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三七学习工程学习部三七学习工程学习部 第第 1 1 页页 共共 8 8 页页 2017-2018 学年第一学期高等数学（60 学时）考前指导 第一章函数、极限和连续 1.求下列函数的极限 （1）) 1 1 1 3 (lim 3 1 xx x （2） 0 lim 11 x x x （3） 2 2 231 lim 63 x xx xx （4） 11 23 lim 23 nn nn n （5） 0 sin lim x arcx x （6） 1 lim sin x x x （7） 3 1 lim x x x x （8） 1 0 lim(1) 2 x x x x （9） 2 arctan lim 1 x x x （10） sin lim x x x 2.什么是无穷小量？什么是无穷大量？指出函数 x e x x x , 1 , 3 2 2 何时为无穷小量？何时为无 穷大量？ 3. 当1x 时，无穷小量1x和(1) 3 1x，(2) 2 1 1 2 x是否同阶？是否等价？ 4. 写出函数)(xf在一点 0 x处连续的两个等价定义，证明函数xysin、xycos在 ),(上连续. 5. 若)(xf= 0, 1 sin 0, 2 0,sin 1 xb x x xa xx x 在0x处连续，求ba,的值. 6. 设函数 2 1 sin,0 ,0 xx fxx axx 在0x 处连续，求a. 三七学习工程学习部三七学习工程学习部 第第 2 2 页页 共共 8 8 页页 7. 试确定k的值，使)(xf在1x处连续，其中)(xf= 1, 1, 1 1 xe xx k x . 8. 设)(xf= 2 ,0 ,0 x ex ax x ，应当如何选择数, a使得)(xf成为在(,) 上的连续函数. 9. 证明方程012 3 xx在（-2,1）内有根. 10. 证明：方程sin10xx 在开区间, 2 2 内至少有一个根. 11.设2)( x exf，求证在区间（0,2）内至少有一点 0 x，使02 0 x e. 第二章一元函数微分学 1.根据导数定义推导logayx，sinyx的导数公式 2.推导,arctan x yayx的求导公式 3.讨论下列函数在0x处的可导性和连续性 （1） 1 sin ,0 ( ) 0, 0 xx f xx x （2） 2 1 sin ,0 ( ) 0, 0 xx f xx x 4.设函数 2 , 1 ( ) , x1 xx f x axb ，在1x 处可导，求,a b 5. 求下列函数的导数 （1）sincoslnyxxx（2） 2 sectan2yxxx （3）(arctan )xyx（4） (1)(2) ,(4) 4 xx yx x 6. 计算由下列方程所确定的隐函数的导数 dy dx . （1）0 y eyx（2） 4 0 xy ey 三七学习工程学习部三七学习工程学习部 第第 3 3 页页 共共 8 8 页页 7.设函数( )yf x由方程 23 0 xy exy确定，求 0x dy dx ，并求曲线上其横坐标0x 处 点的切线方程. 8.求函数y是由方程 2y exye确定的导数 y 和 0x y . 9.计算下列极限 （1） 0 ln(cos5 ) lim ln(cos2 ) x x x （2） 1 11 lim 1ln x xx 10.讨论函数的单调性，极值、凹凸性和拐点： (1) 2 1 2 x x y (2) 43 410yxx 11.试用拉格朗日定理证明：如果在区间内), a(b内0)( xf，则Cxf)(，),(bax ， . 由此证明arcsinarccos 2 xx ， 1 ,-1x. 12.证明： 2121 sinsinxxxx对一切 12 ,x x都成立. 第三章 一元函数积分学 1.证明： ( )( )d( )d( )df xg xxf xxg xx ( )( )d( )d( )d bbb aaa f xg xxf xxg xx 2.设)(xf在,ba上连续，( )( )d x a xf tt在, a b上可导，证明 d ( )( )d( ), d x a xf ttf x axb x 3.若)(xf在,ba上连续，并且)(xF是,ba上的一个原函数，证明微积分基本定理： 三七学习工程学习部三七学习工程学习部 第第 4 4 页页 共共 8 8 页页 ( )d( )( ) b a f x xF bF a 4.证明： （1）若)(xf是,aa上连续的偶函数，则 0 ( )d2( )d aa a f x xf x x （2）若)(xf是,aa上连续的奇函数，则( )d0 a a f xx 5.设)(xfy 在,ba上有连续导数)(x f ，用微元法推导曲线在,ba上的弧长公式。 6. 求下列不定积分. （1） 2 cosd 2 x x （2） 4 2d 1 x x x （3） 2 3 2d x xxx （4） 2 cotdx x （5）tan dx x （6）21dxx （7） 2 d 2-3 x x x （8） 2 22 d - x x a x 0a （9） 2-9 d x x x （10） 3 22 2 1 dx xa （11） arctan dxx x （12） ln dx x 7.计算下列定积分 （1） 2 4 0 sindx x （2） 1 1 d 54 x x x （3） 3 221 1 d 1 x xx 8.讨论下列广义积分的敛散性 （1） 1 1 d m x x （2） 2 d 22 x xx （3） 1 d x xex 9. 求抛物线求抛物线 2 2yx及直线及直线4yx所围成图形的面积所围成图形的面积. 10.求由抛物线 2 43yxx ，及其在点0, 3和点3,0处的切线所围成图形的面 积. 11. 