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击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 矩阵的秩 长安大学理学院 击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 一、矩阵秩的概念 击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 当 时，称矩阵A为 满秩矩阵。 击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 例 ： 击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 例 ： 击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 例： 击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 另解 显然，非零行的行数为2， 此方法简单 ！ 击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 例：确定 与 的植，使下列句矩阵的秩为2。 击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 矩阵秩的求法矩阵秩的求法 方法二：初等变换法； 方法一：计算子式法； 方法三：综合法（综合使用初等变换与 计算子式的方法，即先对矩阵A施行初等变换，把 矩阵A化为比较简单的形式 ，然后用计算子式的 方法求出 的秩。）； 方法四：求极大无关组法（后面讲）。 击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 证 二、矩阵秩的求法 定理：矩阵经初等变换后，其秩不变。 经一次初等变换矩阵的秩不变，即可知经有 限次初等变换矩阵的秩仍不变 击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 和 都称为行阶梯形矩阵。 击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 特点： （1）、可划出 一条阶梯线，线 的下方全为零； （2）、每个台阶 只有一行， 台阶数即是非零行的行数，阶梯线的竖线后面 的第一个元素为非零元，即非零行的第一个非 零元 击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 初等变换求矩阵秩的方法： 把矩阵用初等行变换变成为行阶梯形矩阵， 行阶梯形矩阵中非零行的行数就是矩阵的秩. 击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 例4 击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 注（1）：根据矩阵经初等变换后，其秩不变，和 任意一个矩阵 经过若干次初等变换， 可以化为矩阵 有时尚未化为D时，就已经可以看出所得矩阵 的秩，则变换步骤可以停止。 击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 注（2）： 击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 例：设A为n阶非奇异矩阵，B为矩阵。 试证：A与B之积的秩等于B的秩， 即 击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 例5 击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 例：设 已知求 与 的值。 击此
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