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第二章 有限元的基础理论1基本概念这一节介绍泛函分析的一些基本知识。1）线性空间定义1（线性空间） ：设 是一个非空的集合，对集合中的元素定义了两种运算加法：，在 中都存在一个元素与它们对应，称为它们的和，记作 ；数乘： 和任意的实数 ，在 中都存在一个元素与它们对应，称为这两者的数乘，记作 。加法满足下列规则：（a）交换律：（b）结合律：（c）在 中存在惟一的一个元素 ，使得 ，都有 。这个元素称为 中的零元素（d），在 中存在惟一一个元素，记作 ，使得 。这个元素称为 的负元素，并可以定义减法 数乘满足下列规则：（a）对加法的分配律：（b）对数乘的分配律：（c）结合律：（d），都有 此时，称集合 是一个线性空间。例： 维（实）向量空间 （注）实数集 作为一维向量空间，也是线性空间。 全体实函数的集合 全体连续函数的集合 ，或记作 全体有直到 阶连续（偏）导数函数的集合 全体有任意阶连续（偏）导数函数的集合 全体（实系数）多项式的集合 次数不超过 次的全体（实系数）多项式的集合 （注） 表示函数的定义域。线性空间是向量空间的推广。因此，向量空间的许多概念都可以推广过来，例如： 元素的线性组合：设一组元素 ，一组实数 ，则称为这组元素的线性组合。 线性相关：设 ，若存在一组不全为零的实数 ，使得 线性无关：设 ，若只有当 全为零时才有 基：若在 中存在一组元素 ，使得 中任何一个元素都可以表示成它们的线性组合，则称这组元素是空间 的一组基。 空间的维数：设 是空间的一组基，若这组元素只有有限多个，即 ，则空间 称为有限维空间，这组元素的个数 称作空间的维数，记作 ；若这组元素有无穷多个，则空间 称为无限维空间，记作 。（注）空间可以有多组基，但空间的维数与基的选择无关。 子空间（线性子空间） 由一组元素张成的子空间：设 ，则空间 的子集合是这组元素的线性组合构成空间 的子空间，称作由元素 张成的子空间。例： 维（实）向量空间 是有限维空间， 次数不超过 次的全体（实系数）多项式的集合 是有限维空间， 函数集合 、（）都是无限维空间 多项式集合 是无限维空间定义2（乘积空间） ：设 和 是两个线性空间，定义集合 ，并对其中的元素规定加法和数乘运算加法： 数乘： 则 构成一个线性空间，称作 和 的乘积空间，记作 。（注）可以定义多个空间的乘积空间。一个空间自己与自己的乘积空间可用幂来表示，例如所以，维（实）向量空间 又可以解释为实数空间的乘积空间。2）距离空间定义3（距离空间） ：设 是一个非空的集合，对集合中的元素定义了距离： ，都存在一个实数与它们对应，称为它们的距离，记作 ，并满足：（a）对称性：（b）正定性： ，当且仅当 时 （c）三角不等式：则称集合 是一个距离空间。例： 实数集 ，定义距离 向量空间 ，定义距离 ，（注）在同一集合上定义不同的距离，则构成不同的距离空间。 连续函数集合 ，定义距离引入距离，可为开展各种分析定义一个最基本的概念极限。定义4（极限） ：设 是距离空间 中的一个元素序列，若存在元素 ，使得 ，则称这个元素序列收敛，而元素 称为这个序列的极限。性质1 ：收敛序列的极限是惟一的。定义5（Cauchy序列） ：设 是距离空间 中的一个元素序列，若 ，都存在自然数 ，使得 ，都有 ，则称这个元素序列是一个Cauchy序列。性质2 ：收敛序列一定是Cauchy序列。对于实数集，性质2反过来也是成立的，即：Cauchy序列一定是收敛序列。但是在一般的距离空间上就不一定了。例如 有理数集 ，仍定义距离 ，序列都是Cauchy序列。作为实数序列，它们也都是收敛序列，极限分别是 和 。但是这两个极限值都不是有理数，所以作为有理数序列，它们都没有极限。 区间 上一元连续函数的集合 ，定义距离考虑连续函数序列 ，其中可以验证，这个函数序列是一个Cauchy序列。