烟台市2017届高三上学期期末试题数学理.pdf

2016-2017 学年度第一学期高三期末自主检测 数学(理科) 注意事项： 1本试题满分 150 分，考试时间为 120 分钟 2使用答题纸时，必须使用 05 毫米的黑色签字笔书写，要字迹工整，笔迹清晰超出 答题区书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效 3答卷前将密封线内的项目填写清楚 一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分在每小题给出的四个选项中，只有一 个选项符合题目要求 1设集合U=R，集合 2 2 A=log1 ,230xxBx xx，则 U C AB= A2,3B 1,2C1,0D1,02,3 2设 0.01 9 2,lg2,sin 5 abc ，则a，b，c的大小关系为 AabcBacb CbacDcab 3己知函数 2yf xx是偶函数，且 12f，则 1f = A2B2C0D1 4已知l为一条直线，, 为两个不同的平面，则下列说法正确的是 A若/ / ,/ /l ，则/ /lB若,l，则l C若/ / ,l ，则lD若,/ /l ，则l 5已知 12 tan,tan 25 ，那么tan2的值为 A 3 4 B 1 12 C 9 8 D 9 8 6若变量, x y满足 430, 35250, 1, xy xy x ，实数 2 z 是 2x和y的等差中项，则z的最大值为 A3B6C12D15 7 在ABCD 中， 已知 AB=2， AD=l， BAD=60， 若 E， F 分别是 BC， CD 的中点， 则BF DE uuu r uuu r g= A2B2C 5 4 D 5 4 8 给出定义： 设 fx是函数 yf x的导函数， fx是函数 fx的导函数， 若 0fx 方 程 有 实 数 解 0 x， 则 称 点 00 ,xf x为 函 数 f x的 “ 拐 点 ” 已 知 函 数 2sincosf xxxx的拐点是 00 ,M xf x，则直线 OM 的斜率为 A2B 1 2 C1D 4 9过双曲线 22 22 10,0 xy ab ab 的右焦点 F 作该双曲线一条渐近线的垂线交此渐近线于 点 M，若 O 为坐标原点，OFM 的面积是 2 1 2 a，则该双曲线的离心率是 A2B2C 5 2 D5 10.对任意实数a，b，定义运算“ ”： ,1, ,1 b ab ab a ab 设 2 14f xxx，若 函数 yf xk有三个不同零点，则实数k的取值范围是 A1,2B.0,1C1,3D1,1 二、填空题：本大题共有 5 个小题，每小题 5 分，共 25 分 11计算： 00 21 2 log sin15log sin75= 12若抛物线y2=8x的准线被圆心为抛物线的焦点的圆截得的弦长为 6， 则该圆的标准方程为 13若函数 lg23f xxxa的定义域为 R，则实数a的取 值范围是 14一个几何体的三视图如右图所示，则这个几何体的体积为 15已知数列 n a是各项均不为零的等差数列， n S为其前n项和，且 21nn aSnN 若不等式 1 8 n n an 对任意nN 恒成立，则实数的最大值为 三、解答题：本大题共 6 个小题，共 75 分 16(本小题满分 12 分) 已知函数 cos 23cos,0 2 f xxxxR 满足 2,2f mf n ，且mn的最小值为 2 (1)求的值，并求函数 f x的单调递增区间； (2)将函数 f x的图象向右平移 3 个单位得到函数g(x)的图象， 已知a为ABC 中角 A 的对边， 若g(A)=1，a=4，求ABC 面积的最大值 17(本小题满分 12 分) 如图，四棱锥 V-ABCD 的底面是直角梯形，VA面 ABCD，ADBC，ADCD，VA=AD=CD= 1 2 BC=a, 点 E 是棱 VA 上不同于 A，V 的点 (1)求证：无论点 E 在 VA 如何移动都有 ABCE； (2)设二面角 ABED 的大小为，直线 VC 与平面 ABCD 所成的角为 ，试确定点 E 的位置使 2 tantan 2 18(本小题满分 12 分) 在数列 , nn ab中， 1111 1,2,1,1 nnnn ababbanN (1)求数列 , nnnn baab的通项公式； (2)设 n S为数列的前n项的和，求数列 1 411 n n S 的前n项和Tn. 