概率论与数理统计复习题二-答.pdf

1设 3 1 )(AP， 2 1 )(BP，试分别在下列三种情况下求的值： (P AB) (1) 独立； (2) 互斥； (3) BA,BA,BA ； (4) 8 1 )(ABP 解： ()( )( )( ) ( )P ABP AP BP A P B (1) 独立，则 BA,()( ) ( )P ABP A P B (2) 互斥，则 BA,()( )( )P ABP AP B (3) BA ，则 ()(P ABP A) (4) 直接算 2. 甲乙二人独立地去破译一份密码， 已知各人能译出的概率分别为 1/5 和 1/3， 求密码被译 出的概率. CAB解：设A:甲译出密码，B:乙译出密码，C:密码被译出. 则则 方方法法一一： 111 17 ( )()( )( )( ) ( ) 535 315 P CP ABP AP BP A P B. 方方法法二二： 4 27 ( )1()1( ) ( )1 5 315 P CP A BP A P B 3. 盒子中装有同型号的电子元件 100 个，其中有 4 个是次品从盒子中任取 4 个，求： (1) 4 个全是正品的概率； (2) 恰有一个是次品的概率. 解： 4 96 4 100 (1)0.8472 C p C 31 964 4 100 (2)0.1458 C C p C 4某人独立射击 10 次，每次射击的命中率均为 0.6，求： (1) 击中三次的概率； (2) 至少有一次未击中的概率 解： （1） 337 1010 (3)(0.6) (0.4)0.0425pPC （2） 10100 1010 1(10)(0.6) (0.4)0.9940pPC 5已知 4 1 )(AP， 3 1 )|(ABP， 2 1 )|(BAP，求 )(BAP 解： 1 ()( ) (|) 12 P ABP A P B A ()1 ( ) (|)6 P AB P B P A B 1111 ()( )( )() 46123 P ABP AP BP AB X的概率密度为 ., 0 , 2 ,cos )( 其它 xxk xf 求：(1) 系数k； 6设随机变量 (2) XP 0； 解： 22 2 0 0 2 (1)cos2cos2 sin21kxdxkxdxkxk 1 2 k 2 2 0 0 2 11 (2) 0cos0sin 22 Pxxdxdxx 1 2 . 7设连续型随机变量X的分布函数为 求：(1) 系数；(2) ；(3) 概率密度 . 1, 1 , 10 , 0, 0 )( 2 x xkx x xFk 3 . 13 . 0XP)(xf 解： 2 111 (1) lim( )limlim( )1 xxx F xkxkF x 1k 2 (2) 0.31.3(1.3)(0.3)1 0.30.91PxFF 20 (3)( ) 0 1xx f x 其他 8. 六大分布函数的期望和方差，见课本 P113-114 表格，另外; 填满最后一列！ 分布 数学期望 ()E X方差 ()D X 2 ()E X (0-1)分布 二项分布( , )B n p 泊松分布( ) 均匀分布 ( , )U a b 指数分布( )E 正态分布 2 ( ,)N 9. 某车间生产的圆盘其直径在区间内服从均匀分布，试求圆盘面积的数学期望 ),(ba 解：圆盘直径的概率密度为： 1 ( ) 0 axb f xba 其他 圆盘面积的数学期望为： 222 1 ( )( )( )() 2412 b a x 2 E Sf x dxxdxaa ba bb 10设随机变量X服从参数为 2 的泊松分布，23XZ，求 )(),(ZDZE 解： ()2,()2E XD X ( )(32)3 ()24E ZEXE X 2 ( )(32)3()18D ZDXD X 11设随机变量X服从参数为的二项分布，且, n p()2.4E X ，求参数 . ()1.44D X , n p 解：， ()2.4E Xnp()(1)1.44D Xnpp 两式相除，得 ()1.44 10.60.4p ()2.4 D X p E X ，故，6n . X的概率密度为 求 其它，, 0 , 21,2 , 10, )(xx xx xf)(),( 2 XEXE12设随机变量 解： 12 01 ()( )(2)1E Xxf x dxx xdxxx dx 12 2222 01 7 ()( )(2) 6 E Xx f x dxxxdxxx dx 13. 