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一个新型的余弦齿轮传动生成原则和数学的模型,一个,新型,余弦,齿轮,传动,生成,原则,和数,模型
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一个新型的余弦齿轮传动生成原则和数学的模型 摘要 本文介绍了 一种新型余弦齿轮传动。该 传动的 小齿轮采用了余弦曲线作为齿廓。 它把 余弦曲线 的零线作 为 节 圆， 余弦 曲线 的周期为 齿间 隔 ，以及 余弦 曲线的 振幅 为 齿 顶高 。描述 了 余弦齿轮 的生成 原理。数学模型其中包括方程余弦齿形，方程的共轭齿廓和方程的 运动轨迹 ， 它的 建立基于啮合理论。 以实体 模型 传动的一个例子 ，并对其进行了计算机模拟研究。例如弯曲应力，滑动系数和接触率 的一些特点进行了 分析。这些特点与渐开线齿轮传动也进行了对比研究。调查结果证实了 这 种 余弦齿轮传动与渐开线 齿 轮比较具有较低的滑动系数与弯曲应力。 关键词 ：齿轮传动 ;余弦齿轮 ;齿形 ;啮合理论 ;数学模型 齿轮 齿形是确定 一个齿轮传动 传输性能的一个 根本要素 。目前，有三种类型的齿廓：渐开 线 ，摆线和圆弧形，其中已用于齿轮传动，以满足不同的应用要求1， 2， 3， 4。最常用的齿廓是渐开 线 ，因为它的优点是简单易制造，线接触， 稳定 的压力角和 中央间隙误差的不灵敏性 。但是，渐开齿形 承受 低负荷能力， 且 对 其 润滑易受干扰 1。随着计算机数值控制技术的发展， 复杂 曲线曲面的 制造是可以实现的 5， 6， 7， 8及 9。因此，新的齿廓可 以 提高传输性能。 10在柱形直齿轮 应用的基础上 研究 并比较两 种 齿轮传动的 表面 。第一 种是一个渐 开线 小齿轮， 另一种是 共轭小齿轮。新设计报告以下优点：（一）存在一个纵向轴承联系，（二）避免边缘接触，（三）减少接触应力。 11， 12研究了螺旋齿轮传动，其剖面构成渐 开线形 和圆弧形。这种传动装置齿 轮 的表面相互接触的每一个瞬间，一条线 代替 一个点。轴承的齿轮齿面接触是局部性，且该中心的轴承接触沿齿面。因此，这个螺旋齿轮传动 不影响于 中心距离及齿轮轴偏心的变化。 13在 许多接触点制定了一个轮齿与逻辑齿廓，其中有为零的相对曲率。因此齿轮比渐开线齿轮具有较高的耐用性和强度。然而，逻辑齿形仅适用于点接触螺旋齿轮。 14介绍了双渐开线齿轮。该齿形齿轮包括两个渐开曲线，它是联系在一起的过渡曲线，形成一个阶梯形的牙齿。 15用了一个具体 具有 圆弧和渐开齿廓的切割机，以产生一种新型的圆弧齿轮。这 种 齿形可以解决常规单圆弧齿轮的轮廓问题， 例如 剖面敏感性中心距离的差异。 16用方程的 运动轨迹 提出了一个直齿圆柱齿轮齿形参数数学模型。根据这一模式， 可以 比较容易操纵多段齿廓曲线的 运动轨迹 。数学 模型结合简单的曲线进入的 运动轨迹 ，可以提高新的齿形设计。 17介绍了一种研究与设计齿轮齿不对称的方法， 可以 提高承载能力，减轻重量，尺寸和振动水平。 18考虑低压力角剖面为驱动 面 和高压力角剖面为另一侧轮齿 。这样一种做法使对称的 轮齿以及相 等 的 压力角 的轮齿 减少弯曲应 力，并 在同一水平 保持 接触 。近几十年来，大量的文献也显示 新一代 齿形 的 机 械和方法。 19运用向量分析，微分几何，矩阵变换和啮合方程发展的数学模型来描述齿廓及其几何性质。 