时域离散信号和系统的频域分析要点.doc

一、教学目的和要求 掌握序列的傅里叶变换和变换性质；掌握离散系统的系统函数、系统的频率响应。理解序列的Z变换与连续信号的拉普拉斯变换、傅里叶变换的关系；教学难点和重点教学重点：序列的Z变换与连续信号的拉普拉斯变换、傅里叶变换的关系；序列的傅里叶变换；离散系统的系统函数、系统的频率响应。教学难点：傅里叶变换的性质；Z变换的性质；频率响应函数和系统函数；系统函数的极点分布与系统性能。二学习要点数字信号处理中有三个重要的数学变换工具， 即傅里叶变换（FT）、Z变换（ZT）和离散傅里叶变换（DFT）。 利用它们可以将信号和系统在时域空间和频域空间相互转换， 这大大方便了对信号和系统的分析和处理。 三种变换互有联系，但又不同： 表征一个信号和系统的频域特性是用傅里叶变换。 Z变换是傅里叶变换的一种推广，单位圆上的Z变换就是傅里叶变换。在z域进行分析问题会感到既灵活又方便。 离散傅里叶变换是离散化的傅里叶变换， 因此用计算机分析和处理信号时， 全用离散傅里叶变换进行。 离散傅里叶变换具有快速算法FFT，使离散傅里叶变换在应用中更加方便与广泛。 但是离散傅里叶变换不同于傅里叶变换和Z变换，它将信号的时域和频域都进行了离散化这是它的优点。 但更有它自己的特点，只有掌握了这些特点， 才能合理正确地使用DFT。 本章只学习前两种变换， 离散傅里叶变换及其FFT将在下一章学习。（1） 傅里叶变换的正变换和逆变换定义 以及存在条件。 （2）傅里叶变换的性质和定理：傅里叶变换的周期性、移位与频移性质、时域卷积定理、 巴塞伐尔定理、频域卷积定理、频域微分性质、实序列和一般序列的傅里叶变换的共轭对称性。 （3）周期序列的离散傅里叶级数及周期序列的傅里叶变换表示式 。（4）Z变换的正变换和逆变换定义，以及收敛域与序列特性之间的关系。（5） Z变换的定理和性质：移位、反转、z域微分、共轭序列的Z变换、时域卷积定理、 初值定理、 终值定理、巴塞伐尔定理。 （6） 系统的传输函数和系统函数的求解。 （7） 用极点分布判断系统的因果性和稳定性。 （8） 零状态响应、 零输入响应和稳态响应的求解。 （9） 用零极点分布定性分析并画出系统的幅频特性。 三、习题（一）、判断：1、若某一序列绝对可和，则其傅里叶变换肯定存在。（ ）2、序列的傅里叶变换是以为周期的。（ ）3、序列的傅里叶变换具有隐含周期特性。（ ）4、实序列的傅里叶变换具有共轭对称性质。（ ）5、实序列的傅里叶变换具有共轭反对称性质。（ ）6、周期序列的傅里叶级数也是周期的，且和序列具有相同的周期。（ ）7、周期序列因为不满足绝对可和的条件，所以其傅里叶变换不存在。（ ）8、在数字频率和模拟频率的关系中，模拟折叠频率对应数字频率。（ ）9、在数字频率和模拟频率的关系中，模拟折叠频率对应数字频率。（ ）10、如果离散系统是因果稳定的，则极点均在单位圆内。（ ）11、圆点处的零极点不会影响系统的幅频特性。（ ）12、一般系统的零点影响峰值，极点影响谷点，因此可以通过改变零极点的位置来改变系统的幅频特性。（ ）13、系统函数的零极点决定了该系统的幅频特性。（ ）14、最小相位系统是可逆的。（ ）15、最小相位系统的零极点均在单位园内。（ ）（二）、选择1、有限长序列的傅立叶变换具有（C ）：A.离散性 B. 谐波性 C.周期性 D.收敛性2、关于共轭反对称序列，下列说法正确的是（B ）：A.实部是偶函数，虚部是奇函数 B.实部是奇函数，虚部是偶函数 C.实部和虚部均是偶函数 D. 实部和虚部均是奇函数3、Parseval定理说明（B）：A.信号时域总能量大于频域总能量 B. 信号时域总能量等于频域总能量 C.信号时域总能量小于频域总能量 D.以上说法均不对4、若序列x(n)是模拟信号x(t)采样的结果（采样间隔T），则其傅氏变换是模拟信号的傅氏变换以（C ）为周期作周期延拓：A. B. C. D. 5、设x(n)为因果序列，且X(z)=ZTx(n)=3z/(5z-1),则x(0)=( D ): A.0 B.1 C.2 D.3/56、若系统函数的收敛域是某圆外区域，则该系统肯定是（A ）：A.因果系统 B.非因果系统 C.稳定系统 D.非稳定系统7、关于序列Z变换和傅氏变换，下列说法正确的是（ A ）：A. 单位圆上的Z变换即为傅氏变换 B.任何序列的傅氏变换都是存在的 C. Z变换存在，则傅氏变换存在 D. 二者之间无关系8、关于零极点，下列说法正确的是（ B ）：A.零点位置主要影响系统频响的峰值特性B.极点位置主要影响系统频响的峰值位置及尖锐程度C.极点位置主要影响系统频响的谷点位置及形状D.零极点对系统频响无任何影响9、有限长序列频谱的特点是（C ）：A.离散性 B. 谐波性 C.周期性 D.