单调递减， 所以 min ( )(3)2731312110f xfabbbb ， 这与( )0xDf x ，恒成立矛盾，故此时实数a不存在； 10 分 （）当 27 b a 时，( )f x在3 3 b a ，3 3 b a ，上单调递增； 在 33 bb aa ，上单调递减， 所以 min2 ( )min ( 3)()f xff x， 12 分 若( 3)27310fab ， 这与( )0xDf x ，恒成立矛盾， 故此时实数a不存在； 若( 3)27310fab ，此时 3 222 ()1f xaxbx， 又 2 22 ()30fxaxb，则 2 2 3 b ax ， 3 32 22222 2 24 ()1()1111 333327 bx bbbb f xaxbxxbx aa 14 分 下面证明 3 4 10 27 b a ，也即证： 3 427ba 数学参考答案及评分建议 第 9 页 （共 14 页） 因为 27 b a ，且27310ab ，则2731ab ， 下证： 3 431bb 令 3 ( )431(1)g bbbb ，则 2 ( )1230g bb， 所以( )g b在(, 1 上单调递增，所以( )( 1)0g bg，即 2 ()0f x 这与( )0xDf x ，恒成立矛盾，故此时实数a不存在 综上所述，A 16 分 （方法二） （）当0x 时，(0)1f 0成立； （）当(0,3x时，由题意可知 3 1axbx -恒成立，则 23 1b a xx -， 设 23 1 ( ) b g x xx -，则 244 2323 ( ) bbx g x xxx ， 令( )0g x，解得 3 2 x b 因为1b ，所以 3 03 2b ， 所以( )g x在 3 (0) 2b ，上单调递增，在 3 (3 2b ，上单调递减， 所以 333 max 3484 ( )() 292727 bbb g xg b ，所以 3 4 27 b a-； 12 分 （）当 3 0)x ，时，由题意可知 3 1axbx -恒成立，则 23 1b a xx - 设 23 1 ( ) b g x xx -，则 244 2323 ( ) bbx g x xxx ， 因为1b ，所以( )0g x恒成立，所以( )g x在 3,0)上单调递增， 所以 min 1 ( )( 3) 927 b g xg ， 所以 1 927 b a 若A ，则存在实数a满足 3 41 27927 bb a-， 则 3 41 27927 bb -成立，即 3 4310bb ， 也即 2 (1)(21)0bb成立， 则1b，这与1b 矛盾，所以A 16 分 20 （本小题满分 16 分） 已知数列 n a的各项均为正数，1 1 a，前n项和为 n S，且 nn Sna21 22 1 ，为正常数 （1）求数列 n a的通项公式； 数学参考答案及评分建议 第 10 页 （共 14 页） （2）记 n n n S b a ， 11 n nk n c SS （ * 22knknN， ） 求证： 1 nn bb； 1nn cc 【解】 （1）由 22 1 12 nn anS ，得 22 1 (1)12(2) nn anSn ， 两式相减得 222 1 2 nnn aaa ，也即 22 1 () nn aa 又00 n a，所以 1 (2) nn aan 2 分 当1n 时， 22 21 122aa ，则 21 1aa ， 所以 1nn aa （ * nN） ， 所以数列 n a是首项为1，公差为的等差数列， 所以1(1)1 n ann 4 分 （2） 由（1）知 2 (2) 2 n nn S ， 所以 2 2 (2) (2) 12 () 12(1)21 n n n nn Snn n bn annn ， 6 分 则 2 1 111(1)(22)2 (1)0 21(1)12(1)( (1)1) nn nnn nn bb nnnn ， 所以 1nn bb 得证 8 分 1 11 1111 ()() nn nk nnk n cc SSSS 11 1111 ()() nnk nk n SSSS 1 11 nk n nnk nk n aa SSSS 1 11 11k nn k nk nnn aa SSSS 11 1111 k nk nnn SbSb ， 12 分 因为22kn，所以1nkn ，1nkn 由0 n a ，所以 1 0 nk n SS ，所以 1 11 0 k nn SS ， 又因为 1 0 nk n bb ，所以 1 11 0 k nn bb ， 所以 1 0 nn cc ， 所以 1nn cc 得证 16 分 数学参考答案及评分建议 第 11 页 （共 14 页） 高三数学练习卷 数学（附加题）参考答案与评分建议 21 【选做题】本题包括 A、B、C、D 共 