再考虑不连续的函数经过计算，知所以但是由于函数 ，所以上述函数序列没有极限。定义6（完备性） ：如果距离空间中的任何Cauchy序列都是熟练的，则称这个空间是完备的。在完备的距离空间中，Cauchy序列与收敛序列是等价的。而上面的两个例子都是不完备的距离空间。不完备的原因不是因为Cauchy序列没有极限，而是极限跑到空间以外。也就是说，只是在空间内没有极限。如果对不完备的距离空间加以扩充，将所有Cauchy序列的极限都包括进来（如果这个极限跑到空间以外的话），可以得到完备的距离空间。这个过程称为空间的完备化。例如，有理数集的完备化空间就是实数集。连续函数空间的完备化比较复杂，需要将通常意义下的积分扩展成广义的积分Lebesgue积分（过程略），仍用积分号来表示。通常意义下的积分所具有的许多性质，Lebesgue积分也都具有，例如线性：可加性：绝对值不等式：对于连续函数来说，其Lebesgue积分还原成通常意义下的积分。如果一个函数（不一定是连续函数）的Lebesgue积分存在并且是有限值，则称这个函数是Lebesgue可积的。我们约定，下面出现的积分，都是指Lebesgue积分。定义6（-空间） ：在函数集合 在其定义域上是Lebesgue可积的上定义距离则构成距离空间，称作（Lebesgue）平方可积（函数）空间，简称为 -空间，记作 。性质3 ：-空间是完备的距离空间，它就是由连续函数空间完备化得到的。对本课程而言，讨论空间完备性的意义在于考察有限元近似的收敛性。随着求解区域上的剖分不断细化，可以得到一系列有限元近似，构成一个函数序列。如果这个函数序列的极限跑到了空间以外，有限元近似到底逼近什么就无从谈起。如果能保证这个函数序列在空间内有极限，就可以讨论这个极限是不是原方程的精确解（收敛性），有限元近似与这个极限的距离有多大（误差估计），等等。所以，空间的完备性是有限元理论中的一个基本概念。定义7（稠密性） ：设 是距离空间 的子集，如果空间 中的任意一个元素都是子集 中的某个元素序列的极限，则称 在空间中稠密（简称稠）。讨论稠密性的意义在于，如果 在 中稠，则 中的任何元素都可以用 中的元素来逼近。距离空间中稠密的概念与线性空间中“基”的概念有一定的相似性。在线性空间中，任意一个元素都可以用“基”通过运算（加法和数乘）得到；而在距离空间中，任意一个元素都可以用稠子集 中的元素通过取极限（也可以看成是一种运算）得到。不同之处在于“基”所包含的元素，可以是有限多个，也可以是无穷多个。而稠子集涉及极限运算，必然包含无穷多个元素。性质4 ：如果一个完备的距离空间 是由某个不完备的距离空间 完备化得到的，则 在 中稠。-空间是由连续函数空间完备化得到的，所以任何一个平方可积函数都可以用连续函数来逼近，这正是有限元方法所做的事情。3）范数空间定义8（范数空间） ：设 是一个线性空间，对集合中的元素定义了范数： ，都存在一个非负实数与它对应，称为它的范数（有的文献上称作“模”，norm），记作 ，并满足：（a）三角不等式：（b）（ 表示实数的绝对值）（c）正定性：当且仅当 时才有 则称集合 是一个范数空间。利用范数空间 的范数，可在范数空间上定义距离从而使 也成为了距离空间。所以范数空间是线性空间和距离空间的结合，既有线性空间的代数性质（与运算有关），又有距离空间的分析性质（与极限有关）。例： 实数集 ，绝对值本身就是范数 向量空间 ，定义范数 在-空间上定义范数 定义9（强收敛） ：设 是范数空间 中的元素序列，若存在元素 ，使得 ，则称这个元素序列强收敛，元素 称为这个序列的强极限。性质5 ：强收敛序列的强极限是惟一的。显然，强收敛也就是按范数收敛，同时也是作为距离空间，按距离收敛。所以范数空间的强收敛与距离空间的收敛是等价的概念。定义10（Banach空间） ：完备的范数空间称为Banach空间。 