19(本小题满分 12 分) 随着旅游业的发展，玉石工艺品的展览与销售逐渐成为旅游产业文化的重要一环某工艺 品厂的日产量最多不超过 15 件，每日产品废品率p与日产量x(件)之间近似地满足关系式 2 2 ,19 12 20 ,1015 480 x x PxN x x ，(日产品废品率=100% 日废品量 日产量 ) 已知每生产一件正品可赢利 2 千元，而生产一件废品亏损 1 千元 (1)将该厂日利润y(千元)表示为日产量x(件)的函数； (2)当该厂的日产量为多少件时，日利润最大?最大日利润是多少? 20(本小题满分 13 分) 已知椭圆 22 22 C10 xy ab ab ：的焦距为2 2，F1，F2为其左右焦点，M 为椭圆上一点， 且F1MF2=60， 12 2 3 3 F MF S (1)求椭圆 C 的方程； (2)设直线: l ykxm与椭圆 C 相交于 A、B 两点，以线段 OA，OB 为邻边作平行四边形 OAPB， 其中顶点 P 在椭圆 C 上，O 为坐标原点，求证：平行四边形 OAPB 的面积为定值 21(本小题满分 14 分) 已知函数f(x)=lnx (1)判断函数 1 g xaf x x 的单调性； (2)若对任意的x0，不等式 x f xaxe恒成立，求实数a的取值范围； (3)若 12 0xx，求证： 12 2 22 1212 2f xf xx xxxx . 高三数学理科参考答案及评分标准 一、选择题一、选择题 D A B D BC D A B A 二、填空题二、填空题 11.212. 22 (2)25xy13.1a 或5a 14. 44 3 15. 25 三、解答题三、解答题 16.解： （1）( )cos3sin2cos() 3 f xxxx 2 分 由题意可知， 22 T ，所以T， 故 2 ,2 ，4 分 即( )2cos(2) 3 f xx ， 而( )f x在22,2, 3 xkkk Z上单调递增，所以 函数( )f x的单调递增区间为 2 , 36 kkk Z.6 分 （2）由题意可得，( )2cos2()2cos(2) 333 g xxx ，7 分 由( )1g A 可得，2cos(2)1 3 A ，而(0, )A, 可得， 3 A ，9 分 由余弦定理得： 22 162cosbcbcAbc， 即 22 162bcbcbc，得16bc ，当且仅当bc时“=”成立，11 分 所以 13 sin4 3 24 ABC SbcAbc ，12 分 故三角形面积的最大值为4 3.山东省中学联盟 17.解：(1)证明：连接AC,在直角梯形ABCD中，2 ,2 ,2ACa ABa BCa， 所以 222 BCACAB,所以ABAC，1 分 又因为VA平面ABCD，AB 平面ABCD，所以ABAV, 2 分 而AVACAI,所以AB 平面VAC，3 分 CE 平面VAC， 所以ABCE.4 分 （2）取BC中点F，以点A为坐标原点，,AF AD AV，所 在的直线为, ,x y z轴，建立空间直角坐标系Axyz，不妨设 (01)AEAV, 可得( ,0),(0, ,0),(0,0,)B aaDaEa， 故( ,0),(0,0,)ABaaAEa uuu ruuu r ，5 分 设( , , )x y zm为平面ABE的一个法向量，则 =0,=0ABAEmm uuu ruuu r gg，可得 0 0 xy z ， 令1x 可得，(1,1,0)m， 6 分 又(0,),( , 2 ,0)DEaa DBaa ，设( , , )x y zn为平面DBE的一个法向量， 则 0 20 yz xy ，令1z ，可得(2 , ,1) n，7 分 故 2 3 cos,= | | 2 51 m n m n m n g ，即 2 3 cos 2 51 8 分 因 为AC为VC在 平 面ABCD内 的 射 影 ， 所 以CAV， 在Rt VAC中 ， 2 tan 22 AVa ACa ,9 分 所以 2 tantan 2 ，所以tan1， 2 cos 2 ，10 分 即 2 32 = 2 2 51 ，解得 1 = 2 或 1 2 ，11 分 又01，所以 1 2 ，点E为VA的中点.12 分 18.