20提出了一个基本的算法分析和综合齿轮传动的基础上更换瞬时线接触 为 点接触。在这 种设计方法中，生成和模拟啮合 以及 齿轮传动的接触具有良好的轴承接触，并 可以 降低噪音。 21在 制造刀具成型机的基础上，还提出了确定完整非圆齿轮的齿廓数学模型 的 方法。 22提出了用二次参数齿廓为高 接触率 齿轮 的 设计方法， 且齿顶高 没有削弱。 23研究 了 高 接触率 对动态牙齿负荷和压力的影响。 24发展传动 比可变 的 链传动，并 应用到 他们的自行车和传输带 传动 器 的 可变 方 案 种 ， 以及 磁带驱动器。 25介绍一个有系统的方法，来设计低和高接触率齿轮齿形 以及 传动误差和 轮 齿负荷。 26， 27描述 圆弧形剖面 轮齿 产生椭圆齿轮转动 齿条刀具。根据齿轮理论为椭圆齿轮与圆弧齿研制数学模型。此外，他们还提出了一 个 完整的螺旋齿轮组与少数 轮 齿数学模型。 28提出了广义的斜齿轮数学模型，它可以用 于 斜齿轮和特殊装备 的 设计。 29提出了一种大大增加恒定压力角非圆齿轮 的 接触 率 新方法。世界报 30提出了一种新的概念，行星齿轮是能够产生一种变 化的 传动比。在一个基本 的 周转轮系组成的三 个非圆齿轮典型的行星机械配置，其中所有 的半径曲 线 是可变 曲线。根据上述在这方面工作的研究， 提出 一种新型齿轮传动与余弦齿廓建议。尤其是，齿轮的圆在于对余弦曲线的零线， 轮 齿间 隔 需 余弦 曲线 决定 ;和齿 顶高 是由曲线振幅 决定 。图 1所示，在 某区域 附近余弦齿形似乎非常接近渐开齿廓，即部分 齿顶高 。然而，在 齿 根余弦齿轮的齿厚大于渐开线齿轮。 图 1 余弦齿廓和渐开齿形 本文的 其余 部分 分成五个章节。在第 2 条中，余弦齿轮研究。数学模型：方程的共轭 齿廓和方程的 运动 的推导 环节 第 3 条 和第 4条 。第 5条提出 了 余弦齿轮 传动 及 其啮合过程在计算机模拟的实体模型 的 一个例子。在这一节分析几个特征，并与渐开线齿轮 进行比较 。最后，第 6 节 是 在这项研究 的 一个总结性结论。 轮齿轮廓 是决定一个齿轮传动的动力学性质的几何 学 。原因之一，在工业广泛应用的渐开线齿轮，是因为其简单的几何学 31。余弦齿廓不像渐开齿形，在这方面的工作所产生的用下列方法： （一）余弦曲线的零线 是节 圆 ;（二） 余弦曲线为齿间 隔 ;（三）曲线振幅为齿 顶高 。余弦齿轮齿廓是余弦曲线 如 图 2所示 。图 2a，两坐标系统主要是用于：一个决定直角坐标系 1(1, 自 然坐标系 (X,O,Y)。在自然坐标系中作圆，图 2 代表 轴之间的夹角。 在图 2b，假定 2/B 是一段曲线。那么方程的余弦曲线可以表示为在自然坐标系作为 y=(1) 从图 2a，对余弦齿形一个点 =r1+(2) 据图 2a，下列公式可以得到 x=而以它变成 公式 （ 2）给出 =r1+ (3) 用字母 向角 可表示为 T=2/ 4) 假设 么 轮 齿 周期 ，即一段余弦齿形，也可 表示 T=2/ 5) 图 2 余弦齿形 的生成 原则 公式 （ 4）及（ 5） 给出 Z1=6) 公式 （ 6与（ 3），可以得到以下公式： =r1+1 ) (7) 假设 模，然后 可以 半径圆 表示为 r1= 而以它变成 公式 （ 7），可表 示 直角坐标系统由以下方程： (8) 共轭齿 面的生成，是基于 表面族的包络线 。这是个有关微分几何和理论的传动装置。