如何在方程应用题的教学中渗透数学建模的思想与思维过程.doc

如何在方程应用题的教学中渗透数学建模的思想与思维过程龙潭镇第一初级中学 黄海东采用“创设问题情境建立数学模型解释、应用与拓展”的过程来进行教学。能有效地激发学生兴趣，构建新旧知识的衔接，让学生投入到解决问题的实际活动中，全方位展示自己的思维；通过不同的解法，引发方法之间的比较；让学生自觉运用方程建模思想去研究、探索，经历数学建模的过程，初步体会数学建模的思想与方法，提高了数学的应用意识。下面就结合自己教学实际来例谈如何在方程应用题的教学中渗透数学建模的思想与思维过程。一、行程问题中的建模教学（1）提出问题甲、乙两人在相距100米的两端同时相向而行，与此同时一只小狗也开始与甲同时同地起跑，它一遇到乙就立即转向跑回，遇到甲再立即转向跑回，小狗就这样在两步行的人之间来回跑行，直到两人相遇。如果两人以1米/秒的速度匀速前进，小狗以2米/秒的速度匀速奔跑，那么小狗一共跑了多少米?与同伴交流，说说你的想法。生：这个问题属于行程问题。已知小狗的速度，只要求出小狗跑的时间，就能求出小狗跑的路程。师：小狗跑的时间怎样求?生：根据题意，小狗跑的时间与两人从开始到相遇用的时间是相同的。师：说得很好，这是问题的关键。但是，时间能求出来吗?生：能，从题意我们知道甲、乙两人所走的距离(100米)及两人的速度(1米/秒)，所以我们能够求出第三个量时间，之后乘以小狗的速度即可得到小狗跑的路程。师：好极了!行程问题就是要抓住速度、路程、时间三个量之间的关系，找出等量关系，正确地列出方程，解决实际问题。例小丽和小红每天早晨坚持跑步，小红每秒跑4米，小丽每秒跑6米。(1)如果他们从100米跑道的两端相向跑，那么几秒后两人相遇?(2)如果小丽站在百米跑道起跑处，小红站在她前面10米处，两人同时同向起跑，几秒后小丽追上小红?师：题目中已知些什么?生甲：已知小红和小丽奔跑的速度分别为4米/秒和6米/秒。生乙：问题(1)中两人从100米跑道两端相向而行，相遇时两人所跑的路程之和为100米。师：说得很好，要解决问题，必须抓住这个等量关系。我们用线段图表示，可以使他们的关系更加直观，等量关系更加清晰。图1等量关系为：小丽所跑的路程小红所跑的路程100米。设经过x秒后两人相遇，则小丽跑的路程为6x米，则小红跑的路程为4x米，由此可得方程6x4x=100。生乙：问题(2)中小丽站在百米跑道起跑处，小红站在她前面10米处，当小丽追上小红时，小红比小丽少跑10米。师：对，这是问题的关键之一。为了使问题更加直观、等量关系更加清晰，我们用线段图表示如下：图2等量关系为：小丽所跑的路程-小红所跑的路程10米。设经过x秒后小丽追上小红，则小丽跑的路程为6x米，则小红跑的路程为4x米，由此可得方程6x-4x=10。解：(1)设经过x秒后两人相遇，则小丽跑的路程为6x米，小红跑的路程为4x米，由此可得方程6x4x=100。解得x=10。答：经过10秒后两人相遇。(2)设x秒后小丽追上小红，则小丽跑的路程为6x米，小红跑的路程为4x米，由此可得方程6x-4x=10。解得x=5。答：经过5秒钟后小丽追上小红。师：由例1我们可以看出，在审题过程中，如果能把文字语言变成图形语言线段图，即可使问题更加直观，等量关系更加清晰。我们只要设出未知数，并用代数式表示出来，便可得到方程。在我们的生活中，一些同学丢三落四的坏习惯，害得父母跟着操心。小明今天就犯了这个错误，请看例2。例2小明每天早上要在7：50前赶到距离1000米的学校上课。一天，小明以80米/分钟的速度出发，5分钟后，小明爸爸发现小明忘了带语文书，于是，小明爸爸立即以180米/分钟的速度追小明，并且在途中追上了小明。(1)爸爸追上小明用了多少时间?(2)追上小明时，距离学校还有多远?同学们可仿照例1的方法，画出线段图分析题目中的等量关系。生：小明爸爸追上小明时，他们父子二人所走的路程是相等的。师：哪位同学到黑板上画出线段图?生：设爸爸追上小明用了x分钟，则可画得线段图：图3等量关系：爸爸走的路程小明走的路程。