解： （1）因为 1 1 nn ab ， 1 1 nn ba ， 所以 11 () nnnn baba ， 即数列 nn ba是首项为 1，公比为1的等比数列， 所以 11 1 ( 1)( 1) nn nn ba .3 分 11 ()2 nnnn abab ，且 11 3ab， 所以数列 nn ab是首项为 3，公差为2的等差数列， 故32(1)21 nn abnn.6 分 （2）由 1 21 ( 1) nn n nn abn ba ，得 1 1 1 ( 1) 2 n n bn ，7 分 2 21 1 ( 1) 24 n n nn S ，9 分 所以 2 111 11 () 41 ( 1)2(2 )42 n n Snnnn 10 分 故 1111111111 (1) 432435112 n T nnnn L 3111 () 8412nn 2 323 84812 n nn 12 分 19.解： （1）由题意可知，当19x时， 2 182 2 (1) 12 xx yxppx x ， 2 分 当1015x时， 2 15 2 (1) 8160 xx yxppx，4 分 所以该厂日利润 2 3 182 ,19 12 15 ,1015 8160 xx x x y xx x . 5 分 （2）当19x时，令 2 2 248216 0 (12) xx y x ，解得6x （18x 删） ，6 分 当16x时，0y ，函数单调递增， 当69x时，0y，函数单调递减， 而6x 时， max 6y， 8 分 当10 15x 时，令 2 153 0 8160 x y ，解得10x ，9 分 当10 15x 时，0y，函数单调递减， 所以当10x 时， max 25 2 y，11 分 由于 25 6 2 ，所以当该厂的日产量为 10 件时，日利润最大，为 25 2 千元. 12 分 20.解： （1）由题意可知，2c ，设 12 |,|MFx MFy， 在 12 FMF中， 22 2 82cos60 12 3 sin60 23 xya xyxy xy o o ，2 分 解得 2 4a ，4 分 所以 222 2bac 所以椭圆方程为 22 1 42 xy .5 分 （2）联立 22 1 42 ykxm xy ，消y可得 222 (21)4240kxkmxm， 6 分 22222 =4)4(21)(24)8(42)0kmkmkm（， 所以 22 42mk， 设 1122 ( ,), (,)A x yB xy，则 2 1212 22 424 , 2121 kmm xxx x kk ，8 分 2 1212 22 42 ()2+2 2121 k mm yyk xxmm kk ， 而 1212 (,)OPOAOBxxyy ，所以 22 42 (,) 21 21 kmm P kk 9 分 因为点P在椭圆上，所以 22 22 1412 (+) =1 4 212 21 kmm kk ）（， 整理可得： 22 1 2 mk，满足0 ，10 分 又 222 121212 |1|1()4ABkxxkxxx x 2222 222 222 2 8(42)4242 3 1 1-4= 1= 212121 21 kmkmmk kk kkk k （）11 分 设O到直线AB的距离为d，则 2 2 222 1 |221 2 2 111 k mk d kkk ，12 分 所以 22 22 2 3 1221 |6 2 211 OAPB kk SAB d kk 为定值.13 分 21. 解：（1）( )lnf xx， 1 ( )lng xax x ， 故 22 11 ( ) aax g x xxx 2 分 因为0x ，所以当0a 时，( )0g x ，函数( )g x在(0,)上单调递增； 当0a 时，当 1 (0,),( )0xg x a ，函数( )g x单调递增， 当 1 (,+ ),( )0xg x a ，函数( )g x单调递减；4 分 （2）对任意0x ，不等式对任意的0x ，不等式( )exf xax恒成立， lne x x a xx 在0x 上恒成立，进一步转化为 maxmin lne ()() x x a xx ，5 分 设 2 ln1 ln ( ),( ) xx h xh x xx ，当(0,e)x时，( )0h x；当(e,+ )x时，( )0h x， 当 ex 时， max 1 ( ) e hx 7 分 设 22 eeee (1 ( ), ( ) xxxx xx t xt x xxx )，当 (0,1)x时，( )0t x， 当(1,+ )x时，( )0t x ，所以1x 时， min( ) etx ，9 分 即 1 e e a，所以