变换思想在中学数学中的应用.doc

目录1 引言12数学变换思想在代数中的应用22.1 恒等变换及其应用22.2 换元变换及其应用32.3 三角函数变换及其应用43.数学变换思想在几何中的运用53.1 函数图象变换及其应用63.2 几何中的相似变换及其应用83.3 几何中的对称变换及应用103.4几何中的划归思想及应用114 结论13参考文献14致谢151引言自20世纪末，教育对现代化的基础作用日益凸现，要发展经济首先要发展教育，已是国人的共识。为发展教育，数学教育研究应时发轫，并出现了百花齐放的局面。数学教育与数学思想方法成了数学界内外的话题。关于数学思想方法的研究始自20世纪40年代，数学家波利亚著有怎样解题，20世纪80年代徐利治教授在大学数学系开设“数学方法论”，著有数学方法论选讲。自此，数学方法的研究不断深入。关于数学思想方法，北京师范大学钱佩玲教授指出：“数学思想方法是以数学内容为载体，基于数学知识，又高于数学知识的一种隐性知识” 。“是处理数学问题的指导思想和基本策略，是数学的灵魂“。数学思想方法是一种指导思想和普遍适用的方法。数学本身作为一种科学，具有严谨性、逻辑性、简洁性、可靠性的特点。对思想方法的研究，有益于数学本身的研究，同时，数学是一种文化，是一种态度。美国著名数学教育家波利亚说过，掌握数学就意味着要善于解题.而当我们在解题过程中碰到一个新问题时，总想能够用自己熟悉的知识去解决，这很自然地让我们想起用数学变换思想。只有对数学思想、数学方法理解透彻并能够融会贯通时，我们都才能提出新看法、巧解法. 我们应该牢记，在数学学习中“知识”是基础，“方法”是手段，“思想”是深化，提高数学素质的核心就是提高学生对数学思想方法的认识和运用，数学素质的综合体现就是“能力”.中学数学试题十分重视对于数学思想方法的考查，特别是考查能力的试题,其解答过程都蕴含着重要的数学思想方法。每年高考中也包含着大部分要结合数学变换思想来解答的题目，特别是像一些几何问题，需要借助图形变换来解答等等。这也是我研究此类题目的关系使然。本文主要是在前者对数学思想方法研究的基础上，通过实际生活中数学变换思想的一些应用，提出了现代数学学习重点强调的是数学思想方法的掌握和应用.希望能引起同学们对解题策略的重视.文中讨论了一些常见的数学问题应用变换思想的例子，主要引用以下几种变换如对称变换，换元变换、三角函数变换、等价转化法等等.2 数学变换思想在代数中的应用 解题方法即解题技巧，可以帮助答题者以最有效率的方式得到答案.在数学考试中试题数量日益变大的形势下，如何能够利用变换思想更解答问题，提高解题效率成为考试成功与否的关键所在.解题方法多种多样，现在我们来看一个技巧性较高的方法-恒等变换。2.1 恒等变换及其应用这种方法的特点是，将复杂的问题通过表达形式的恒等变换转化成容易解决的问题，俗称“剥去华丽外表，还原简单内核”。例1：求，其中，分析：利用恒等变换得= ，即将即将所求较复杂形式的数列极限转化成了简单形式的数列极限， 易得=，（）。注：这种变换在平时解题中很容易看出来，但技巧性较强，应多加运用。且这种方法应用范围较为狭窄，下面我们认识一种挺普遍的解题方法-换元变换。2.2 换元变换及其应用解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法.换元的实质是转化，即将复杂的式子或者条件化为简单的若干整体，其关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化，问题变得容易处理.换元法通过引进新的变量，可以把分散的条件联系起来，隐含的条件显露出来，或者把条件与结论联系起来.或者变为熟悉的形式，把复杂的计算和推证简化.它可以化高次为低次、化分式为整式、化无理式为有理式，在研究方程、不等式、函数、数列、三角等问题中有广泛的应用.换元的主要方法有：局部换元、三角换元、均值换元等.例2 ：设实数满足，则的取值范围是_.分析 ：本题如果我们直接进行求解或是采用配方法，难度较大.所以我们考虑利用换元思想.解 ：设，y=k-x,带入原式得, ,所以或.注 ：在平时学习中数学变换思想的应用也是数学素质训练的一个重要部分。例3：求函数满足条件的最小值。分析：引入参数，设x-1=t,从而x=t+1,y=2t-1,z=3t+2.