已知二维随机变量(, )X Y的联合分布律 Y X 1 2 3 1 0 6 1 12 1 2 6 1 6 1 6 1 3 12 1 6 1 求，和. P X Y + =4P X Y 14. 设二维随机变量 22 1122 (, )(, )X YN ，则随机变量X ，并 且Y ； 参数0是X和Y相互独立的 条件； 参数又 称为 ，用来描述随机变量X和Y之间的相互关系. 15设二维随机变量在G上服从均匀分布，其中),(YX0 , 10| ),(xyxyxG， 试求相关系数 XY 解： 其他0 0, 102 ),( xyx yxf 3 2 2)( 0 1 0 x xdydxXE 3 1 2)( 0 1 0 x ydydxYE 4 1 2)( 0 1 0 x xydydxXYE 2 1 2)( 0 2 1 0 2 x dyxdxXE 6 1 2)( 0 2 1 0 2 x dyydxYE 36 1 3 1 3 2 4 1 )()()(),cov(YEXEXYEYX 18 1 3 2 2 1 )()()( 2 22 XEXEXD 18 1 3 1 6 1 )()()( 2 22 YEYEYD 2 1 )()( ),cov( YDXD YX XY 16. 期望、方差、协方差公式 ()()E aXbaE Xb； 2 ()(D aXba D X) )(,)(,Cov aX bYabCov X Y； 1212 (, )(, )(,Cov XX YCov X YCov X Y ()()( )2(,D XYD XD YCov X Y)()( )2()( ) XY D XD YD XD Y 17. 已知随机变量X和Y分别服从正态分布和，且 2 (1,3 )N 2 (0,4 )NX与的相关系数Y 1 2 XY ，设 32 XY Z ，求： (1) Z的数学期望和方差； ( )E Z( )D Z (2) X与Z的相关系数 XZ . 解：；()1,()9E XD X( )0,( )16E YD Y； 1 ,(, )()( ) 2 XYXY Cov X YD XD Y 6. (1) ()( )1 ( )() 32323 XYE XE Y E ZE； 关于方差，错解： 22 22 ()( )34 ( )()5 323294 XYD XD Y D ZD（错因：没有说独立！ 不能用公式） 正解：( )()()()2(,) 323232 XYXYX D ZDDDCov Y 22 111 ()( )(, )1423 323 D XD YCov X Y . (2) . (,)()9Cov X XD X (,)(,) 32 XY Cov X ZCov X 11 (,)(, )330 32 Cov X XCov X Y (,) ()( ) XZ Cov X Z D XD Z 0. 18. 设 123 , 4 XXXX是取自正态总体 2 ( ,)N 的样本，其中为已知， 2 未知，指出 下列样本函数中哪些是统计量，哪些不是？为什么？ 123 1 4 4 XXXX g ; 21 gX; 4 3 X g ; 41234 min,gXXXX 19. 设总体，(0,1)XN 12 , n XXX是取自X的样本，X为样本均值，S为样本标准 差，则( C ) A. (0,1)XN B. (0,1)nXN C. 22 1 ( ) n i i Xn D. (1 X t n S ) 20. 设 12 , n XXX是取自正态总体 2 ( ,)N 的样本，记，其中， ，试求U的分布. 1 n ii i Ua X0 i a 1 n i i a 1 21. 设 12 , 8 XXX和分别来自正态总体 1210 ,Y YY( 1,4)N 和的样本， 且相互 独立，和分别为两个样本的样本方差，则统计量 (2,5)N 2 1 S 2 2 S 2 1 2 2 5 4 S S 服从( C )分布 A. B. C. D. (5,4)F(4,5)F(7,9)F(9,7)F 22. 