计算由椭圆计算由椭圆 22 22 1 xy ab 绕绕x轴旋转一周而成的旋转体（称为旋转椭球体）的体积轴旋转一周而成的旋转体（称为旋转椭球体）的体积. 三七学习工程学习部三七学习工程学习部 第第 5 5 页页 共共 8 8 页页 12.求由 3 yx，直线2x ，0y 所围成的图形，分别绕两个坐标轴旋转，计算两个旋 转体的体积. 13. 计算曲线计算曲线 3 2 2 3 yx上相应于上相应于axb 的一段弧的长度的一段弧的长度. 第六章 常微分方程 1.求解可分离变量的方程： （1） x y y （2） y y x （3）ex y y （4） 2 ed(1)d0 xy y yx （5） 22 sectan dsectan d0xy xyx y（6） 2 3 32 de d0 1 y xy xyx ， 1 0 x y 2. 求解齐次方程： （1）cot yy y xx （2）tan y xyyx x （3）(lnln )xyyyx （4）edd0 y x xyxx y 3. 用常数变易法求解一阶线性非齐次微分方程： （1） 3 2 (1) x dy yxe dxxy （2） 2 32xyyxx （3）cot2 sinyyxxx （4） sin cos x yyxe 4. 求解二阶常系数齐次线性微分方程： （1）20yyy（2）4130yyy （3）20yy（4）690yyy （5）“ 320yyy（6）2 “ 520yyy 第七章概率论基础 1设 A,B,C 表示 3 个随机事件，试将下列事件用 A,B,C 表示出来： (1)A 发生而 B 与 C 都不发生；(2) A 与 B 发生而 C 不发生 ； (3)三个事件都发生； (4) 三个事件恰好有 2 个发生； (5) 三人事件至少有 2 个出现；(6)“三个事件中不多 于一个发生。 2. 药品质量抽样检验中，每次抽取一个产品，记事件“ n An 第 次取到正品 ，n=1,2,3, 用事件的运算关系表示下列事件： 三七学习工程学习部三七学习工程学习部 第第 6 6 页页 共共 8 8 页页 （1）前两次都取到正品，第三次未取到正品； （2）三次都未取到正品； （3）三次中只有一次取到正品； （4）三次中至多有一次取到正品； （5）三次中至少有一次取到正品。 3. 设 A、B 两批种子，A 发芽率为 0.8，B 发芽率为 0.9，在两批种子中各任取一粒求， （1）种子都能发芽的概率； （2）至少有一粒种子发芽的概率； （3）恰好有一粒种子发芽的概率。 4事件 A 与事件 B 的分类统计四格表如下： A A B ab B cd 计算)/(),/(ABPABP,且讨论事件 A,B 什么条件下独立。 若30 )/( )/( ABP ABP ,请解释其涵义。 5在某地供应的某药品中,甲、乙两厂的药品各占 65%、35%,且甲、乙两厂的该药品合格率 分别为 90%、80%,现用 21, A A分别表示甲、乙两厂的药品,B表示合格品,试求)(BP 6 根据以上的临床记录， 某种诊断癌症的试验有如下的效果:若以A表示 “试验反应为阳性” ， 以C表示“被诊断者患有癌症” ，则有95. 0)|(,95. 0)|(CAPCAP现在对自然人群进行普 查, 人群患有癌症的概率为 0.005, 即005. 0)(CP, 试求 )/( )/( )|( ACP ACP ACP及 7设某地成人中肥胖者、中等者、瘦小者分别占 10%, 82%, 8%, 又肥胖者，中等者，瘦小者 患高血压的概率分别为 20%, 10%, 5%, (1) 求该地成人患高血压病的概率; (2) 若知某人患高血压，他是肥胖者体型的可能性有多大？ 8. 在 100 升经消毒的合格自然水中，最多只能含有 10 个大肠杆菌，今从中取出 1 升水进 行检验，问在这一升水中检出 2 个大肠杆菌的概率是多少？如果真的检查出有 2 个大肠杆 菌，问这水是否合格？ 9一批零件的次品率为 10%，从中任取 4 个零件，出现次品数为离散型随机变量 X，请问 X 服从什么分布，试写出其分布列，分布函数. 三七学习工程学习部三七学习工程学习部 第第 7 7 页页 共共 8 8 页页 10设盒中有 2 个白球 3 个黑球，从中随机取 3 个球，抽得的白球个数为随机变量 X，试 求其概率分布，分布函数. 11. 设( )f x是连续型随机变量 X 的概率密度函数，且： ,01 ( ) 0 axx f x ，其它 （1）求a的值（2）求1 31 2PX（3）求 X 的分布函数( )F x. 12 随机变量 X 服从指数分布，写出 X 的概率密度函数并求出其分布函数。 13随机变量 2 ( ,)XN ，分布函数为( )F x，( )F x为标准正态分布的分布函数，试推 导( )F x和( )x的关系。 14假设某地区成年男性的身高(单位:厘米) 2 (170,7.69 )XN，求该地区成年男性的身高 超过 175 厘米的概率.)6 ,18( 2 NY 15SAT 的分数)100,500( 2 NX，ACTP 的分数，ACTP 的 24 分相当于 SAT 的多少分？ 第八章 线性代数 1.设向量(1,2,3) ,( 3,0,3) , ,求,2 , T 2.2.设矩阵 132101 , 516213 AB, ,求,2 , TTT AB AB ABA B AB B. . 3.3. 设甲、乙、丙三家超市销售, ,a b c三种奶粉, ,日销售量如表 1.1.1所示: : 表表 1.1.11.1.1 ( (单位：袋) ) 奶粉a奶粉b奶粉b 超市甲5810 超市乙358 超市丙456 三七学习工程学习部三七学习工程学习部 第第 8 8 页页 共共 8 8 页页 三种奶粉每袋售价和利润如表 1.1.2 所示: : 表表 1.1.21.1.2 ( (单位：元/ /袋) ) 单价利润 奶粉a152 奶粉b111 奶粉b20