4 小题，请 选定其中两小题 ，并在相应的答题区域内作答 若多做，则按作答的前两小题评分解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤 A选修 41：几何证明选讲（本小题满分 10 分） 如图，圆O的半径OA与OB互相垂直，E为圆O上一点，直线OB与圆O交于另一点F， 与直线AE交于点D，过点E的切线CE交线段BD于点C求证： 2 CDCB CF 【证】连结OE，则OECE， 因为OEOA，所以OEAOAE 2 分 因为OAOB，所以90ODAOAE ， 因为OECE，所以90OEACED ， 所以ODACED ， 6 分 所以CDCE 因为CE是圆O的切线段， 所以 2 CECB CF， 所以 2 CDCB CF 10 分 B选修 42：矩阵与变换 （本小题满分 10 分） 已知矩阵 23 1t M的一个特征值为4若点( 1 2)P ，在矩阵M对应的变换作用下得到点 P ， 求点 P 的坐标 【解】矩阵M的特征多项式为 23 ( )(2)(1)3 1 ft t 2 分 因为矩阵M的一个特征值为 4，所以方程0)(f有一根为4， 即(4)630ft，所以2t 6 分 所以 23 21 M，所以 12314 22120 M， 所以点 P 的坐标为(4 0)， 10 分 C选修 44：坐标系与参数方程（本小题满分 10 分） 在极坐标系中，已知直线l的方程为 2 sin() 42 ，曲线C的方程为4sin B D C E A O F （第 21-A 题） B D C E A O F 数学参考答案及评分建议 第 12 页 （共 14 页） 若直线l与曲线C相交于 A，B 两点，求线段 AB 的长 【解】以极点为原点，极轴为x轴的正半轴建立直角坐标系xOy 由 2 sin() 42 ，得sincos1，所以1yx，即10xy ； 3 分 由4sin化为直角坐标方程为 22 4xyy，即 22 (2)4xy 6 分 所以圆心( 0 2 )，到直线l的距离为 2 2 d ， 所以 2 2 414ABd 10 分 D选修 45：不等式选讲 （本小题满分 10 分） 已知a bR，且ba ，求证： 22 2 1 2 baba a 32 b 【证】因为a bR，且ab， 所以 22 1 22 2 ab aabb 2 1 2() () ab ab 2 )( 1 )()( ba baba 5 分 2 3 2 1 3()3 () ab ab ， 所以 22 2 1 2 baba a 32 b 10 分 【必做题】第 22 题、第 23 题，每题 10 分，共计 20 分请在答题卡指定区域内作答 ，解答时应写 出文字说明、证明过程或演算步骤 22 （本小题满分 10 分） 甲、乙、丙、丁四名同学志愿到A，B两个社区进行服务，他们每人将一枚质地均匀的骰子 抛掷一次若向上的点数为5或6,则该同学去A社区，否则去B社区 （1）求甲、乙、丙、丁四名同学中恰有 1 人去A社区的概率； （2）设X表示去A社区的人数，Y表示去B社区的人数记YX ，求随机变量的概率 分布和数学期望 【解】 （1）由题意可知，每名同学去A社区的概率为 3 1 ，去B社区的概率为 3 2 2 分 所以甲、乙、丙、丁四名同学中恰有 1 人去A社区的概率为 3 1 4 1232 3381 C 4 分 （2）的所有可能取值为034， ， (0)P 44 1217 3381 ， 数学参考答案及评分建议 第 13 页 （共 14 页） 33 13 44 121240 (3) 333381 PCC ， 22 2 4 128 (4) 3327 PC ， 所以的概率分布为： 0 3 4 P 81 17 81 40 27 8 8 分 数学期望 3 8 27 8 4 81 40 3 81 17 0)(E 10 分 23 （本小题满分 10 分） 已知数列 n a是公差为d的等差数列在 n a的每相邻两项之间插入这两项的算术平均数， 得到新数列(1) n a，这样的操作叫做该数列的 1 次“A”扩展连续m次“A”扩展，得到 新数列( ) n a m例如：数列 1，2，3 第 1 次“A”扩展后得到数列 1， 3 2 ，2， 5 2 ，3；第 2 次“A”扩展后得到数列 1， 5 4 ， 3 2 ， 7 4 ，2， 9 4 ， 5 2 ，11 4 ，3 （1）求证：( ) n a m为等差数列，并求其公差 m d； （2）已知等差数列 n a共有n项，且 1 11ad，若( ) n a m的所有项的和为( ) n Sm，求使 22 ()2017 n S nn成立的n的取值集合 【解】 （1） 当1m 时， n a与 1n a 的算术平均数为 1 2 nn aa ， 则 111 1 2222 nnnnnn nn aaaaaa d aa 为