书 32 有 着理论的贡献，涵盖 了必要的信息以及必要的信息 存在的充要条件。在理论的传动装置， 利用 简化的办法来解决这些问题 2。 如 图 3所示 ，符号 2分别 表示正产生 和 已 产生的表面。 点 ; 如果在轮齿轮廓 M 的正常线通过节点 P,那么点 为了使 在 旋转一个角度 1后 ，该齿 轮廓 影区域 ， 直到 1点，假设 是对齿形 1(x1,和 轴 就可以得到下列公式。 (9) 从 公式（ 8）到公式（ 9）给出 (10) 此外，从 1设 是 其 和垂直线 间的夹角，按图 3可以得到下列方程。 (11) 从 公式 （ 8）到 公式 （ 11）给出 (12) 在 下面 的讨论中， 如 图 4所示 , 指定坐标系统 1(1, 2(2, (X,O,Y)。坐标系 是一个固定的坐标系统， 标系统 1和坐标系统 2中 齿轮 1和齿轮 2啮合时 ，其 点 节 点 p 图 3 共轭齿廓 齿 轮廓 的 位置向量 坐标系 1可表示如下： 13) 据相对运动 的 概念，如果一个点沿某一特定路径 运动 ，其描述每 个轴的两个齿轮 传动 的微量元素，将成为每个齿轮 的齿廓 。此外，联络点和旋转位移的驱动齿轮应该有特殊关系，以获得共轭齿廓的 22 从运动学，共轭齿廓的 2的齿廓 要 2， 3，4。利用坐标 系的 转换，从 1以 216， 19，齿 轮廓 位置矢量可以表示为 1214) 而 标系 和 2的位置起始向量 ; 2的 位置矢量 ; 12的表 示 坐标转换矩阵，从坐标系 以 1和 2得出 。以下几个关系存在： 图 4 利用 坐标系统分析啮合 而 从 上述方程到 公式 （ 14）给出 或 (15) 齿轮 1和齿轮 2中心距 a=r1+而 从 公式（ 8）到公式（ 15） ，方程的共轭齿廓的 (16) i= 1/ 2. 穿过 节点的轨迹 ，是被定义在固定坐标系为一套 啮合 齿廓瞬时接触点 16。根据啮合理论 2， 3， 4，接触点位置矢量 的 转化 是由 坐标系统 1(1, (X,O,Y) 决定的，该 啮合 齿廓 运动轨迹 ,可以表述如下： 1017) 的 在 坐标系 接触点 源于 坐标系统 1 以及 坐标转换矩阵，其可表示为 因此，公式（ 17）可改写为 (18) 而以公式（ 8）到公式（ 18），该方程的 运动轨迹 在直角坐标系中可以表示为 (19) 在本节中，陈述 了对 齿廓 的 一套配置 研究。此外， 又 进一步评估新设计的齿轮。从产业界的丰富经验和实验室实验汇编的数据揭示了两个高应力区，一般是齿轮故障 的 来源。这都 是齿根 和 轮 齿接触面的 重要区域 33。基于以上的 考 虑，对 余弦齿轮 的 弯曲 应力 和接触应力分析。 且 讨论两个齿轮的滑动系数和接触率特点，并 对其 所有这些特征与渐开线齿轮进行比较研究。 体模型和计算机模拟 在 齿廓可以 确定前 ，这是要明确余弦直齿圆柱齿轮传动几个参数的情况：（一）模 3毫米 ; （二）齿数 3; （三）齿数 7; （四） 轮齿齿顶高 毫米。啮合面可 以构造 （ 8） 和（ 16），以及连续性的制约因素（ 10和 （ 12）及（ 19）。用实体造型软件 和一种参数方法，建立了余弦齿轮传动的三维立体模型为显示图 5 。 图 5 采用三维实体模型的余弦齿轮传动。 为了证明可行性余弦齿轮传动，并评估其啮合和接触条件， 在 一个啮合 过程的电脑模拟中进行了用机制模块观察 以及 模拟： （一）余弦齿轮传动能 在 两 个 恒定传动比 的配对 齿轮连续传输 ; （ 二 ）在啮合过程发现 一对啮合齿轮 没有啮合干涉 ; （三） 配对 齿 轮表面的 线接触所示图 6所示 是 与 渐开线齿轮传动类似4及 16。 