定义11（等价范数） ：设 和 是在线性空间 上定义的两种范数，如果存在正数 、 ，使得对 中的任何元素都成立，则称这两种范数是等价的。在同一集合上定义不同的范数，则构成不同的范数空间。但如果两种范数等价，则一个元素序列在这两个范数空间中的收敛性相同（同时收敛或同时不收敛）。因而这两个范数空间具有完全相同的分析性质。特别是，如果一个范数空间在某一范数下是完备的，则在所有等价的范数下也都是完备的。4）内积空间定义12（内积空间） ：设 是一个线性空间，对集合中的元素定义了内积： ，都存在一个实数与它们对应，称为它的内积，记作 ，并满足：（a）对称性：（b）线性：（c）非负性： ，当且仅当 时才有 则称集合 是一个内积空间。定义内积，是为了研究空间的几何性质（垂直、投影，等等）。内积也是向量内积的推广，向量内积的许多性质也能推广过来，例如Schwarz不等式：利用内积空间 的内积，可在内积空间上定义范数（称为空间的自然范数）从而使 也成为了范数空间、距离空间。所以内积空间同时具有线性空间的代数性质（与运算有关）、距离空间的分析性质（与极限有关），以及几何性质（与内积有关），内容最为丰富，足以供有限元方法开展理论研究时使用。有限元方法的理论基础，就是建立在一类特殊的内积空间上（后来才又推广到范数空间上）。例： 实数集 ，绝对值本身就是范数 向量空间 ，定义范数 在-空间上定义范数 定义13（弱收敛） ：设 是内积空间 中的元素序列，若存在元素 ，使得对空间中的任何一个元素 ，都有 ，则称这个元素序列弱收敛，元素 称为这个序列的弱极限。性质6 ：（a）弱收敛序列的弱极限是惟一的。（b）强收敛序列一定是收敛序列，而且其弱极限与强极限相等。显然，弱收敛也就是在内积的意义下收敛。定义14（Hilbert空间） ：完备的内积空间称为Hilbert空间。 在内积空间中可以像向量空间那样引入正交（垂直）的概念，这一概念是有限元误差估计的基础。定义15（正交性） ：设 是内积空间。（a）设 。若 ，则称元素 和 正交，记作 。（b）设 ， 是 的一个子集。若 与子集 中的所有元素都正交，即：（），则称元素 与子集 正交，记作 。（c）设 、 是 的两个子集。若子集 中的所有元素都与子集 正交，即：（ ，），则称子集 与 正交，记作 。（d）设 是 的一个子集。若子集 中的任意两个元素都正交，即：（），则称 为（空间 的）正交子集。（e）设 是 的一个子集。空间 中与 正交的所有元素也构成 的一个子集，称作子集 正交补子集，简称为正交补，记作 ，即： 。下面给出正交性的一些简单性质。性质7 ：（a）零元素 与空间中的任何一个元素都正交。（b）只有零元素 才能与自己正交。（c）若子集 ，则 与 至多只能有一个公共元素，就是零元素。也就是说，要么 ，要么 。（d）设 是空间的一个正交子集。若 （即 不包含零元素），则 中的所有元素都是线性无关的。（e） 。性质8（勾股定理） ：设 。若 ，则有定义16（投影） ：设 是内积空间， 是 的线性子空间（ 作为线性空间， 是 的子空间），元素 。若存在元素 ， ，使得 ，则称元素 是 在子空间 上的投影，元素 称为垂足。 关系式 （ ，）称作元素 的正交分解。性质9（垂足最短） ：设 是内积空间， 是 的线性子空间，元素 ，元素 是 在子空间 上的投影。则有不等式 （）投影定理 ：设 是Hilbert空间， 是 的闭线性子空间。则空间 中的每一个元素 都存在惟一的正交分解。5）线性算子与泛函在研究了集合本身的性质（各种空间）之后，现在我们来研究定义在空间上的算子，它是函数这一概念的推广。定义17（算子） ：设 和 是两个范数空间， 是 的线性子空间。若 ，都存在惟一的 与之对应，则称 这种对应关系为 到 上的一个算子，记作 。元素 称为元素 的像，记作 。子空间 和子集 是 中某个元素的像分别称为算子的定义域、值域和核。定义18（线性算子） ：设 是 到 上的算子。