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（一）电磁学 共 23 题 （二）相对论 共 3 题 （三）量子物理 共 6 题 共共2323题题 1 均匀带电圆环轴线上一点的场强。设半径为R的细 圆环均匀带电，总电量为q，P是轴线上一点，离圆心 O的距离为x ，求P点的场强。 dq r O x R x P 解： (3) (4) 积分求解: 由于对称性 (1) (2) 将 分解为 在圆环上任意取一线 元dl，其带电量为dq dq r O P x R x 在积分过程中，r和 保持 不变，可以提到积分号外，即 dq r O P x R x 讨论(1) 环心处，x=0，E=0； 即远离环心处的电场相当于一个点电荷 产生的电场。 (3) 当xR时， 思考 如果把圆环去掉一半， P点的场强是否等于 原来的一半？ (2) 当q0时， 沿轴线指向远离轴线的方向， 当q R)，取同样高斯面， 所以得电场分 布的矢量表达 l O ab R1 R2 rb ra 3：均匀带电球层，内半径为R1，外半径为 R2，体电荷密度为 。求图中a点和b点电势。 解： 取薄球壳，半径为r，厚为dr ，可视为均匀带电球面，其 带电量为 r dr 对a点，此带电球面产生的电势为 对b点，当球壳半径r rb时，其产生的电势为 4：有一块大金属平板，面积为S，带有总电量 Q，今 在其近旁平行地放置第二块大金属平板，此板原来不 带电。(1)求静电平衡时，金属板上的电荷分布及周围 空间的电场分布。(2)如果把第二块金属板接地，最后 情况又如何？（忽略金属板的边缘效应。） 1234 解：（1）由于静电平衡时导 体内部无净电荷，所以电 荷只能分布在两金属板的 表面上。设四个表面上的 面电荷密度分别为1、 2、3和4。 Q S 由电荷守恒定律可知： 闭曲面作为高斯面。由于板间电场与板面垂直，且板 内的电场为零，所以通过此高斯面的电通量为零。 选一个两底分别在两个金属 板内而侧面垂直于板面的封 金属板内任一点P的场强是4个带电平面的电场的叠 加，并且为零，所以 1234 Q S P (1) (2) (3) (4) 即： 联立求解可得： 电场的分布为： 在区， 在区， 在区， 方向向左 方向向右 方向向右 E E E IIII 1234 Q S 1 2 3 4 由有 （2）如果把第二块金属板接地 ，其右表面上的电荷就会分散到 地球表面上，所以 第一块金属板上的电荷守恒仍给出 由高斯定律仍可得 金属板内P点的场强为零，所以 联立求解可得： IIII 1234 S P 电场的分布为： E =0， E方向向右 EIII=0 O 直线 + d 导 体 板 5 如图，求 O 点处感应电荷密度 。 x O/ 解：取导体板内很邻近O点的 O/点，直线在O/点产生的电场 感应电荷在 O/ 点产生的电场 ，由总电场得 解：两极面间的电场 在电场中取体积元 则在 dV 中的电场能量为： 6 一圆柱形电容器，两个极面的半径分别为R1和R2， 两极面间充满相对介电常数为 的电介质。求此电容 器带有电量Q时所储存的电能。 L +QQ r R1 R2 S 解: 根据电荷分布对壁的平分面的 面对称性，可知电场分布也具有这 种对称性。由此可选平分面与壁的 平分面重合的立方盒子为高斯面， 如图所示，高斯定理给出： 7 一无限大均匀带电厚壁，壁厚为D，体电荷密度为 ，求其电场分布，并画出 E-d 曲线，d为垂直于壁面 的坐标，原点在厚壁的中心。 D d E-d 曲线如图 E d O do 8 两个同心金属球壳，内球壳半径为R1，外球壳半径为 R2，中间充满相对介电常数为 r 的均匀介质，构成一个 球形电容器。 (1) 求该电容器的电容； (2)设内外球壳上 分别带有电荷+Q和-Q，求电容器储存的能量。 解: (1) 已知内球壳上带正电荷Q，则 两球壳中间的场强大小为 ： 两球壳间电势差 电容 (2) 电场能量： O R1 R2 9 两个同心的均匀带电球面，半径分别为R1=5.0cm， R2=20.0cm，已知内球面的电势为 ，外球面的 电势为 。 (1) 求内外球面所带电量； (2)两个 球面之间何处电势为零。 解: (1)以q1和q2分别表示内外球所带电量，由电势叠加 原理： 联立可得 可得 (2) 由： O R1 R2 10.在均匀磁场中放置一半径为R的半圆形导线，电流强 度为I，导线两端连线与磁感应强度方向夹角=30，求 此段圆弧电流受的磁力。 I a b 解：在电流上任取电流元 方向 11. 