收敛性10、双边序列Z变换的收敛域为：（C ）：A.圆外区域 B.圆内区域 C.圆环 D.整个平面11、若系统函数的收敛域是某圆内区域，则该系统肯定是（B ）：A.因果系统 B.非因果系统 C.稳定系统 D.非稳定系统12、对离散信号，一般不作（C ）运算：A.平移 B.反折 C.尺度变换 D.差分运算13、模拟频率和数字频率有确定的对应关系，折叠频率对应的数字频率为（B ）：A. B. C. D. 14、因果序列Z变换的收敛域为：（A ）：A.圆外区域 B.圆内区域 C.圆环 D.整个平面15、若某序列Z变换的收敛域包含单位圆，则其傅氏变换（A ）：A.一定存在 B.一定不存在 C.不一定存在 D.以上说法都不对16、以下给出的数字频率，频率最低的是（A ）：A. B. C. D. 17、用脉冲相应不变法设计的数字滤波器可能在（B ）处存在频谱混叠：A. B. C. D. 18、若系统的零点在单位圆外，极点在单位圆内，则该系统为（B）A最小相位系统 B最大相位系统 C混合系统 D可逆系统19、若系统的零极点均在单位圆内，则该系统为（A）A最小相位系统 B最大相位系统 C混合系统 D不可逆系统20、若，则（A）A B C D21、因果系统的时域条件是（C）A B C D（三）：填空题1、傅里叶变换是频率的周期函数，周期是（）。2、答案：共轭对称3、答案：共轭反对称4、共轭对称序列的实部是（偶 ）函数，虚部是（奇）函数。5、共轭反对称序列的实部是（奇）函数，虚部是（偶）函数。6、（ ）。7、答案：8、答案：9、答案：10、答案：11、答：112、Z变换存在的条件是（）。13、使成立，Z变量取值的域称为（收敛域）。14、单位圆上的Z变换就是序列的（傅里叶变换）。15、答：16、答：1，整个Z平面17、答：18、答：19、答：20、设系统初始状态为零，系统对输入为单位脉冲序列的响应输出称为（系统的单位脉冲响应h(n) ）。21、答：频率响应22、若系统函数H( z)的所有极点均在单位圆内，则该系统为（因果稳定 ）系统。23、答案：全通滤波器24、X(K)是x(n)的Z变换在（单位圆）上的N点等间隔采样。25、X(K)是x(n)的傅里叶变换在（0 ，）上的N点等间隔采样。（四）、计算题1、，解：，令n=nn0, 即n=n+n0， 则2、，解：3、 ，解：，令n=n， 则4、 解：因为，对该式两边求导，得到，因此：5、已知： 6、 解：求X(ej)的傅里叶反变换x(n)。解：7、 8、解： 解：9、 设x(n)=R4(n)， 试求x(n)的共轭对称序列xe(n)和共轭反对称序列xo(n)， 并分别用图表示。解： 10、设系统的单位脉冲响应h(n)=anu(n), 0a1， 输入序列为x(n)=(n)+2(n2)完成下面各题： (1) 求出系统输出序列y(n)； (2) 分别求出x(n)、 h(n)和y(n)的傅里叶变换。 11、解：12、解：13、 14、解： 解：15、求序列x(n)=RN(n) ，N=4的Z变换及其收敛域， 并在z平面上画出极零点分布图。解：由z41=0，得零点为：由z3(z1)=0， 得极点为 z1, 2=0, 1零极点图和收敛域如图所示，图中, z=1处的零极点相互对消。16、求序列x(n)=anu(n), 0a1的Z变换及其收敛域。解：17、求序列x(n)=nanu(n), 0a1的Z变换及其收敛域。解：18、求序列,0a1的Z变换及其收敛域解：19、 用部分分式法求的反变换解：20、用部分分式法求的反变换解：（五）、证明题1、证明FT的线性性质。即设X1(ej)=FTx1(n), X2(ej)=FTx2(n), 那么式中, a，b是常数。证明：2、将序列x(n)分成实部xr(n)与虚部xi(n)，x(n)=xr(n)+jxi(n)，证明：证明：，实序列的Fourier变换具有共轭对称性3、将序列x(n)分成实部xr(n)与虚部xi(n)，x(n)=xr(n)+jxi(n)，证明：证明：，虚数Fourier变换具有共轭反对称性4、证明：证明：序列x(n)的共轭对称部分xe(n)对应着X(ej)的实部XR(ej)5、证明：证明：序列x(n)的共轭反对称部分xo(n)对应着X(ej)的虚部(包括j)。6、证明时域卷积定理，即设y(n)=x(n)*h(n)，则：Y(ej)=X(ej)H（ej）证明：，令k=nm，则:7、设x(n)是因果序列，X(z)=ZTx(n)，则证明：因此：8、设w(n)=x(n)*y(n)，X(z)=ZTx(n)Rx|z|Rx+Y(z)=ZTy(n)Rx|z|Ry+1证明;W(z)=ZTw(n)=X(z)Y(z)Rw|z|Rw+Rw+=minRx+, Ry+ Rw-=maxRx-, Ry-证明：W(z) 的收敛域就是X(z)和Y(z)的公共