于是有=，由一元二次函数知识可知，当时，函数取值最小值。消去参数t，便得到时，函数在满足所给的条件下有最小值，且最小值为。注：此题通过引入参数，进行换元变换，将求极值问题转化为求一元二次函数的最小值，比较简洁易懂。2.3 三角函数变换及其应用在高考中，有一类题型是每年必不可少的，那就是三角函数及其应用。三角函数变换公式，尤其是和角、差角、倍角公式在高中数学竞赛或者高考中起着尤为重要的作用,这一部分的试题常常新颖别致，灵活多样，虽然易懂，但方法难想。我们借助实例来谈谈这类问题的解题策略。常用的变换有： ( 1) 常值代换：特别是用“1”的代换，如1=+=tancot =tan45， 用正弦定理代换等。( 2)项的分拆与角的配凑： 如分拆项：+2 =(+)+=1+。配凑角：=(+)- , = +2- - 等。( 3) 降次：即用二倍角公式降次。一般的考察三角函数的题型，都需要结合几种三角函数变换来解题，比较综合。以下我们举两个个例子来分析说明, 细心的读者可以从中品位出对应的解题策略。例4：在ABC中,a,b,c是三个内角A,B,C的对边,若等式( )sin(A- B)=( )sin(A+B)成立,试判断ABC的形状。分析：该题只给我们了一个恒等式，我们应该学会用三角函数变换思想来把等式简化，从而得出三角形中角的关系。解: 由正弦定理得:= =2R。a=2RsinA, b=2RsinB,已知等式化为:(+)sin(A- B)=( -)sin(A+B), sin(A- B)- sin(A+B) =- sin(A+B)+sin(A- B) ,- 2cosAsinB=- 2sinAcosB。,sinA0, sinB0,2sinAcosA=2sinBcosB,sin2A- sin2B=0,2cos(A+B)sin(A- B)=0,cos(A+B)=0或sin(A- B)=0。, ,A+B= , A- B=0,C= 或A=B,ABC是直角三角形或等腰三角形。注：此例题通过运用三角函数的基本变换公式和三角形的一般知识，将题目中较隐晦的条件提取出来，使问题得以解决，该变换思想较为简单。例5：（1997年“希望杯”邀请赛试题)函数的值域是（ ）解：用万能公式，原函数化为，。为实数， 故0, 即42)0, 即，0y1。当y=0，1时函数有对应的x值，故。注：该竞赛题巧妙地利用三角函数的变换思想来很好的转化了解题目的，对数学能力的提高有很大的帮助。3 数学变换思想在几何中的运用前面我们简单论述了变换思想在代数中的应用，但我们知道，数学由代数和几何两大部分组成。为了内容上的完整性，我们现在来讨论变换思想在几何中的应用。在研究和解决数学问题时，采用迁回的手段来达到目的方法，称之为数学变换方法，其思维特征是利用变换，复杂问题向简单问题转化，使难的问题向容易的问题转化，使未解决的问题向已解决的问题转化，这也正是转化思想在解题中的具体体现，灵活、有效地利用好变换方法，对于活跃数学思维, 提高解题技巧是非常有益的。变换观点是现代数学的重要观点。在现行初中教材中，虽未系统涉及变换的理论，但许多章节在研究图形的性质时，已介绍了不少与变换有关的概念，如中心对称、轴对称、相似形、位似形等。因此，在教学中可充分挖掘这些内容，有意识地渗透变换思想，主要应抓住两方面的问题：一是用变换思想指导解题;2是用变换观点来认识有关图形及其性质。3.1 函数图象变换及其应用函数图象是以图形来描述函数性质的，它能直观地反映函数所蕴含的基本关系。正确理解和熟练掌握函数图象变换的规律，能有效的增强我们对图形变化的认识，把握住问题的关键，提高解题的能力。以下是几种常见的函数图象变换关系：1：平移变换（1） 水平平移（a0）的图象, 可由的图象向左(+ ) 或向右(- ) 平移a 个单位而得到。( 2) 竖直平移：(b0)的图象，可由的图象向上( + ) 或向下( - ) 平移b 个单位而得到。例6：已知函数是定义在R上的偶函数，其图象关于直线x=2对称，且当时， =，则当时，的解析式为（ ）分析：先画出时的图象，再作出其关于x= 2对称的图象, 得到在( 2, 6)的图象，再作出此图象关于y 轴对称的图象，得在的图象。如图可知，。注：运用数形结合变换思想可以帮我们很快的解答出问题。