师：同学们在练习本上完成练习。生：解：(1)设爸爸追上小明用了x分钟，根据题意，得180x=80x580。解得 x=4。所以爸爸用了4分钟追上小明。(2)小明家距学校的距离-爸爸走的路程追上小明时距学校的距离。1000-1804280。答：爸爸追上小明时距学校距离为280米。师：我们的引例同学们能完成吗?生：解：设甲、乙从出发到相遇用了x秒钟，则等量关系：甲走的路程乙走的路程100米。xx=100。解得x=50。小狗所跑的路程为：250100(米)。答：小狗所跑的路程为100米。议一议：一中学校七年级的学生步行到郊外旅行，一班的学生组成前队，步行速度为4千米/时，二班的学生组成后队，步行速度为6千米/时。前队出发1小时后，后队才出发，同时后队派一名联络员骑自行车在两队之间不断地来回联络，他骑自行车的速度为12千米/时。根据上面的事实我们分组提出问题、讨论、交流并尝试解答。一组：后队用多长时间追上前队?等量关系：前队所走的路程后队所走的路程。设后队x小时可追上前队，则6x=414x。解得x=2。所以后队2小时可追上前队。二组：后队出发到追上前队时，联络员骑行了多少千米?这个问题的解答与引例相同。联络员的骑行速度为12千米/时，后队追上前队的时间是2小时(一组的答案)，所以联络员骑行的距离是：12224(千米)。三组：当联络员第一次追上前队再返回后队时，后队行进了多少千米?解决这个问题分两步：第一步，设联络员x小时后追上前队，则12x=414x。解得 x=12。所以联络员半小时后追上前队。第二步，设y小时后联络员返回后队，则注意：图中x=126y12y61241412。解得y16。所以16小时后联络员返回后队。当联络员第一次追上前队再返回后队时，后队行进的距离为：6(xy)=612164(千米)。即当联络员第一次追上前队再返回后队时，后队行进了4千米。在同学们总结过程中，教师加以引导和点拨，可得到解决行程问题的基本步骤：引例的设计是给学生创设一个问题情境，小狗来来回回地跑来跑去，从表面上看问题复杂，计算很困难，但是，如果同学们对速度、路程、时间三个量之间的关系进行分析，就能抓住小狗跑的时间这个问题的关键点，而不管小狗来回跑了多少次，解决这个问题就容易了。通过“线段图”把问题中各个量之间的关系直观、清晰地展示出来进行分析，能帮助我们找到列方程的等量关系。这个过程同学们掌握得很好，教学效果很明显。后面的是开放性问题，鼓励同学们充分发挥自己的特长和想像力，大胆地提出问题，再互相交流讨论给出问题的解决方案，并对此方案的可行性和正确性进行检验。这对同学们的创新意识的开发以及解决实际问题能力的培养有很好的作用。二、教育储蓄问题1提出问题师：我们大家都是七年级同学，六年后将要走进大学校门，假设上大学需要5000元学费，你的爸爸妈妈现在就参加教育储蓄。下面有两种储蓄方式：(1)先存一个3年期的，年利率为27%，3年后将本息和自动转存一个3年期；(2)直接存入一个6年期的，年利率为288%。你认为哪种储蓄方式开始存入的本金比较少?(把知识生活化，让学生感到这就是自己生活中应该解决的问题。)教师指导学生自主学习。1独立思考阶段给学生充分的独立思考、探究时间，使学生面对新问题，能结合自己已有知识，寻求新的问题解决办法。2小组讨论交流阶段学生有了自己的想法后，可与小组内的同学展开交流，从而体现数学教学是数学思维过程的教学，学数学的过程是学生头脑中构建数学认知结构的过程，是学生的一种自主性行为，用自身的创造活动去感受数学是做出来的，不是教出来的。3成果展示阶段生1：(板书)设开始存入x元。若按第一种方式，则1.081x(12.7%3)=5000，1.168 561x=5 000，x4279。师：谈谈你的想法。生1：我是这样想的。第一个3年期，本金为x元，利息为x2.7%3，本息和为x(12.7%3)=1.081x。第二个3年期，本金为1.081x，利息为1.081x2.7%3，本息和要达到5 000元。就是说，开始大约存入4280元，3年期满后将本息和再存一个3年期，6年后能达到5000元。