如果 ， ，都有则称 为线性算子。性质10 ：设 是 到 上的线性算子。（a） 将空间 的零元素映射成空间 的零元素。（b） 的值域 是空间 的线性子空间。（c） 的核 是空间 的线性子空间。定义19（有界算子） ：设 是 到 上的算子。如果存在常数 ，使得 ， 则称 为有界算子。定义20（算子的模） ：设 是 到 上的有界算子，则 称为算子 的模。定义21（泛函） ：设 是 到 上的算子。如果空间 ，则称 为空间 上的泛函。根据习惯，常常改用 表示一个泛函，它的像是一个实数，通常写成函数的形式，即 ，而不是 。显然，泛函是一类特殊的算子（算子的像都是实数），因此可以定义线性泛函和有界泛函，以及有界泛函的模。在泛函分析里面，关于有界线性泛函，有两个重要的定理。延拓定理（Hahn-Banach定理） ：设 是范数空间 上的有界线性泛函。如果它的定义域 是 的线性子空间，则可以将泛函 的定义域从 延拓到整个空间 ，使得 在整个空间上有定义。并且这种延拓不改变泛函 模的大小。根据这个定理，我们在研究有界线性泛函时，总可以认为它在整个空间上处处有定义。Riesz表示定理 ：设 是Hilbert空间。则对空间上的每一个有界线性泛函 ，都存在空间中的一个元素 ，使得 ， 在有限元理论中，还要用到双线性泛函的概念。定义22（双线性泛函） ：设 是Hilbert空间。如果，都存在一个实数与它们对应，记作 ，并满足：（a）（b）则称 是空间 上的一个双线性泛函。定义23 ：设 是Hilbert空间， 是 上的一个双线性泛函。（a）如果 ，都有 ，则称 是对称的。（b）如果 ，都有 。当且仅当 时， 才有 ，则称 是正的。（c）如果存在常数 ，使得 ，都有 ，则称 是正定的。（d）如果存在常数 ，使得 ，都有 ，则称 是有界的。2 Sobolev空间设 是 中的开区域， 是其中的任意一个空间点, 是定义在 上的函数。又设 ，其分量 （）都是非负整数。这样的向量 称作多重指标， 称作多重指标的阶。记号表示函数 的一个 阶偏导数。例： 在三维（）区域上，。如果 ，则 ， 在二维（）区域上， 。（）表示函数 的所有二阶偏导数，即 ， ， （）表示 及其直到二阶的所有偏导数，即 ， ， ， ， ， （）表示函数 的所有 阶偏导数 （）表示函数 及其直到 阶的所有偏导数 当 时， 表示函数 本身定义24（支集） ：设 是定义在 上的函数。（a）集合 的闭包称为函数 的支集，记作 。（b）如果 是有界的，并且 ，则称函数 具有紧支集，记作 。下面给出有限元理论分析中常用的函数集合。用 表示区域 的闭包， 表示区域 的边界。（a）定义在 上的函数 有直到 阶连续导数的函数，组成集合 在 上连续 有任意阶连续导数的函数，组成集合 在 上连续 连续函数组成集合 在 上连续（b）定义在 上的函数 有直到 阶连续导数的函数，组成集合 在 上连续 有任意阶连续导数的函数，组成集合 在 上连续 连续函数组成集合 在 上连续（c）有紧支集的函数 有直到 阶连续导数的函数，组成集合 在 上连续，且 有任意阶连续导数的函数，组成集合 在 上连续，且 连续函数组成集合 在 上连续，且 性质11 ：设 ，则 ，都有还可以在上面定义的各种函数集合上定义范数（或距离），使它们变成范数空间（或距离空间）。但是这样的函数空间都是不完备的。要想将它们完备化，需引入广义导数的概念。分部积分设 。 ，由上述性质，知 。于是利用Green公式，有类似地，设 反复利用上式，有 ， 这就是分部积分公式，它对任意一个多重指标都成立。广义导数定义25（广义导数） ：设 ， 是一个多重指标。如果存在函数 ，使得 ， 则称 是 的一个 阶广义导数。性质12 ：函数空间 中的函数如果有广义导数存在，那么这个广义导数（在测度意义下）是惟一的。性质13 ：如果函数 具有古典意义下的偏导数，则它也有广义导数存在，而且这一广义导数与古典导数相等。