图 6 接触条件的余弦齿轮传动。 触和弯曲 应力 本节介绍 对 余弦齿轮传动 的 接触和弯曲应力分析，并与渐开线齿轮传动 进行比较 。 在 本文用 序得到应力结果。余弦齿轮传动 的 数值计算下 面已经 设 计： 25， 0， m=3毫米。扭矩适用于小齿轮为 米。物质的性质是： = E=204 与 渐开线齿轮传动采用同一套技术指标作比较。 轮 齿接触 是 基 于 小齿轮的几何形状，其共轭轮廓 制定 后 ，转移到 构成负载 轮 齿及周边 轮 齿 的 限元模型图 7所示 。由 于 沿 边 界的刚性 约束， 模型两侧 的选择 应 远 离 圆角。大部份的轮齿面牙是选择固定边界。这一模式是 由 8节点元 素构成 。在每一个横切面，有 1064元素和 3080 节点。 关于与可调整以及 没有任何的摩擦 的 接触问题已 经 选定。图 8显示 压力分布 。根据同一参数，分析渐开线齿轮传动 的 应力分布图 9所示。在圆角的接触 轮齿的弯曲应力 视为张 应 力讲，在圆角的 另一 面视为压应力 34。计算结果列于表 1。 表 1 最大弯曲和接触应力（单位： 齿轮 接触应力 弯曲应力（张力） 弯曲应力（压缩） 余弦齿轮 开线齿轮 计算结果，可以得到以下结论：（一）余弦齿轮 的 最大接触应力相比渐开线齿轮减少约 ;（二）压缩弯曲应力与渐开线齿轮 比较 减少了 因此，应用余弦齿形可以减少接触 应力 和弯曲应力。 图 7模型应用有限元分析法。 图 8余弦齿轮传动应力分布。 图 9 渐开线齿轮传动应力分布。 动系数 滑动系数是在啮合过程滑动 的 衡量。由于较低的摩擦，较低的系数 会 有一个更大的传动效率。每个齿廓， 在 齿轮啮合 时 ，相对滑动速度 不同于接触点的 是速度，滑动系数比是 接触 点 的 相对滑动速度 与 速度 之比 1， 4和 35 。图 10所示，线 的接触线 线 线 点。据 35，余弦齿轮和 传 动齿轮 的 滑动系数 2可以表示为 (20) , . 据公式（ 19）， 法线 度 (21) 是 1对 的导数 ，可 由公式 （ 12）及（ 10）得到如下： (22) 图 10所示，纵向坐标 (X,P,Y)的可 表示为 b=24) (接触点 坐标系 (X,P,Y)的坐标。 （ 19）及（ 21）到公式（ 24）给出 代以 公式 （ 25）到 公式 （ 20），可因此获得 余弦齿轮传动滑动系数 2。 计算程序已在 了，并已 在 两个齿轮 的 滑动系数 应用 ，根据公式 （ 20）及（ 25）。图 11显示余弦齿轮传动 的 滑动系数仿真结果的设计参数：5， 5， m=3。 根据 36 在 同一参数 的 渐开线齿轮传动 的 滑动系数也 显示 在图 11。可以从这些数值结果 得到 以下结论：（一）余弦齿轮传动的滑动系数是远小于渐开线齿轮传动，（二）变异余弦齿轮传动远的滑动系数小于渐开线齿轮传动。因此，应用余弦齿形减 小 了滑动系数，提高了传输性能。 图 10 相对滑动的余弦齿轮传动。 触率 齿轮传动接触 率 的定义是 轮齿 在同时 啮合的多少 37。在一个齿轮传动平稳传输接触率应大于 1。图 12所示，余弦齿轮传动 的 接触比率可表示为 (26) 其中 1为 x=及 x=些都可以计算出来，由 公式 （ 1
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