2：对称变换( 1) 与关于y 轴对称；( 2) 与关于x 轴对称；( 3) 与关于原点对称；( 4) 与关于直线y= x 对称；( 5) 的图象与的图象关于直线x= a 对称；( 或对任意x 满足函数图象关于直线x= a 对称)( 6) 的图象可将的图象在x 轴下方的部分以x 轴为对称轴翻折到x 轴上方，其余部分不变。( 7) 的图象，可将（）的部分作出, 再利用偶函数的图象关于y 轴的对称性，作出的图象。例7：函数（ ）(A) 是偶函数, 在区间上单调递增;( B) 是偶函数, 在区间上单调递减;( C) 是奇函数, 在区间上单调递增;( D) 是奇函数, 在区间上单调递减.分析：易知是偶函数，在上= lgx是单调递增的,又由对称性知,在区间上单调递减,选( B)。注：若该题结合的函数图象，即其偶函数的对称性，很快就能得出结论，可以提高解题效率。3：伸缩变换( 1)（A0）的图象,可将图象上所有点的纵坐标变为原来的A 倍, 横坐标保持不变而得到。( 2)()的图象，可将图象上所有点的横坐标变为原来的倍, 纵坐标保持不变而得到。例8：已知函数，其中。若的最小正周期为，且当时，取得最大值，则（ ）A.在区间上是增函数 B.在区间上是增函数C.在区间上是减函数 D.在区间上是减函数分析：由函数的周期可得，故，又。解得。又，故，因此。即当，函数在区间上为增函数。故选A。注：该函数经过y的伸缩变换，周期有了变化，必须结合图形及题中条件，判断该函数变换后的周期，这才有利于解题。3.2 几何中的相似变换及其应用一般在几何解题中，我们不可避免的就会遇到三角形等类几何图形的证明题。且很多证明题都要用到相似变换，这种方法可以在很大程度上简化我们的证明过程。由一个图形到另一个图形，在改变的过程中保持形状不变（大小方向和位置可以变），这样的图形改变叫做图形的相似变换。经过这样改变的图形，不改变图形中每一个角的大小，相似变换后对应线段都扩大（或缩小）相同的倍数，这个数叫做相似比。相似变换在几何解题中有很广泛的应用。注：如果两个图形不仅是相似图形，而且每组对应点的连线交于一点，对应边互相平行或在一条直线上，那么这两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心，这时的相似比又称为位似比。以下我们有应用。例9:BC是半圆的直径，过B做BC的垂线，在这垂线上任取一点A,过A做半圆的切线AD,D为切点，做,连AC交DF于E，求证DE=EF。分析：因为，,AB是EF的位似对应线段，（以C为位似中心，以为位似比）。欲证E点为DF的中点，只需证明A点为 DF的位似对应中点即可。为此，连CD并延长，与BA的延长线交于D，连BD如右图，因BC为直径，,为直角三角形，欲证AB=AD，只需证AB=AD及AD=AD即可。因为AB、AD同为切线，,故只需证AD=AD,即只需证,但,，于是问题不难解决。证明：连CD并延长与BA的延长线交于D,连BD。因为BC为直径，,。又AB与AD为同圆的切线，,。而，所以AB=AD，因AB/DF,得DE=EF。例10：AD是的外接圆O的直径，过D作切线交直线BC于P,连接PO,分别交AB、AC于M、N，求证OM=ON。分析：欲证OM=ON，可设法寻求与MN位似的线段，证明直线AO平分这线段。为此，过B点作交AC于F、交AO于E。若E为BF的中点，取BC的中点G，连接EG (如右图)，则EG应为的中位线，故只须证，即只需证。但，故只需证，即只需证B、D、G、E四点共圆，也就是只需证。但因，故只需证，即只需证P、O、G、D四点共圆。而G为BC的中点，；又，所以P、O、G、D四点共圆，问题不难解决。证明：过B作交AD、AC于E、F，取BC的中点G，连接EG、OG、BD、DG。，所以P、O、G、D四点共圆，。又由， B、D、G、E四点共圆。，。，。故可得MO=ON。注：运用相似变换可以将不明显的结论转变为简单可见的证明，大大降低了证明难度，对解题速率有很好的提高。3.3 几何中的对称变换及应用在几何中，很多图形有其特别的性质，对称图形是常见的一类，那么相应地我们就可以用对称变换来解许多这方面的题型。 数学中的对称性主要指在某种变换下保持不变的性质,亦指数学概念、公式、命题结构的形式具有对称性。数学上的许多问题可以利用对称性来解决。数学对称法是一种探索性的发现方法, 它与其它方法的不同之处主要体现在其创造性功能。因此掌握和运用对称法, 对于活跃开拓学生的创造性思维, 提高判断解题能力, 探讨解题方法是十分有益的。