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文档简介

第一讲 一阶微分方程 一、微分方程的基本概念 二、可分离变量的微分方程 三、齐次微分方程 四、一阶线性微分方程 五、伯努利微分方程 1 一、 微分方程的基本概念 2 3 4 5 6 例3. 验证函数 是微分方程 的解, 的特解 . 解: 这说明是方程的解 . 是两个独立的任意常数, 利用初始条件易得: 故所求特解为 故它是方程的通解. 并求满足初始条件 7 二、 可分离变量的微分方程 转化 已分离变量方程 8 9 10 例4. 解初值问题 解: 分离变量得 两边积分得 即 由初始条件得 C = 1, ( C 为任意常数 ) 故所求特解为 机动 目录 上页 下页 返回 结束 11 三、 齐次方程 12 13 14 例3. 解微分方程 解: 代入原方程得 分离变量 两边积分 得 故原方程的通解为( C 为任意常数 ) 15 四、一阶线性微分方程 一阶线性微分方程标准形式: 若 Q(x) 0, 若 Q(x) 0, 称为非齐次方程 . 1. 解齐次方程 分离变量 两边积分得 故通解为 称为齐次方程 ; 16 对应齐次方程通解 2. 解非齐次方程 用常数变易法: 则 故原方程的通解 即 作变换 两端积分得 17 例1. 解方程 解: 先解即 积分得即 用常数变易法求特解. 令 则 代入非齐次方程得 解得 故原方程通解为 18 解法2: 公式法 原方程的通解为 ： 通解为 ： 19 20 原方程的通解为 ： 21 五、伯努利 ( Bernoulli )方程 22 23 思考与练习 判别下列方程类型: 提示: 可分离 变量方程 齐次方程 线性方程 线性方程 伯努利 方程 机动 目录 上页 下页 返回 结束 2424 2. 求下列方程的通解: 机动 目录 上页 下
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