这个性质表明，广义导数确实是古典导数的推广。Sobolev空间定义26（Sobolev空间） ：具有直到 阶广义导数的函数，组成集合在这个函数集合上定义内积可以使这个函数集合成为内积空间，而且是完备的，从而构成了一个Hilbert空间，称为 阶Sobolev空间。 阶Sobolev空间的自然范数是在函数集合 也可以定义内积使得这个函数集合成为内积空间，但不是完备的。将它完备化的结果，就是 阶Sobolev空间。从而有性质14 ： 的完备化空间就是 阶Sobolev空间。性质15 ： 在 阶Sobolev空间中稠。这个性质表明，虽然 阶Sobolev空间中的函数是用广义导数定义的，但是可以用具有古典导数的函数来逼近。类似地，在函数集合 上定义内积可以使这个函数集合成为内积空间，但也是不完备的。定义26（齐次Sobolev空间） ： 的完备化空间称为 阶齐次Sobolev空间，记作 。性质16 ： 在 阶齐次Sobolev空间中稠。这个性质表明， 阶齐次Sobolev空间中的函数可以用具有古典导数和紧支集的函数来逼近。性质17 ：设 。如果 在 上具有分块连续的 阶古典导数（各个偏导数），则 。这个性质揭示了单元整体光滑度 的实质，即：要求有限元近似是空间 中的元素。性质18 ：这个性质给出了一阶和二阶齐次Sobolev空间的具体描述。3 变分原理先来看一个简单的例子。考虑二元一次方程组（3.1）记矩阵 ，未知向量 和右端项 ，则上述方程组可写成（3.2）不妨称为方程组（3.1）的算子形式（矩阵形式）。另一方面，任取实数 和 ，做线性组合（3.3）这是一个与方程组（3.1）同解的方程。记 ，由于实数 和 是任意的，所以（3.3）式可写成（3.4）或（3.5）可称为方程组（3.1）的内积形式。如果矩阵 还是对称（）正定的，则可以给出方程组（3.1）的第三种等价形式。为此考虑二次函数我们考虑求这个函数极小值的问题，即：求 ，使得（3.6）如果 是函数 的极小值点，那么 一定是函数 的驻点，即有所以 就是方程组（3.1）的解。反之，利用矩阵 的正定性，可以证明方程组（3.1）的解也一定是函数 的极小值点。综上所述，方程组（3.1）可以等价地改写成三种形式：算子形式（3.2）、内积形式（3.5）和极小值问题（3.6）。对于流体力学问题，流动控制方程相当于描述问题的算子形式，内积形式就是有限元方法要用到的积分形式（在函数空间，内积都是用积分定义的），而极小值问题则与变分原理相对应。考虑一个 阶的椭圆型微分方程定解问题（边值问题）：求 ，满足 （3.7）式中 是一个 阶椭圆型微分算子， 是求解区域 的边界。 表示强制边界条件， 代表自然边界条件。例： 二阶常微分方程两点边值问题：求 ，满足 （3.8）这个问题没有自然边界条件。 二阶常微分方程两点边值问题：求 ，满足（3.9）这里要求在 区间上 ，。 Poisson方程第一边值问题：求 ，满足 （3.10）这个问题没有自然边界条件。 Poisson方程第二边值问题：求 ，满足 （3.11）这个问题没有强制边界条件，而且解不是惟一的（可以相差一个任意常数）。规定 ，可以消除这种不惟一性。 重调和方程边值问题：求 ，满足（3.12）对于这个问题，通常的自然边界条件 变成了强制边界条件之一。现在将这些例子改写成积分形式。 二阶常微分方程两点边值问题：求 ，满足先做一些准备工作。取函数它满足（3.8）中的强制边界条件，于是 满足这个例子表明，对于线性问题，如果有强制边界条件，可以事先找一个已知函数 ，满足相同的强制边界条件，则 满足齐次强制边界条件。所以，下面只需考虑齐次强制边界条件。 （3.13）步骤一：任取函数 ，用它乘以方程的两边，并在区间 上积分，得步骤二：上式左边积分号下得第一项分部积分步骤三：由于 ，所以 ， ，于是上式成为步骤四：将上式推广到一阶齐次Sobolev空间 上，即：求 ，满足 ， （3.14）这里的导数应理解为广义导数，积分看成是Lesbesgue积分。