如图所示，在均匀磁场中，半径为R的薄圆盘以角速 度绕中心轴转动，圆盘电荷面密度为。求它的磁矩 、所受的磁力矩以及磁矩的势能。 解：取半径为r的环状面元，圆盘转动 时，它相当于一个载流圆环，其电流： 磁矩： R r dr 受的力矩： 圆盘磁矩： 方向向上 磁矩的势能为 12.一半径为R的无限长半圆柱面导体，其上电流与其轴 线上一无限长直导线的电流等值反向。电流I在半圆柱 面上均匀分布。(1)求轴线上导线单位长度所受的力；(2) 若将另一无限长直导线(通有大小、方向与半圆柱面相同 的电流I)代替圆柱面，产生同样的作用力，该导线应放 在何处？ 解：(1)在半圆柱面上沿母线取宽为dl 的窄条，其电流 I I R 它在轴线上一点产生的 磁感应强度: 方向如图 dI dl x y 由电流分布的对称性可知： 方向沿x轴 方向沿y轴，是斥力 dI dl x y (2)另一无限长直导线应平行放置于y轴负半轴上，以d表 示两直导线间的距离，则 13. 将一均匀分布着的电流的无限大载流平面放入均匀磁场中，电 流方向与此磁场垂直。已知平面两侧的磁感应强度分别为 B1 和 B2 ，如图所示，求该载流平面单位面积所受磁场力的大小和方向。 解: 载流平面自身在其两侧产生的磁场为： 方向相反。 均匀外磁场 B0 在平面两侧方向相同。 由图， 载流平面产生磁场与外磁场在左侧方向相反，在右侧方向相同。 载流平面单位面积所受的磁场力 考虑长dl，宽 ds 的电流元， 其在外磁场中受的磁场力 x O R x 由对称性 解: 方向: + x 14：圆电流（I，R）轴线上的磁场。 q 方向：右手定则 q x = 0 圆心处 q x R 15. 半径为R的圆片上均匀带电，面密度为 ，该圆片以匀角速度 绕它的轴线旋转，求圆片中心 O 处的磁感应强度的大小。 O 解: 取 r 处 dr 宽度的圆环，其以作圆周运动， 相当于一圆电流 dI，dI 的大小为： 此圆电流在圆心处产生的磁场的磁感应强度为： 整个圆板在圆心处产生的磁场的磁感应强度为： 16：求无限长均匀载流圆柱体 ( I, R )的磁场。 I 柱外：r R 柱内：r 0，则回路中电动势方向为逆时针，B端高。 由于OA和OB两段沿径向，涡旋电场垂直于段元，这 两段不产生电动势。该电动势就是金属棒上的电动势 。 x 19.导体 CD 以恒定速率在一个三角形的导体框架 MON上 运动，它的速度的方向垂直于 CD 向右，磁场的方向如图 ，B = Kxcost, 求：CD运动到 x 处时，框架 COD 内感 应电动势的大小、方向。（设 t =0, x =0) 解：选定回路正向，顺时针方向 h dx , x , C D M O N C D x M O N h dx x 解二、 20.矩形螺绕环共有N 匝，尺寸如图，求：L =? D2 D1 h I L 解：设电流为I，取回路L 若矩形螺绕环中充满磁导率为的介质，L =? ds h r 21.一边长为 l 和 b 的矩形线框。在其平面内有一根平 行于 AD 边的长直导线 OO，导线半径为 a 。 求：该系统的互感系数 O O b l . . . . . I 12 解： ds A B CD 22.传输线由两个同轴圆筒组成，内、外半径分别为R1 , R2 , 其间介质的磁导率为，电流由内筒一端流入，由 外筒的另一端流回，当电流强度为 I 时，求: l 长度传输 线内储存的磁能。 I 解： a 单位长度L* l 求: 任意时刻t 在矩形线框内的感应电动势 并讨论 的方向. a b 23. 如图,真空中一长直导线通有电流 有一带滑动边的矩形导线框与其平行共面,二者相 距a.滑动边长为b,以匀速 滑动.若忽略线框中的 自感电动势,并设开始时滑动边与对边重合. a O x y a+b ds 建立坐标 xoy. 取ds,其内的磁通量 L 顺时针 L 在t时刻,矩形线框内的磁通量 a 0 x y a+b a 0 x y a+b 的方向 当 时, 为顺时针方向. 当 时, 为逆时针方向. L 共共3 3题题 1.一发射台向东西两侧距离均为L0 的两个接收站E与W发射讯号, 如 图, 今有一飞机以匀速度v 沿发射 台与两接收站的连线由西向东, 求:在飞机上测得两接收站收到发 射台同一讯号的时间间隔是多少? 解: 设东西接收到讯号为两个事件,时空坐标为 地面为S系(xE , tE),(xW , tW) 飞机为S系(xE, tE),(xW, tW) 负号表示东先接收到讯号。 由洛仑兹时空变换得 2. 两只宇宙飞船, 彼此以0.98c的相对速率相对飞过对 方;宇宙飞船1中的观察者测得另一只宇宙飞船2的长 度为自己宇宙飞船长度的2/5。