求向量组的秩与极大无关组(修改整理).doc

求向量组的秩与最大无关组一、 对于具体给出的向量组，求秩与最大无关组1、求向量组的秩（即矩阵的秩）的方法：为阶梯形矩阵【定理】 矩阵的行秩等于其列秩，且等于矩阵的秩.(三秩相等)把向量组的向量作为矩阵的列（或行）向量组成矩阵A；对矩阵A进行初等行变换化为阶梯形矩阵B；阶梯形B中非零行的个数即为所求向量组的秩【例1】 求下列向量组a=(1, 2, 3, 4)，a2 =( 2, 3, 4, 5)，a3 =(3, 4, 5, 6)的秩.解1：以a,a,a为列向量作成矩阵A，用初等行变换将A化为阶梯形矩阵后可求.因为阶梯形矩阵的列秩为2，所以向量组的秩为2 解2：以a,a,a为行向量作成矩阵A，用初等行变换将A化为阶梯形矩阵后可求.因为阶梯形矩阵的行秩为2，所以向量组的秩为22、求向量组的最大线性无关组的方法方法1 逐个选录法 给定一个非零向量组A：a1, a2, an 设a1 0，则a1线性相关，保留a1 加入a2，若a2与 a1线性相关，去掉a2；若a2与 a1线性无关，保留a1 ，a2；依次进行下去，最后求出的向量组就是所求的最大无关组【例2】求向量组：的最大无关组解：因为a1非零，故保留a1 取a2，因为a1与a2线性无关，故保留a1，a2取a3，易得a3=2a1+a2，故a1，a2 ，a3线性相关。所以最大无关组为a1，a2方法2 初等变换法 【定理】 矩阵A经初等行变换化为B，则B的列向量组与A对应的列向量组有相同的线性相关性.证明从略,下面通过例子验证结论成立.向量组：a1=(1,2,3)T, a2=(-1,2,0)T, a3=(1,6,6)T由上可得，求向量组的最大线性无关组的方法： （1）列向量行变换把向量组的向量作为矩阵的列向量组成矩阵A；对矩阵A进行初等行变换化为阶梯形矩阵B；A中的与B的每阶梯首列对应的向量组，即为最大无关组【例3】求向量组 ：a1=(2,1,3,-1)T, a2=(3,-1,2,0)T, a3=(1,3,4,-2)T, a4=(4,-3,1,1)T 的秩和一个最大无关组, 并把不属于最大无关组的向量用最大无关组线性表示。解 以a1,a2,a3,a4为列构造矩阵A, 并实施初等行变换化为行阶梯形矩阵求其秩： 知r(A)=2, 故向量组的最大无关组含2个向量 而两个非零行的非零首元分别在第1, 2列, 故a1,a2为向量组的一个最大无关组 事实上， 知r(a1,a2)=2, 故a1,a2 线性无关为把a3,a4用a1,a2线性表示, 把A变成行最简形矩阵 记矩阵B=(b1, b2, b3, b4),因为初等行变换保持了列向量间的线性表出性，因此向量a1,a2,a3,a4与向量b1, b2, b3, b4之间有相同的线性关系。因此a3=2a1-a2, a4=-a1+2a2 【例4】求下列向量组的一个最大无关组，其中：解：以给定向量为列向量作成矩阵A，用初等行变换将A化为阶梯形矩阵B 再利用初等行变换，将B再化成行最简形矩阵C.初等矩阵A, B, C初等变换行作为求秩无关 B 中见线性无关 C 做陪用最大线性无关组表示其它向量的方法为：把向量组的向量作为矩阵的列向量组成矩阵A；对矩阵A进行初等行变换化为阶梯形矩阵B；把阶梯形B进行初等行变换化为行最简形矩阵C；根据行最简形矩阵列向量的分量，用最大无关组表示其它向量【例5】 求向量组，的秩和一个最大无关组.解： (1) 当且时，故向量组的秩为3，且是一个最大无关组；(2) 当时，故向量组的秩为3，且是一个最大无关组；(3) 当时，若，则，此时向量组的秩为2，且是一个最大无关组.若，则，此时向量组的秩为3，且是一个最大无关组.（2）行向量列变换同理, 也可以用向量组中各向量为行向量组成矩阵（即列向量的转置矩阵）, 通过做初等列变换来求向量组的最大无关组。【例6】 求向量组，的一个最大无关组.解：以给定向量为行向量作成矩阵A，用初等列变换将A化为行最简形: （行向量列变换）由于的第1，2，4个行向量构成的向量组线性无关，故是向量组的一个最大无关组.方法3 线性相关法 （了解）若非零向量组A：a1, a2, an线性无关，则A的最大无关组就是a1, a2, an 若非零向量组A线性相关，则A中必有最大无关组二、对于抽象的向量组，求秩与最大无关组常利用一些有关的结论，如：1、若向量组()可由向量组()线性表示，则()的秩不超过()的秩2、等价向量组有相同的秩3、秩为的向量组中任意个线性无关的向量都是该向量组的最大无关组【例7】 设向量组的秩为.又设，求向量组的秩.解 法1： 由于，且，所以，故向量组与等价，从而的秩为.解法2： 将看做列向量，则有，其中 可求得0，即可逆，从而可由线性表示，由已知可由线性表示，故这两个向量组等价，即它们有相同的秩.【例7】设向量组()：和向量组()：的秩分别为和，而向量组()：的秩为.证明：