步骤五：记 ，则 是空间 上的双线性泛函， 是空间 上的线性泛函。最终得到下述问题：求 ，满足 ， （3.15）其他几个例子也将得到这种形式的问题。 二阶常微分方程两点边值问题：求 ，满足（3.16）步骤一：任取函数 并满足 ，用它乘以方程的两边，并在区间 上积分，得步骤二：上式左边积分号下得第一项分部积分步骤三：由于 ， ，所以上式成为步骤四：将上式推广到空间（也是一种Sobolev空间）上，即：求 ，满足 ，（3.17）步骤五：记则 是空间 上的双线性泛函， 是空间 上的线性泛函。最终得到下述问题：求 ，满足 ， Poisson方程第一边值问题：求 ，满足 （3.18）步骤一：任取函数 ，用它乘以方程的两边，并在区域 上积分，得步骤二：上式左边分部积分步骤三：由于 ，所以 ，于是上式成为步骤四：将上式推广到一阶齐次Sobolev空间 上，即：求 ，满足 ， （3.19）步骤五：记 ，则 是空间 上的双线性泛函， 是空间 上的线性泛函。最终得到下述问题：求 ，满足 ， Poisson方程第二边值问题：求 ，满足 （3.20）步骤一：任取函数 ，用它乘以方程的两边，并在区域 上积分，得步骤二：上式左边分部积分步骤三：由于 ，上式成为步骤四：将上式推广到一阶Sobolev空间 上，即：求 ，满足 ，（3.21）步骤五：记则 是空间 上的双线性泛函， 是空间 上的线性泛函。最终得到下述问题：求 ，满足 ， 重调和方程边值问题：求 ，满足（3.22）步骤一：任取函数 ，用它乘以方程的两边，并在区域 上积分，得步骤二：上式左边两次分部积分步骤三：由于 ，所以 ， ，于是上式成为步骤四：将上式推广到二阶齐次Sobolev空间 上，即：求 ，满足 ， （3.23）步骤五：记 ，则 是空间 上的双线性泛函， 是空间 上的线性泛函。最终得到下述问题：求 ，满足 ， 通过上面几个例子可以发现，经过类似的步骤，定解问题（3.7）可以化成以下问题：求 ，满足 ， （3.24）其中 是空间上的双线性泛函，由算子的具体形式给出， 是空间上的线性泛函，由右端项和自然边界条件确定。定义27（Galerkin弱解） ：问题（3.24）称为定解问题（3.7）的Galerkin变分形式（变分方程），它的解称为定解问题（3.7）的Galerkin弱解，任意函数 称为试探函数。几点说明： 定解问题（3.7）要求函数 具有 阶的连续导数，而变分方程（3.24）只要求函数 具有 阶的导数，而且还是广义导数，所以叫做“弱”解。 弱收敛是指在积分（内积）的意义下收敛。类似地，函数 在积分意义下满足方程，这是弱解的第二层意思。 强制边界条件在变分形式中转化成对空间 中元素的要求。也就是说，强制边界条件决定了如何选取空间 。而自然边界条件最终变成了变分方程右端项的一部分变分方程的解将自动满足它。这就是两类边界条件的本质区别。已有的微分方程数学理论表明，定解问题（3.7）的解并不一定总是存在的，存在的时候也不保证是惟一的。但是对于变分方程（3.24），下述定理保证了它的解总是惟一存在的，这也是我们要把原来的定解问题改写成积分形式（就是变分方程）的理论意义。Lax-Milgram定理 ：设 是一个Hilbert空间， 是空间上的双线性泛函，而且是有界的、正定的，即存在常数 和 ，使得 是空间上的有界线性泛函，则变分方程（3.24）的解存在而且惟一，并有不等式（3.25）成立（ 表示有界线性泛函 的模）。证明（节选， 对称的情形）：由于 是正定的双线性泛函，如果它还是对称的，则可以利用它在空间上定义一种新的内积，称为能量内积相应的范数称为能量范数从而在同一集合上构成了一个新的内积空间，记作 。由 的有界性和正定性，即此式表明新定义的能量范数与原有的范数是等价的，从而新空间与原空间有着相同的分析性质。特别是，新空间 也是完备的内积空间，即Hilbert空间。