下面通过不同类型的例题, 将对称法在初、高等数学中的应用作进一步的介绍。例11：把一张长方形纸片按图1所示的方式折叠，EM、FM为折痕，折叠后的C点落在或的延长线上(图1中的点)，那么的度数是( )(A) ( B) ( C) ( D) 解：因EM、FM 为折痕, 易得： ， 而，故，选B。例12：( 2007年青岛市中考题) 将平行四边形纸片ABCD 按图2所示的方式折叠, 使点C与点A 重合,点D落到D 处，折痕为EF。（1） 求证： ( 2) 连接CF，判断四边形AECF是什么特殊四边形，证明你的结论。解：(1)由折叠可知， ABCD 是平行四边形，AB=CD，。( 2) 由折叠可知,AE = EC，ABCD 是平行四边形, 。，。，四边形AECF 是平行四边形。 AE = AF，四边形AECF 是菱形。注：该题考察的是考生对图形的对称性质的把握程度，这一变换思想的运用很好地提高了解题效率。3.4 几何中的划归思想及应用在几何解题中，有许多是不能直接进行求解的，这就可以用到划归思想。化归指的是转化与归结. 简单的化归思想就是把不熟悉的问题转化成熟悉问题的数学思想. 即把数学中待解决或未解决的问题, 通过观察、分析、联想、类比等思维过程,选择恰当的方法进行变换、转化, 归结到某个或某些已经解决或比较容易解决的问题上, 最终解决原问题的解决问题的思想, 称为化归思想. 化归思想是解决数学问题的基本思想, 解题的过程实际上就是转化的过程. 数学中的转化比比皆是, 比如将未知向已知转化; 复杂问题向简单问题转化; 命题间的转化; 数与形的转化; 空间向平面的转化; 高次向低次的转化; 多元向低元的转化; 无限向有限的转化等都是化归思想的体现. 从本质上说, 解题的过程就是化归的过程, 但化归并不是一件容易的事, 它不仅需要有敏锐的洞察力和观察力, 更需要有丰富的知识储备。化归包含三个基本要素：(1) 化归对象, 即把什么东西进行化归; (2)化归目标, 即化归到何处去; (3)化归途径, 即如何进行化归，化归思维模式:：问题?新问题?解决新问题?解决原问题.例13：（ 1996年全国高考题）等差数列的前m 项和为30，前2m项和为100，则它的前3m 项和为( ) .( A) 130; ( B) 170; ( C) 210; ( D) 260.解：由等差数列的性质, 有，。选C.注：此题是利用划归思想，通过对整体的调节与转化使问题获解，这种“整体思想”可以使我们找到简捷的方法。比如整体构造, 整体换元等进行整体思考, 可以简化解题过程, 优化解题质量。例14：求函数的极小值。分析：本题是关于二次函数的极值问题,如单纯用代数方法求解难以完成.根据具体与抽象的转化的原则,通过观察,发现是两动点A 与B 的距离的平方,即，于是问题就化归为求A,B两点之间的最短距离。易知,点A 在半圆 ( y0) 上, 点B 在双曲线 ( y0) 上，由图象可知，的最小值是点与点(2,0)的距离为，从而函数的极小值为。注：化归是关键，学会了化归,可以使学生的解题能力得到较大的提高, 机械的重复的强化训练只能一把钥匙开一把锁, 既浪费了时间和精力又束缚了学生思维的自由发展。因此，在数学课堂教学中我们一定要重视培养学生的化归能力。 4 结论文中列举了解中学数学常用的几种变换方法如对称变换、换元法、恒等变换、划归变换等等，并辅以例题阐述. 其中借鉴了部分老师、专家的研究成果.我认为数学知识是基础，数学方法是手段.解题策略是建立在对解法能够熟练掌握的基础上的.故此关于数学问题的讨论目前只进行了方法的介绍，其他关于一些解答技巧尚未进行深入探讨，在以后逐渐会在这些方面进行补足.数学活动的实质就是思维的转化过程，在解题中，要不断改变解题方向，从不同角度、不同的侧面去探讨问题的解法寻求最佳方法在转化过程中，应遵循三个原则: (1) 熟悉化原则，即将陌生的问题转化为熟悉的问题; (2) 简单化原则，即将复杂问题转化为简单问题; ( 3) 直观化原则，即将抽象内容具体化转化的内容非常丰富，已知与未知、数量与图形、图形与图形、概念与概念之间都可以进行转化，也常常在不同的数学问题之间互相转化，以获得解决问题的转机，可以说，在解决数学问题时，转化思想几乎是无处不在的 熟练、扎实地掌握基础知识、基本技能和基本方法是转化的基础;