设元件寿命X服从正态分布 2 ( ,)N ，其中参数 2 , 都是未知的，现随机抽取 6 个 元件，测得其使用寿命（单位：小时）分别为：1498, 1502, 1578, 1366, 1454, 1650，试求总 体均值和方差 2 的矩估计值，以及和方差 2 的无偏估计值. 23. 电阻的使用寿命X服从参数为的指数分布，参数未知. 今抽查了 6 只电阻，测得 到以下数据（单位：年） ：1.9, 2.7, 4.8, 3.1, 3.4, 2.4，求参数的矩估计值. 24. 设总体X服从泊松分布( ) ，试求的矩估计量. 25. 设 1,2 XX是取自总体( ,1)XN的样本，其中为未知参数，则的无偏估计是 ( ) A. 1 31 + 44 2 XX B. 1 31 44 2 XX C. 1 71 55 2 XX D. 12 71 + 55 XX 26. 已知某厂生产的钉子的直径服从正态分布，先从中抽取 16 枚，测得其样本均值 =2.125x，样本方差，求总体均值的置信度为 0.90 的置信区间. 2 s =0.017132 27. 某种疾病的存活时间( ,9)XN， 现随机抽查 16 个患此疾病的患者， 得到13.88x ， 求的置信度为 0.95 的置信区间. 全概率公式和贝叶斯公式 28两台车床加工同样的零件，第一台出现废品的概率为 0.03，第二台出现废品的概率为 0.02加工出来的零件放在一起，并且已知第一台加工的零件比第二台加工的零件多一倍， 求任意取出的一件产品是合格品的概率 解：设事件A：取得的产品是合格品，事件 i B：取得的产品由第i台车床加工， 1,2i 则所求概率为： 1122 21 ( )() (|)() (|)0.970.980.9733 33 P AP B P A BP B P A B 29设有甲、乙两个口袋，甲袋中装有只白球，m只红球，乙袋中装有只白球，nNM只 红球现从甲袋中任取一球放入乙袋，再从乙袋中任意取一球，问： (1) 取到白球的概率是多少? (2) 若已知取到白球，则原先是从甲袋中取得白球放入乙袋的概率是多少? 解：设事件A：从乙袋取到白球，事件B：从甲袋取到白球 （1）所求概率为：( )( ) (|)( ) (|)P AP B P A BP B P A B 1 11()( nNmNnNnmN mn MNmn MNmn MN1) （2）所求概率为： () (|) ( ) P AB P B A P A 1 1 ()(1) nN nNn mn MN nNnmN nNnmN mn MN 30设 8 支枪中有 3 支未经试射校正，5 只已经试射校正一射手用校正的枪射击时，中靶 的概率为 0.8，而用未校正过的枪射击时，中靶的概率为 0.3现假定从 8 支枪中任取一支进 行射击，结果中靶，求所用的枪是己校正过的概率 解：设事件A：射击中靶，事件B：所用的枪是已校正过的 则所求概率为： ( ) (|)P B P A B (|) ( ) (|)( ) (|) P B A P B P A BP B P A B 5 0.8 40 8 0.8163 53 49 0.80.3 88 二维概率密度 31设随机变量的概率密度为 ),(YX , 0 , 42 , 20),6( ),( 其它 yxyxk yxf (1) 确定常数； (2) 求的边缘概率密度； (3) 问kYX、X与Y相互独立吗？为什么？(4) 求 P XY 解： (1) 242 020 ( , )(6)(62 )81f x y dxdydxkxy dykx dxk 1 8 k (4) 242 2 020 111 4(6)(46) 882 x P XYdxxy dyxxdx 2 3 . 32设随机变量在区域上服从均匀分布， 其中由直线),(YXGG2,yxyxy所围 成 (1) 求X与Y的联合概率密度；(2) 求的边缘概率密度； YX、 (3) 问X与Y相互独立吗？为什么？(4) 求. 2P YX 解：(1)的面积 1 4 24 2 A Y的联合概率密度为： 1 |,02 ( , )4 0 xyy f x y 其他 X与 (2) 2 | | 11 (2 |)| 2 ( )( , )44 0 x X dyxx fxf x y dy 其他 11 02 ( )( , )42 0 y y Y dxyy fyf x y dx 其他 (3) 不是相互独立的。因为不恒成立( , )( )( ) XY f x yfx