由 的有界性和上述等价性，这表明 在新空间里仍然是有界的线性泛函。于是，根据Riesz表示定理，存在惟一的元素 ，使得即所以，这个惟一的元素 就是变分方程的解。（证毕）另外，在 是对称的条件下，还存在着与变分方程等价的极小值问题。定理 ：设 是一个Hilbert空间， 是空间 上的双线性泛函，而且是有界的、对称的、正定的。 是空间 上的有界线性泛函。定义泛函（不是线性泛函）则变分问题（3.24）等价于下述变分极小值问题：求 ，满足（3.26）证明 ：设 是变分问题（3.24）的解。 ，记 ，则有即由于 是变分问题（3.24）的解，而 ，所以从而由 的正定性，而且当 （即 ）时，这就证明了 是泛函 的极小值。反之，设 是泛函 的极小值。 ，如果 ，则 ， ，从而 ，即 但下面用反证法。如果 不是变分问题（3.24）的解，即 ，则通过选取 与 反号,并满足总可以使这与 矛盾。所以 就是变分方程的解。（证毕）定义28（Ritz弱解） ：变分极小值问题（3.26）的解称为定解问题（3.7）的Ritz弱解。由于变分极小值问题与变分方程等价，所以Galerkin弱解和Ritz弱解可以统称为Ritz-Galerkin弱解。4古典变分方法和有限元方法古典变分方法也称作直接法或Ritz-Galerkin方法，它是有限元方法的基础和原型。设 是一个Hilbert空间。古典变分方法在空间中选取一组线性无关的元素 ， ， ， 作为基函数，用它们张成一个有限维（维）子空间 。这个子空间中的元素都可以写成元素 ， ， ， 的线性组合现在考虑分别与变分方程（3.24）和变分极小值问题（3.26）相对应的两个问题。变分方程 ：求 ，满足 ， （4.1）这个问题称为变分方程（3.24）的Galerkin近似，它的解称为原定解问题（3.7）的解的Galerkin近似，通过求解（4.1）而得到原问题近似解的方法称为Galerkin方法。变分极小值问题 ：求 ，满足（4.2）这个问题称为变分极小值问题（3.26）的Ritz近似，它的解称为原定解问题（3.7）的解的Ritz近似，通过求解（4.2）而得到原问题近似解的方法称为Ritz方法。现在我们就来求解这两个问题。先考虑变分极小值问题（4.2）。将 代入泛函 ，得这是系数 ， ， ， 的二次型，而 的正定性保证了这个二次型的正定性。所以这个二次型一定有极小值。设当系数 ， ， ， 时达到极小值，则这组系数应满足驻点条件由此导出了代数方程组（）定义矩阵（称为总刚矩阵）和向量 ， ， 则上述代数方程组可写成（4.3）显然，在子空间 中，由解 确定的元素 就是变分极小值问题（4.2）的解。再来考虑变分方程（4.1）。设 是它的解，就有即或写成由于 是任意的，所以向量 也是任意的，从而再次导出了代数方程组由此可见，在 是对称的情形下，变分方程（4.1）与变分极小值问题（4.2）也是等价的，因为两者归结为同一个代数方程组（4.3）。所以这两个问题的解可以统称为原定解问题（3.7）的解的Ritz-Galerkin近似，而这两种近似方法也可以统称为Ritz-Galerkin方法。 不是对称的情形，只能定义变分方程（4.1）而没有变分极小值问题（4.2）。例：用Galerkin方法求二阶常微分方程两点边值问题 （4.4）取 ，则满足边界条件。令 ，则 是定解问题 （4.5）相应的变分方程为：求 （ ），满足 ， （4.6）这里 ，取 ，（），则 , ，（）所以 ，（）。取定 ，则 是空间 的 维子空间。在 上，Galerkin近似满足变分方程 ， （4.7）下面对的情形进行具体计算，此时 。所以 和 满足方程组解得变分方程（4.7）的解为 ，而原定解问题（4.4）的近似解是精确解为古典变分方法的不足（1） 基函数 必须满足齐次强制边界条件。这样的函数在一维情形里还比较容易找到，但是对于二维和三维问题，除了形状比较规整的简单区域（矩形、长方体、圆，等等）外，一般来说构