生1：若按第二种储蓄方式，则x(12.88%6)=5000，x=4263。如果直接存一个6年期的，开始只需存入4263元。师：通过学习你们选择哪一种储蓄方式呢?学生齐声说选择第二种。4归纳总结阶段师：通过探究学习，你有什么收获?生：我了解了有关储蓄的一些知识，理解了利息、利息税、利率。生：我还体会到，我们要有一定的经济计划，要学会理财，用最少的钱发挥最大的效益。师：既然同学们有这么多想法，那么，请你根据自己家庭收支情况，写一份家庭理财的建议给家长。三、打折销售问题1、提出问题店主站在一张桌子后，桌子上放着两件衣服，身后立着一块醒目的牌子：“放血大处理”，“血”字是红色的。店主喊：“大家过来看一看，瞧一瞧，走过的、路过的不要错过，本店不计成本挥泪大甩卖，所有服装两折处理，每件只卖48元”一工商人员上场对店主说：“你这是违法行为，请把牌子收起来，不能这么喊。”店主：“我确实是两折处理呀!”工商人员：“你把衣服的成本价提高了多少标价?”店主：“我提高了500%以后标价的。”工商人员：“同学们，他将每件衣服按成本价提高了500%进行标价，再按两折处理，每件衣服卖48元，你们算一算，他到底是赚还是亏?” 2、学生猜测小品中的店主是赚是亏?(独立思考)3、学生讨论以下问题如果一件衣服的成本价为100元，按成本价提高500%标价，标价是多少?再按标价打两折销售，实际售价是多少?假设一件衣服的成本价为x元，按成本价提高500%标价，标价是多少?再按标价打两折销售，实际售价是多少?你所列出的实际售价与小品中的商家的售价有什么关系?根据这个等量关系列出方程，并解出方程；验证你的猜测是否正确。4、进一步引申如果不知道小品中店主的售价是多少，但知道他每件衣服赚了20元钱，其他条件不变，那么每件衣服的成本是多少元?启发学生：这20元的利润是怎么来的?引导学生探索出等量关系：利润售价-成本。进而列出方程：x(1500%)20%-x=20。5、提出问题在现实生活中，你见过哪些打折销售活动?是否所有的“打折销售”都存在欺诈行为?你认为哪些存在欺诈行为?(通过这一讨论让学生分清哪些是正常的销售手段，哪些是不正常的欺诈行为。在讨论过程中，教师要旗帜鲜明地表明“诚实为人，立信为本”，达到教育学生“求真”“求是”的目的。6、应用反馈一件商品按成本价提高30%后标价，又以8折销售，售价为260元，这件商品的成本价是多少?某家电商场将某种品牌的彩电按成本价提高了20%标价，谁知市场竞争激烈，商场只好按标价的九折销售，结果每台彩电只获利80元。该品牌的家电成本价与实际售价各是多少?四、劳力调配问题中的建模教学（1）提出问题在甲处劳动的有27人，在乙处劳动有19人，现另外调20人去支援，使在甲处工作的人数是乙处的2倍，问往甲、乙处各调多少人？线段图：表格图：相等关系：甲原有人数调入人数（乙原有人数调入人数）2解：设调往甲处x人，则调乙处（）人由题意得：解方程得：答：调甲处17人，调乙处3人。例2. 某工厂第一车间比第二车间人数的少30人，如果从第二车间调出10人到第一车间去，则第一车间人数是第二车间人数的，这两个车间原来各有多少人？表格图：相等关系：第一车间原有人数调入（第二车间原有人数调出）解：设第二车间原有x人，则第一车间原有人根据题意得：解得：答：第一车间原有170人，第二车间原有250人。3. 小结：通过例1、例2，我们可以看出劳力调配问题中要弄清楚调配前、调配、调配后的人数，还要弄清楚从哪个量调出，哪个量调入，要重要的是调配后的两量之间的关系，从而找出相等关系。4. 练习：（1）某车间有两个小组，甲组是乙组人数的2倍，若从甲组调12人到乙组，使甲组人数比乙组人数的一半还多3人，求原来甲、乙两组人数？解：设原乙组人数x人，甲组人数2x人（2）甲厂有工人57名，乙厂有工人75名，现需从二个厂中抽调42名去支援别的工厂，且要使抽调后甲厂人数是乙厂人数的二分之一，问从甲、乙两厂中各调多少人？解：设甲调走x名，乙调走人（3）某工厂有甲、乙、丙三个车间，分别有工人55人、45人、30人，现