求: (1)宇宙飞船2与1 中的静止长度之比? (2)飞船2中的观察者测得飞船1 的长度与自己飞船长度之比? 解: (1)设飞船1为S,飞船2为S,静长分别为L10,L20 飞船1测飞船2的长度为L2 ,飞船2测飞船1的长度为L1 由题意: 由长度收缩: (2) 3. 已知二质点A, B静止质量均为m0,若质点A静止质点 B以6m0c2的动能向A运动, 碰撞后合成一粒子, 无能量 释放。求: 合成粒子的静止质量M0? 解: 二粒子的能量分别为 由能量守恒, 合成后粒子的总能量为 由质能关系: E=Mc2 由质速关系: 关键求复合粒子的速度v = ? 由动量守恒: 对B应用能量与动量关系, 即 共共6 6题题 1. 在光电效应实验中，测得某金属的截止电压Uc和入 射光频率的对应数据如下： 6.5016.3036.0985.8885.664 0.8780.8000.7140.6370.541 试用作图法求： (1)该金属光电效应的红限频率； (2)普朗克常量。 图 Uc和 的关系曲线 4.05.06.0 0.0 0.5 1.0 UcV 1014Hz 解：以频率为横轴,以截止电 压Uc为纵轴，画出曲线如图所 示( 注意: )。 (1)曲线与横轴的交点就是该金属的红限频率， 由图上读出的红限频率 (2) 求普朗克常量 对比 有 精确值为 图 Uc和 的关系曲线 4.05.06.0 0.0 0.5 1.0 UcV 1014Hz 由图求斜率 2. 一维无限深势阱中的粒子的定态物质波相当于两端 固定的弦中的驻波，因而势阱宽度a必须等于德布罗意 波的半波长的整数倍。 (1) 试由此求出粒子能量的本征值为： (2) 在核(线度1.010-14m)内的质子和中子可以当成 是处于无限深的势阱中而不能逸出，它们在核中的运 动是自由的。按一维无限深方势阱估算，质子从第一 激发态到基态转变时，放出的能量是多少MeV？ 解：在势阱中粒子德布罗意波长为 粒子的动量为： 粒子的能量为： (2) 由上式，质子的基态能量为(n=1): 第一激发态的能量为： n= 1,2,3 从第一激发态转变到基态所放出的能量为： 讨论：实验中观察到的核的两定态之间的能量差一般 就是几MeV,上述估算和此事实大致相符。 n=1 n=2 n=3 3. 设粒子处于由下面波函数描述的状态： 当 当 A是正的常数。求粒子在x轴上分布的概率密度; 粒子在何处出现的概率最大? 解：首先把给定的波函数归一化 做积分 得 因此，归一化的波函数为 当 当 归一化之后， 就代表概率密度了，即 当 当 概率最大处: 即 x = 0 讨论：波函数本身无物理意义, “测不到，看不见”， 是一个很抽象的概念，但是它的模的平方给我们展示 了粒子在空间各处出现的概率密度分布的图像。 E oa/2 x-a/2 E1n=1 4E1n=2 9E1n=3 En n |n|2 无限深方势阱内粒子的 能级、波函数和概率密度 4. 氢原子的直径约 10-10m，求原子中电子速度的不确 定量。按照经典力学，认为电子围绕原子核做圆周运 动，它的速度是多少？结果说明什么问题？ 解：由不确定关系估计，有 速度与其不确定度 同数量级。可见，对原 子内的电子，谈论其速 度没有意义，描述其运 动必须抛弃轨道概念， 代之以电子云图象。 按经典力学计算 5. (1) 用 4 个量子数描述原子中电子的量子态，这 4 个 量子数各称做什么，它们取值范围怎样？ (2) 4 个量子数取值的不同组合表示不同的量子态， 当 n = 2 时，包括几个量子态？ (3) 写出磷 (P) 的电子排布，并求每个电子的轨道角 动量。 答：(1) 4 个量子数包括： 主量子数 n， n = 1, 2, 3, 角量子数 l， l = 0, 1, 2, n-1 轨道磁量子数 ml， ml = 0, 1, , l 自旋磁量子数 ms， ms = 1/2 (3) 按照能量最低原理和泡利不相容原理在每个量子态 内填充 1 个电子， 磷 P（15） 的电子排布： (2) n = 2 l = 0 (s) l = 1 (p) ml = 0 ml = -1 ml = 0 ml = 1 ms = 1/2 ms = 1/2 ms = 1/2 ms = 1/2 2n2 = 8 个 量子态 1s, 2s, 3s 电子轨道角动量为 2p, 3p 电子轨道角动量为 在 z 方向的投影可以为 1s22s22p63s23p3 每个电子的（轨道）角动量： 解：费米能量是价电子排布的最高能量 EF = NE = 6.021023 5.3810-24 =